%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%% En-tete LaTeX standard %%%%%%%%%%

%%%%%%% style de page pour les anales
%\documentclass[a4paper,11pt,twoside,openright]{book}


%%%%%%% style de page pour les sujets
\documentclass[a4paper,10pt,twoside,openright]{book}


\usepackage[OT1]{fontenc} % Pour afficher en DVI ou PDF les accents
\usepackage[utf8]{inputenc} %gestion du codage des caracteres
\usepackage{microtype} % improves the spacing between words and letter
\usepackage[frenchb]{babel} %gestion de la typographie francaise
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb} %packages math\'ematiques de l'American Mathematical Society
\usepackage{array} %extension  des sp\'ecifications de colonnes pour array et tabular
\usepackage{multicol,graphicx,xcolor}

\usepackage[textwidth=167mm,textheight=22cm,centering]{geometry}

\usepackage{bold-extra}%textsc+textbf
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%% style de page %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{fancyhdr} %package de gestion de style de page

\newcounter{annee}
\setcounter{annee}{2019} %annee du concours

%%%%%%% style de page pour le sujets

\setlength\parindent{0pt} %pas d'indentation

%%%%%%% style de page pour les annales
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[LE]{\thepage}
\fancyhead[RE]{ESCP Europe \theannee{} --- Oral}
\fancyhead[LO]{\textsl{\leftmark}}
\fancyhead[RO]{\thepage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%% macros mathematiques, symboles et racourcis usuels %%%%%%

%%%
%divers
\def\trans{{}^t}
\def\transp{{}^t} %{\hskip 0.5mm {}^{\rm t} \hskip -0.7mm}


%joli caract\`{e}res
%\let\eps=\varepsilon  % Le "bon" epsilon
\let\vphi=\varphi     % Le phi usuel
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

%ensembles de nombres

\def\C{\mathbb{C}}
\def\D{\mathbb{D}}
\def\K{\mathbb{K}}
\def\H{\mathbb{H}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\Z{\mathbb{Z}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\R{\mathbb{R}}
\def\U{\mathbb{U}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}

\def\ie{{\it i.e.\/}\ }
\def\<<{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\,$}}
\def\>>{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\,\scriptscriptstyle\rangle\!\rangle$}}
\frenchspacing

% Quelques symboles

\def\fr{\mathop{\rm fr}\nolimits}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}\nolimits}
\def\Vect{\mathop{\rm Vect}\nolimits}
\def\cov{\mathop{\rm Cov}\nolimits}
\def\ext{\mathop{\rm ext}\nolimits}
\def\inte{\mathop{\rm int}\nolimits}
\def\adhe{\mathop{\rm adh}\nolimits}
\def\codim{\mathop{\rm codim}\nolimits}
\def\diag{\mathop{\rm diag}\nolimits}
\def\pr{\mathop{\rm pr}\nolimits}
\def\Ree{\mathop{\rm R\acute e}\nolimits}
\def\niv{\mathop{\rm niv}\nolimits}
\def\conv{\mathop{\rm conv}\nolimits}

\let\dis=\displaystyle
\let\scr=\scriptstyle



% FRACTIONS
\def\fFrac#1#2{{\displaystyle#1\over\vrule height 8,2 pt width
0pt\displaystyle#2}}
\def\Frac#1#2{{\displaystyle#1\over\vrule height 7,3 pt width
0pt\displaystyle#2}}
%\def\frac#1#2{{\displaystyle#1\over\vrule height 7,3 pt width 0pt\displaystyle#2}}
%\def\frac#1#2{{\scriptstyle#1\over\scriptstyle#2}}
\def\FFrac#1#2{{\displaystyle#1\over\vrule height 9 pt width
0pt\displaystyle#2}}
%\def\dfrac#1#2{\displaystyle{\scriptstyle#1\over\scriptstyle#2}}



% D\'{e}RIV\'{e}ES
\def\Der#1#2{\Frac{\hbox{d}#1}{\hbox{d}#2}} % Ex:\Der{y}{x}
\def\Derr#1#2{\Frac{\hbox{d}^2#1}{\hbox{d}#2^2}}
\def\Dron#1#2{\Frac{\partial#1}{\partial#2}}
\def\dron#1#2{\frac{\partial#1}{\partial#2}}


\def \LL {\mathbb{L}}
\def \II {\mathbb{I}}
% FLECHES
\def \vect#1{\overrightarrow{#1}} % vecteur
\let\Tend=\longrightarrow
\let \ssi=\Longleftrightarrow
\def\implique{\ \Longrightarrow\ }

% BARRES, INTERVALLES ENTIERS
\def \vabs#1{\vert #1 \vert}
\def \norme#1{\Vert #1 \Vert}
\def \Norme#1{\vert\vert\vert #1 \vert\vert \vert}
\def\[{[\![}
\def\]{]\!]}

% EXPONENTIELLE ET HYPERBOLIQUES
\def\e{{\rm e}}
\def\ch{\mathop{\rm ch}\nolimits}
\def\pf{\mathop{\rm Pf}\nolimits}
\def\Hom{\mathop{\rm Hom}\nolimits}
\def\val{\mathop{\rm val}\nolimits}
\def\sh{\mathop{\rm sh}\nolimits}
\def\th{\mathop{\rm th}\nolimits}
\def\argch{\mathop{\rm argch}\nolimits}
\def\argsh{\mathop{\rm argsh}\nolimits}
\def\argth{\mathop{\rm argth}\nolimits}
\def\ath{\mathop{\rm Arg\,th}\nolimits}
\def\atan{\mathop{\rm Arc\,tan}\nolimits}
\def\ash{\mathop{\rm Arg\,sh}\nolimits}
\def\ach{\mathop{\rm Arg\,ch}\nolimits}
\def\acos{\mathop{\rm Arc\,cos}\nolimits}
\def\asin{\mathop{\rm Arc\,sin}\nolimits}
\def\acoth{\mathop{\rm Arg\,coth}\nolimits}
\def\acotan{\mathop{\rm Arc\,cotan}\nolimits}
\def\cotan{\mathop{\rm cotan}\nolimits}
\def\Ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\def\ker{\mathop{\rm Ker}\nolimits}
\def\reg{\mathop{\rm reg}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\im{\mathop{\rm Im}\nolimits}
\def\rg{\mathop{\rm rg}\nolimits}
\def\tr{\mathop{\rm tr}\nolimits}
\def\colog{\mathop{\rm colog}\nolimits}
\def\card{\mathop{\rm card}\nolimits}
\def\Card{\mathop{\rm Card}\nolimits}
\def\spec{\mathop{\rm Spec}\nolimits}
\def\deter{\mathop{\rm det}\nolimits}
\def\carre{\raise-1pt\hbox{\vrule\vbox
to 7pt{\hrule width 6pt\vfill\hrule}\vrule}}
\def\dal{\mathop{\carre}}
\def\q{\raise 2pt\hbox{$\chi$}}
\def\gradd{\mathop{\rm gra}\nolimits}
\def\grad{\vect{\gradd\hskip 3pt}\hskip -2,7pt{\rm d}}

% SOMME, PRODUIT, INT\'{e}GRALE, LIMITE
\def\Sum{\sum\limits}
\def\Int{\displaystyle\int}
\def \intt{{\int \kern-5.pt \int \kern-4.pt}}
\def \Intt{{\dis\int \kern-5.pt \int \kern-4.pt}}
\def\Prod{\prod\limits}
\def\Lim{\lim\limits}

% ADH\'{e}RENCE, INT\'{e}RIEUR
\def\adh#1{\overline{\!#1}}
\def\rond#1{\buildrel\;\circ\over #1}

% SUPERPOSITION
\def\up#1{\raise 1ex\hbox{\septtm#1}}
% op\v{Z}rateur avec dessous: build {op\v{Z}rateur} {dessous}
\def\build#1#2{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}}}
% op\v{Z}rateur avec deux dessous: Build {op\v{Z}rateur} {dessous1}{dessous2}
\def\Build#1#2#3{\build{{#1}}{\scriptstyle{#2}\atop\scriptstyle{#3}}}
% fl\"{\i}?`½che double : fleche {variable} {valeur}
\def\fleche#1#2{\build{\hbox to 9mm{\rightarrowfill}}{{#1}\rightarrow{#2}}}
% fl\"{\i}?`½che triple : Fleche {variable} {valeur} {3i\"{\i}?`½me ligne}
\def\Fleche#1#2#3{\build{\hbox to
9mm{\rightarrowfill}}{\scriptstyle{#1}\rightarrow{#2}\atop\scriptstyle{#3}}}

% MATH\'{e}MATIQUE   le mot math\v{Z}matique pour hyph\v{Z}nation   \math
\def\math{ma\-th\'e\-ma\-ti\-que}


% D\'{e}TERMINANT
\def\det#1{\left\vert\matrix{#1}\right\vert}
\def \adots {\mathinner {\mkern1mu \raise1pt
              \hbox{.}  \mkern2mu \raise4pt \hbox{.} \mkern2mu
               \raise7pt \vbox{\kern 7pt \hbox{.}}    \mkern1mu}}

%divers
\def\bin#1#2{\hbox{C}_{#1}^{#2}}
\def\up#1{\raise 1ex\hbox{\septtm#1}}%

\def\ent#1{\lfloor #1 \rfloor}%

\def\bino#1#2{{\Big(\hskip -0,5 pt{\textstyle #1\atop \vrule height 9 pt width 0 pt \textstyle
#2}\hskip -0,5 pt \Big)}}

\def\Sp{\mathop{\rm Sp}\nolimits}

\font\dixtm=cmr10 at 10pt
\def\Arr{ \mathop {\hbox{\dixtm A\hskip0.5pt}}\nolimits}

\def\arr#1#2{\Arr_{#1}^{#2}}
\def\abs#1{| #1 |}

% macro alg\`{e}bre
\def\scal#1#2{\langle#1,#2\rangle}
%\def\subsetneq

% DESSINS
\def \picture #1 by #2 (#3){
\vbox to #2{
\hrule width #1 height 0pt depth 0pt
\vfill
\special{picture #3}
}}
\def \scaledpicture #1 by #2 (#3 scaled #4){
\dimen0=#1 \dimen1=#2
\divide \dimen0 by 1000 \multiply \dimen0 by #4
\divide \dimen1 by 1000 \multiply \dimen1 by #4
\picture \dimen0 by \dimen1 (#3 scaled #4)}
% on l'utilise de la maniere suivante: exemple:
%\def \dessin{\scaledpicture 165mm by 95.2mm (Euler scaled 500)}
% puis on appelle la macro a l'endroit voulu.

% pour placer des dessins : dessin {titre} {hauteur}
% le titre doit tenir sur une ligne, la hauteur est du genre 2.5cm ou 37mm
\def \dessin#1#2{
\vbox to #2{\noindent{
\hrule width \hsize height 0pt depth 0pt
\vfill

\centerline{#1}
}}\medskip}

% encadrement d'une boite centree
               % \encadrecentre{pourcentage de largeur occup\v{Z}e}{texte}
\long\def\encadrecentre#1#2{$${\vbox{\hsize=#1\hsize\hrule\hbox{\vrule%
\vbox spread3mm{\vfil\hbox
spread3mm{\hskip 2mm\vbox{#2}\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}}$$}
\long\def\encadrecentredeb#1#2{$${\vbox{\hsize=#1\hsize\hrule\hbox{\vrule%
\vbox spread3mm{\vfil\hbox
spread3mm{\hskip 2mm\vbox{#2}\hfil}\vfil}\vrule}}}$$}
\long\def\encadrecentremil#1#2{$${\vbox{\hsize=#1\hsize\hbox{\vrule%
\vbox spread3mm{\vfil\hbox
spread3mm{\hskip 2mm\vbox{#2}\hfil}\vfil}\vrule}}}$$}

 \long\def\encadrecentrefin#1#2{$${\vbox{\hsize=#1\hsize\hbox{\vrule%
\vbox spread3mm{\vfil\hbox
spread3mm{\hskip 2mm\vbox{#2}\hfil}\vfil}\vrule}\hrule}}$$}

 \long\def\prere#1#2{$${\vbox{\hsize=#1\hsize\hbox{\vrule\hskip 2 pt\vrule%
\vbox spread3mm{\vfil\hbox
spread3mm{\hskip 2mm\vbox{#2}\hfil}\vfil}}\hrule}}$$}

               % pour la largeur entiere \encadre{texte}
\long\def\encadre#1{\encadrecentre{0.96}{#1}}
\long\def\encadredeb#1{\encadrecentredeb{0.96}{#1}}
\long\def\encadremil#1{\encadrecentremil{0.96}{#1}}
\long\def\encadrefin#1{\encadrecentrefin{0.96}{#1}}
\long\def\prerequis#1{\prere{0.95}{#1}}

\def\encad#1{\leavevmode\thinspace\hbox{\vrule\vtop{\vbox{
\hrule\kern1pt\hbox{\vphantom{/}\thinspace{#1}\thinspace}}
\kern2pt\hrule}\vrule}\thinspace}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%% mise en forme des exercices %%%%%%%%%%

\newcounter{numeroexo}
\setcounter{numeroexo}{1}
\makeatletter\@addtoreset{numeroexo}{chapter}\makeatother
%remise \`{a} z\'{e}ro du compteur dans chaque chapitre


\usepackage{environ}
%Using \BODY as the body of the environment might clash with a command defined  by  another  package. To  overcome  such  conflicts,  rename  this  command with
%\environbodyname\<command> at  which  point \NewEnviron will  use\<command> instead  of \BODY.

\NewEnviron{exo}{
\refstepcounter{numeroexo}
\pagebreak[3]
%\bigskip\bigskip\encad{\bf Exercice \arabic{chapter}.\thenumeroexo}\smallskip
%ancienne version
\bigskip\bigskip{\large \bf \textsc{Exercice \arabic{chapter}.\thenumeroexo}}\smallskip

{\BODY}

\medskip

\centerline{\vbox{\hrule width 5cm}}

}

\NewEnviron{sol}{
\medskip
\pagebreak[3]

{\large \bf \textsc{Solution de l'exercice \arabic{chapter}.\thenumeroexo}}
\medskip

{\small \BODY}

\medskip

\centerline{\vbox{\hrule width 5cm}}

}

% anciennes versions

% \def\sol{%
% \medskip
% \pagebreak[3]
% \centerline{\vbox{\hrule width 5cm}}
% {\bf Solution :}
% \medskip
% }

% \def\exerc#1{%
% \pagebreak[3]
% \bigskip\bigskip\encad{\bf Exercice #1.}\smallskip%
% }%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% macros pour gerer la compatibilite TeX/LaTeX + anciennes versions /nouvelles

\newcommand*{\eqalign}[1]{%
\begin{array}{>{\displaystyle}r>{\displaystyle}l} #1 \end{array}
}
\renewcommand{\matrix}[1]{\begin{array}{cccccccccccccccc} #1 \end{array}}
\renewcommand{\pmatrix}[1]{\left(\begin{array}{ccccccccccccccc} #1 \end{array}\right)}

\renewcommand{\cases}[1]{\left\lbrace\begin{array}{r>{$}r<{$}} #1 \end{array}\right.}

\newcommand{\twocols}[2]{%
\begin{multicols}{2}
{#1}
\vfill\null
\columnbreak
{#2}
\vfill\null
\end{multicols}%
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\chapter*{Avant-propos}

\vskip 1 cm

{\hfill\quad\it \`A notre ami Christian Leb\oe uf}



\vskip 1.5cm


\qquad {\bf Ces annales corrig\'ees de math\'ematiques des \'epreuves orales
du concours ESCP Europe}
regroupent   les exercices pos\'es en 2019 ainsi que leurs corrig\'es
dans les options scientifique et litt\'eraire B/L.
\medskip

 Cet ouvrage devrait permettre aux futurs candidats une meilleure
pr\'eparation \`a l'\'epreuve orale de math\'ematiques de ESCP Europe et
fournir une aide efficace aux enseignants des classes pr\'eparatoires
\'economiques et commerciales.
\smallskip

 De plus, ces annales constituent \'egalement un outil  pouvant
faciliter la pr\'eparation aux \'epreuves \'ecrites de math\'ematiques du
concours quelle que soit leur option (scientifique, \'economique,
litt\'eraire B/L ou technologique); la plupart des th\`emes abord\'es dans
les sujets d'oral se retrouvent en effet, peu ou prou, dans les
sujets de l'\'ecrit.

Certains exercices publi\'es dans ces annales sont assez
longs : ce sont des sujets d'\'etude et le jury n'en attend pas
n\'ecessairement une r\'esolution compl\`ete.

\medskip
Les \'enonc\'es et corrig\'es des exercices   ont \'et\'e regroup\'es en quatre
rubriques : analyse, alg\`ebre, probabilit\'es et sujets de l'option
litt\'eraire B/L.

\smallskip

Chaque candidat doit exposer en une vingtaine de minutes son sujet principal pr\'epar\'e en salle et r\'{e}soudre  directement au tableau, pendant le temps restant, une
courte question dont on trouvera, dans cet ouvrage, un \'echantillon.
\smallskip

On peut \'egalement trouver le contenu des annales sur le site internet de
ESCP Europe,
\medskip

 Enfin ces annales n'auraient pu voir le jour sans la
fid\`ele collaboration de tous les examinateurs de l'oral
de math\'ematiques de  ESCP Europe. Nous les en remercions.

\vskip 0,5 cm
Frank BOURNOIS, Directeur G\'en\'eral ESCP Europe.

\smallskip
Caroline CHAMPONNOIS, Service des Admissions ESCP Europe.
\smallskip

Claude MENENDIAN, Responsable des \'epreuves orales de math\'ematiques du
concours  ESCP Europe.
 

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Analyse}

\begin{exo}
% Sujet 41. Analyse

1. a) Soit  $ x \in \R\setminus \left\{ -1,1 \right\} $. Montrer que la fonction  $  \theta \mapsto\ln \left( x^{2}-2x\cos \theta +1 \right)  $  est continue sur  $  \left[ 0, \pi  \right]  $.

On note alors $F$ la fonction   d\'{e}finie sur  $ \R\setminus \left\{ -1,1 \right\}  $  par:

 $$ \forall x \in \R\setminus \left\{ -1,1 \right\} ,F \left( x \right) = \int _{0}^{ \pi }\ln \left( x^{2}-2x\cos \theta +1 \right) d \theta  $$

\medskip

b)  Justifier que  $ F $  est paire.
\medskip

c)  Montrer que $\ln \left( 1-\cos \theta  \right)$ est  \'{e}quivalent \`{a} $2\ln \theta$ quand $\theta$ tend vers $0$. En d\'{e}duire que l'on peut d\'{e}finir $F \left( 1 \right)$ et $ F \left( -1 \right)  $.

On admet que la fonction $F$ ainsi d\'{e}finie est continue sur  $ \R $.

\medskip

2. Soit  $ n $  un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2.

a)  R\'{e}soudre dans  $ \C $  l'\'{e}quation  $ z^{2n}=1 $.
\smallskip

b) En d\'{e}duire l'\'{e}galit\'{e} de polyn\^{o}mes suivante:

 $$X^{2n}-1=\dis\prod_{k=-(n-1)}^n \Big(X-e^{i\frac{k\pi}{n}}\Big)=  \left( X^{2}-1 \right)  \prod_{k=1}^{n-1} \left( X^{2}-2X\cos \left( \frac{k \pi }{n} \right) +1 \right)$$

 \medskip
 c) En faisant intervenir des sommes de Riemann, \'{e}tablir que, pour tout r\'{e}el  $ x \in \R\setminus \left\{ -1,1 \right\}  $, on a:

 $$ F \left( x \right) =\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{ \pi }{n}\ln \left( \frac{x^{2n}-1}{x^{2}-1} \right)  $$

d)  En d\'{e}duire l'expression de  $ F \left( x \right)  $  si  $ x \in  ] -1,1 [  $  et si  $ x \in  \left] -\infty,-1 \right[  \cup  \left] 1,+\infty \right[  $.

\medskip
e)  Donner alors la valeur de  $ F \left( 1 \right)  $  et  $ F \left( -1 \right)  $.

\medskip
3. On pose: $I=\dis \int _{0}^{\frac{ \pi }{2}}\ln \left( \sin \left( t \right)  \right) dt $. Calculer $I$.




%

\end{exo}

\begin{sol}

1. a) Soit  $ x \in \R\setminus \left\{ -1,1 \right\}  $. Pour tout  $  \theta  \in  \left[ 0, \pi  \right]  $ ,  $ x\cos \theta  \geq - \vert x \vert  $  donc  :
$$x^{2}-2x\cos \theta +1 \geq x^{2}-2 \vert x \vert +1=\left(  \vert x \vert -1 \right) ^{2}>0.$$
%  $ x^{2}-2x\cos \theta +1 \geq x^{2}-2 \vert x \vert +1 $  et  $ x^{2}-2 \vert x \vert +1= \left(  \vert x \vert -1 \right) ^{2}>0 $
donc la fonction  $  \theta \mapsto\ln \left( x^{2}-2x\cos \theta +1 \right)  $  est d\'{e}finie et continue sur  $ \left[ 0, \pi  \right]$.

\medskip

b)  Pour tout  $ x \in \R\setminus \left\{ -1,1 \right\}  $, le changement de variable  $  \theta = \pi -t $  donne la parit\'{e} de $F$.

% $ F \left( -x \right) = \int _{0}^{ \pi }ln \left( x^{2}+2x\cos \theta +1 \right) d \theta = \int _{0}^{ \pi }ln \left( x^{2}+2x\cos \left(  \pi -t \right) +1 \right) dt= \int _{0}^{ \pi }ln \left( x^{2}-2x\cost+1 \right) dt $  \par

%Ainsi,  $ F \left( -x \right) =F \left( x \right)  $  d'o\`{u} la parit\'{e} de  $ F $ .\par

\medskip
c) L'\'{e}quivalence provient de :
$$\frac{\ln(1-\cos \theta)}{2\ln\theta}-1=\frac1{2\ln\theta} \ln\left(\frac{1-\cos \theta}{\theta^2}\right) \to 0 \times \ln\frac12.$$

%%Un d\'{e}veloppement limit\'{e} en $\theta=0$ de $\ln(1-\cos \theta)$ donne $\ln(1-\cos \theta) =\ln \left( \frac{\theta^2}{2}\right)+ o(\theta^2)= 2\ln \theta +0(1)$.
L'int\'{e}grale $F(1)$ est impropre en $0$. Or :
%Donc, pour tout $\theta\in ]0,\pi[$, on a:
%On a $1-\cos \theta =_{ \theta  \rightarrow 0}\frac{ \theta ^{2}}{2}+o \left(  \theta ^{2} \right) ~donc  ln \left( 1-\cos \theta  \right) =_{ \theta  \rightarrow 0}ln \left( \frac{ \theta ^{2}}{2}+o \left(  \theta ^{2} \right)  \right) =_{ \theta  \rightarrow 0}+ln \left( \frac{1}{2}+o \left( 1 \right)  \right). \] \par

% $\ln \left( \frac{1}{2}+o \left( 1 \right)  \right) =_{ \theta  \rightarrow 0}o \left( ln \theta  \right)  donc ln \left( 1-\cos \theta  \right) =_{ \theta  \rightarrow 0}2ln \theta +o \left( ln \theta  \right) , d'o\`{u} : ln \left( 1-cos \theta  \right)  \sim _{ \theta  \rightarrow 0}2ln \theta. \] \par

$$\ln \left( 2-2\cos \theta  \right) =\ln2+\ln \left( 1-\cos \theta  \right) \Rightarrow  \vert \ln \left( 2-2\cos \theta  \right)  \vert  \sim -2\ln \theta$$

Par ailleurs la fonction $\theta \to \ln \theta$ admet une int\'{e}grale absolument convergente sur $]0,\pi]$. Donc $F(1)$ converge ; $F(-1)$ aussi par changement de variable comme en 1b.

\medskip

2. a) Les solutions de cette \'{e}quation  sont les  $ 2n $  complexes :  $ e^{\frac{ik \pi }{n}} $ ,  $ k \in  \[ -(n-1) ,n  \]  $.
\smallskip

b) Le polyn\^{o}me  $ X^{2n}-1 $  est de degr\'{e}  $ 2n $ , unitaire et ses  $ 2n $  racines sont les  $ e^{\frac{ik \pi }{n}} $ ,  $ k \in  \[ -(n-1) ,n  \]  $,  d'o\`{u} la premi\`{e}re \'{e}galit\'{e}. Pour la seconde, on sort du produit les facteurs correspondant \`{a}  $ k=n $  et  $ k=0 $ et on regroupe les autres par conjugu\'{e}s.

%\[ z^{2n}-1= \left( z+1 \right)  \left( z-1 \right)  \left(  \prod_{k=- \left( n-1 \right) }^{-1} \left( z-e^{i\frac{k \pi }{n}} \right)  \right)  \left(  \prod_{k=1}^{n-1} \left( z-e^{i\frac{k \pi }{n}} \right)  \right) = \left( z^{2}-1 \right)  \left(  \prod_{k=1}^{n-1} \left( z-e^{-i\frac{k \pi }{n}} \right)  \right)  \left(  \prod_{k=1}^{n-1} \left( z-e^{i\frac{k \pi }{n}} \right)  \right) = \left( z^{2}-1 \right)  \prod_{k=1}^{n-1} \left( z^{2}-2zcos \left( \frac{k \pi }{n} \right) +1 \right)  \] \par

\smallskip

c) De ce qui pr\'{e}c\`{e}de, on d\'{e}duit que, pour tout r\'{e}el  $ x \in \R\setminus \left\{ -1,1 \right\}  $, on a  :\par
$$\eqalign{
 \frac{ \pi }{n}\ln \left( \frac{x^{2n}-1}{x^{2}-1} \right) &=\frac{ \pi }{n} \sum _{k=1}^{n-1}\ln \left( x^{2}-2x\cos \left( \frac{k \pi }{n} \right) +1 \right)\cr
  &=\frac{ \pi }{n} \sum _{k=1}^{n}\ln \left( x^{2}-2x\cos \left( \frac{k \pi }{n} \right) +1 \right) -\frac{ \pi }{n}\ln \left(  \left( x+1 \right) ^{2} \right)
}$$

La fonction  $  \theta \mapsto\ln \left( x^{2}-2x\cos \theta +1 \right)  $  est continue sur  $  \left[ 0, \pi  \right]  $. On reconna\^{\i}t dans le premier terme \`{a} droite une somme de Riemann qui lui est associ\'{e}e. L'autre terme tend vers 0 quand  $ n \rightarrow +\infty $. Ainsi,

 $$ \lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{ \pi }{n}\ln \left( \frac{x^{2n}-1}{x^{2}-1} \right) = \int _{0}^{ \pi }\ln \left( x^{2}-2x\cos t+1 \right) dt=F \left( x \right)  $$

d)  Si $x \in  ] -1,1 [$,  $\displaystyle F(x)=\lim_{n \rightarrow +\infty}\dis{\pi\over n}\ln \left( \frac{x^{2n}-1}{x^{2}-1} \right) =0$.

 Si  $\vert x \vert >1$, $F \left( x \right) =\displaystyle\lim_{n \rightarrow +\infty}\frac{ \pi }{n}\ln \left( \frac{x^{2n}-1}{x^{2}-1} \right) =2 \pi \ln |x|$.
\smallskip

e) Par continuit\'{e} de $F$, on a $F \left( 1 \right) =\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1}F \left( x \right) =0$ et donc, par parit\'{e}, $F \left( -1 \right) =0$.
\medskip


3.  On a  $F \left( 1 \right) =0$ et
$$F \left( 1 \right) = \displaystyle\int _{0}^{ \pi }\ln \left( 2 \left( 1-\cos \theta  \right)  \right) d \theta = \int _{0}^{ \pi }\ln \left( 4\sin^{2} \left( \frac{ \theta }{2} \right)  \right) d \theta = \pi \ln4+2 \int _{0}^{ \pi }\ln \left( \sin \left( \frac{ \theta }{2} \right)  \right) d \theta $$

 On pose $t=\dis\frac{ \theta }{2}$. Il vient:
 $$\int _{0}^{ \pi }\ln \left( \sin \left( \frac{ \theta }{2} \right)  \right) d \theta =2 \int _{0}^{\frac{ \pi }{2}}\ln \left( \sin \left( t \right)  \right) dt=2I$$

 Donc $ I=-\dis\frac{ \pi \ln2}{2}$.

\end{sol}


\begin{exo}
% Sujet 02. Analyse

On note $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$, \`{a} valeurs r\'{e}elles positives.

 Pour tout $f \in E$, on d\'{e}finit la fonction $\phi(f)$ par :
 $$\forall x \in [0,1], \ \phi(f)(x)=\dis\int_0^x \sqrt{f(t)}~{\rm d}t.$$

\bigskip

1. a) L'ensemble $E$ est-il un espace vectoriel ? L'application $\phi$ est-elle lin\'{e}aire ?
\smallskip

b)  Pour tout $f \in  E$, montrer que $\phi(f)$ est de classe $C^1$ et exprimer sa d\'{e}riv\'{e}e en fonction de $f$.
\smallskip

c)  L'application $\phi$ est-elle injective ?
\smallskip

d) L'application $\phi$ est-elle surjective de $E$ sur $E$ ?

\medskip


On note $f_0$ la fonction constante \'{e}gale \`{a} 1, puis, pour tout $n\in \N$, on pose $f_{n+1}=\phi(f_n)$.
\smallskip


2. a)  Montrer que pour tout $n \in \N$, la fonction $f_n$ est de la forme $x\mapsto \alpha_n x^{\beta_n}$, avec $\alpha_n$ et $\beta_n$ r\'{e}els.
\smallskip

b)  Donner des relations de r\'{e}currence v\'{e}rifi\'{e}es par  les suites $(\alpha_n)_{n\geq 0}$ et $(\beta_n)_{n\geq 0}$.
\smallskip

c)  En d\'{e}duire que pour tout $n\in \N$, on a $\beta_n=2-2^{1-n}$.
\medskip

3.a)  Pour tout $n\in \N$, comparer $\dis\frac{\alpha_{n+2}}{\alpha_{n+1}}$ et $\sqrt{\dis\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_n}}$.
\smallskip

b) En d\'{e}duire que la suite $(\alpha_n)_{n\geq 0}$ converge et d\'{e}terminer sa limite.
\medskip

4.  Pour tout $n\in \N$, justifier l'existence de $M_n=\displaystyle \max_{x\in [0,1]} \left|f_n(x)-\frac14x^2\right|$, puis montrer que $\dis\lim_{n\to +\infty} M_n=0$.

%

\end{exo}

\begin{sol}


1. a)  L'ensemble $E$ n'est pas stable par multiplication par $-1$, donc n'est pas un espace vectoriel.
\smallskip
 Comme $\phi$ n'est pas d\'{e}finie sur un espace vectoriel, elle ne peut \^{e}tre lin\'{e}aire.
\smallskip

b)  Comme $x\mapsto \sqrt{f(x)}$ est continue, le th\'{e}or\`{e}me fondamental du calcul int\'{e}gral indique que $\phi(f)$ est de classe $C^1$, de d\'{e}riv\'{e}e donn\'{e}e par : $\big(\phi(f)\big)'(x)=\sqrt{f(x)}$.
\smallskip

c) Si $\phi(f)=\phi(g)$, en d\'{e}rivant on obtient $\sqrt{f}=\sqrt{g}$, donc $f=g$. Ainsi $\phi$ est bien injective.

\smallskip
d)  Comme $\phi(f)$ est de classe $C^1$ et \`{a} d\'{e}riv\'{e}e positive, l'application $\phi$ n'atteint pas les fonctions continues non $C^1$, ni les fonctions non croissantes. Ainsi $\phi$ n'est pas surjective sur $E$.
\medskip

2. a)b)  Montrons par r\'{e}currence sur $n\geq 0$ la relation : $\exists \alpha_n,\beta_n\geq 0, \forall x\in [0,1],\ f_n(x)=\alpha_n x^{\beta_n}$ :
\par

$\bullet$ C'est vrai pour $n=0$ en prenant $\alpha_0=1$ et $\beta_0=0$.
\par
$\bullet$ Si c'est vrai pour $n$, alors :
$$f_{n+1}(x)=\dis\int_0^x \sqrt{\alpha_n t^{\beta_n}}~{\rm d}t=\left[\sqrt{\alpha_n} \frac{t^{\frac{\beta_n}2+1}}{\frac{\beta_n}2+1}\right]_0^x=\frac{\sqrt{\alpha_n}}{\frac{\beta_n}2+1}x^{\frac{\beta_n}2+1}.$$

Donc, la relation est vraie \`{a} l'ordre $n+1$ en prenant $\alpha_{n+1}=\dis\frac{\sqrt{\alpha_n}}{\frac{\beta_n}2+1}$ et $\beta_{n+1}=\dis\frac{\beta_n}2+1$.

\smallskip

c) La suite $(\beta_n)$ est arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}trique ; le calcul habituel donne alors bien $ \beta_n=2-2^{1-n}$  (on peut aussi le montrer par r\'{e}currence).
\medskip

3. a) D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, on a : $\alpha_{n+1}=\dis\frac{\sqrt{\alpha_n}}{2-2^{-n}}$\ $(*)$, donc :
$$\dis\frac{\alpha_{n+2}}{\alpha_{n+1}}=\sqrt{\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_{n}}}\times \frac{2-2^{-n}}{2-2^{-n-1}} \leq \sqrt{\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_{n}}}$$
puisque $0<2-2^{-n}\leq 2-2^{-n-1}$.

\smallskip

b) Comme $\alpha_0= 1, \alpha_1=1$ et $\alpha_2=\dis\frac 12$, par r\'{e}currence \'{e}vidente,  on en d\'{e}duit que $\dis\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_{n}}\leq 1$. Donc la suite $(\alpha_n)$ est d\'{e}croissante ; or,  par d\'{e}finition, elle est minor\'{e}e par $0$ ; d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de la limite monotone, elle converge donc vers une limite $\ell\geq 0$. En passant \`{a} la limite dans la relation $(*)$, on en d\'{e}duit que $\ell=\dis\frac{\sqrt{\ell}}2$, soit $\ell=0$ ou $\ell=\dis\frac14$.
Comme la suite $(\alpha_n)$ est d\'{e}croissante, la limite est $\dis\frac14$ si et seulement si cette suite est  minor\'{e}e par $\dis\frac14$ ; ceci se v\'{e}rifie facilement par r\'{e}currence

(pour l'h\'{e}r\'{e}dit\'{e}, $\alpha_{n+1}=\dis\frac{\sqrt{\alpha_n}}{2-2^{-n}}\geq \frac{\sqrt{\frac14}}{2}=\frac14$). Donc $\lim(\alpha_n)=\dis\frac14$.

\medskip


4.  La fonction $\dis x\mapsto \left|f_n(x)-\frac14x^2\right|$ est continue sur le segment $[0,1]$ (comme compos\'{e}e de fonctions continues), donc elle est born\'{e}e et atteint ses bornes ; en particulier, elle admet un maximum $M_n$.

Pour tout $x\in [0,1]$, par l'in\'{e}galit\'{e} triangulaire, on a :
$$\left|f_n(x)-\frac14x^2\right|\leq \left|\alpha_n-\frac14 \right|\times \underbrace{\left|x^{\beta_n}\right|}_{\leq 1}+\left|\frac14 x^{\beta_n}-\frac14 x^{2} \right|\leq \underbrace{\left|\alpha_n-\frac14 \right|}_{\longrightarrow 0}+\frac14 \displaystyle \max_{x\in [0,1]}\left|x^{\beta_n}-x^{2} \right|.$$

Il suffit donc de montrer que : $\dis\lim_{n\to +\infty} \max_{x\in [0,1]}\left|g_n(x)\right|=0$, o\`{u} l'on a pos\'{e} $g_n(x)=x^{\beta_n}-x^{2} $. On \'{e}tudie les variations de $g_n$.
Le maximum de $g_n$ est atteint en $\dis \left( \frac{\beta_n}{2}\right)^{1/(2-\beta_n)}$.

%Comme $g_n'(x)=\beta_nx^{\beta_n-1}-2x$, on a le tableau de variations suivant :
%$$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline
%x & 0 & & \left(\frac{\beta_n}2\right)^{\frac{1}{2-\beta_n}} & & 1 \\ \hline
%g_n'(x) & 0 & + & 0 & - & \beta_n-2 \\ \hline
% g_n & \bas{0} & \nearrow & \barre & \searrow & 0 \\\hline
%\end{array}$$
D'o\`{u} :
$$\displaystyle \max_{x\in [0,1]}\left|x^{\beta_n}-x^{2} \right|=g_n\left(\left(\frac{\beta_n}2\right)^{\frac{1}{2-\beta_n}}\right)=\exp\left(\frac{\beta_n}{2-\beta_n}
\ln\frac{\beta_n}2\right)-\hbox{exp}\left(\frac{2}{2-\beta_n}\ln\frac{\beta_n}2\right) \build{\longrightarrow}{n\to +\infty} \e^{-1}-\e^{-1}=0,$$

puisque $\dis\frac{\beta_n}2 \longrightarrow 1$ entra\^{\i}ne: $\dis \ln\frac{\beta_n}2\build{\sim}{(+\infty)} \frac{\beta_n}2-1=\frac{\beta_n-2}2$.

\end{sol}


\begin{exo}
%Sujet 17. Analyse

\medskip

 Pour tout $x>0$, on pose: $\forall\,n\in\N^*,\,\, S_n(x)=\dis\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{x+k}$.
\medskip

1.  Montrer que les suites $(S_{2n}(x))_n$ et $(S_{2n+1}(x))_n$ sont adjacentes. On note $f(x)$ leur limite commune.

\medskip

2. a) Soit $a$ un r\'{e}el strictement positif. Montrer que :

$$\forall (x,x_0)\in [a,+\infty[^2,\ \forall n\in \N^*,\ |S_n(x)-S_n(x_0)|\leq |x-x_0|\sum_{k=0}^n \frac1{(a+k)^2}.$$

\smallskip

b) En d\'{e}duire que la fonction $f$ est continue sur $\R_+^*$.

\medskip
3.  Trouver une relation entre $f(x+1)$ et $f(x)$. En d\'{e}duire un \'{e}quivalent de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0^+$.
\medskip

4.  Montrer que : $\forall x>0,\ f(x) = \dis\int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}~{\rm d}t$.


\end{exo}

\begin{sol}

1.  Posons $b_n=\dis\frac1{x+n}$.


 La suite $(S_{2n}(x))$ d\'{e}cro\^{\i}t car $S_{2(n+1)}(x)-S_{2n}(x)=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0$ car $(b_n)$ d\'{e}croissante.

La suite $(S_{2n+1}(x))$ cro\^{\i}t car $S_{2(n+1)+1}(x)-S_{2n+1}(x)=-b_{2n+3}+b_{2n+2}\geq 0$ car $(b_n)$ d\'{e}croissante.

 On a: $S_{2n+1}(x)-S_{2n}(x) =-b_{2n+1}(x)\build{\longrightarrow}{n\to +\infty} 0$.

Les suites $(S_{2n}(x))$ et $(S_{2n+1}(x))$ sont adjacentes ; donc elles convergent vers la m\^{e}me limite $f(x)$. Et donc la suite $(S_n(x))$ aussi.

\medskip
2. a) Par l'in\'{e}galit\'{e} triangulaire, on a :
$$|S_n(x)-S_n(x_0)|\leq \sum_{k=0}^n \left|\frac1{x+k}-\frac1{x_0+k}\right|=|x-x_0|\sum_{k=0}^n \frac1{(x+k)(x_0+k)}\leq |x-x_0| \sum_{k=0}^n \frac1{(a+k)^2}.$$

\smallskip

b)  Par comparaison avec une s\'{e}rie de Riemann convergente, la s\'{e}rie $\dis\sum \frac1{(a+n)^2}$ converge, donc on peut passer \`{a} la limite dans l'in\'{e}galit\'{e} large pr\'{e}c\'{e}dente, quand $n$ tend vers $+\infty$, ce qui donne :
$$|f(x_0)-f(x)|\leq |x-x_0| \sum_{n=0}^{+\infty} \frac1{(a+n)^2}.$$


Si on prend $x_0\geq a$, le th\'{e}or\`{e}me d'encadrement donne $\dis\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$ \ie $f$ continue en $x_0$.

Comme $f$ est continue en tout point $x_0\geq a$ ceci pour tout $a>0$, elle est donc continue sur $\R_+^*$, puisque la continut\'{e} est une notion locale.
\medskip


3. Par d\'{e}calage d'indice, on a $\dis f(x+1)=\frac1x-f(x)$, soit $f(x)=\dis\frac1x-f(x+1)$.
Comme $f$ est continue en $1$, $f(x+1)$ converge vers $f(1)$ quand $x$ tend vers $0^+$.

Donc $f(x+1)$ (qui converge) est n\'{e}gligeable devant $\dis\frac1x$ (qui tend vers $+\infty$). Ainsi $f(x)\sim \dis\frac1x$ au voisinage de $0^+$.
\medskip

4.  Pour tout $t\in [0,1[$, on a $\dis\frac{t^{x-1}}{1+t}=\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n t^{x-1+n}$.
Comme $x-1+n>-1$ pour tout $n\in \N$, on peut int\'{e}grer :
$$\int_0^1 \sum_{k=0}^{n} (-1)^k t^{x-1+k}=\sum_{k=0}^{n}\left[(-1)^k\frac{t^{x+k}}{x+k}\right]_0^1=S_n(x).$$
Donc :
$$\left|\int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}~{\rm d}t-S_n(x)\right|=\left|\int_0^1 \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k t^{x-1+k}\right|=\int_0^1 \frac{ t^{x+n}}{1+t}~{\rm d}t \leq \int_0^1 t^{x+n}~{\rm d}t=\frac1{x+n+1}.$$

En passant \`{a} la limite quand  $n$ tend vers $+\infty$, on a donc bien $f(x) = \dis\int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}~{\rm d}t$ pour tout $x>0$.

\end{sol}


\begin{exo}
%Sujet 38. Analyse

1. \'{E}tablir la convergence de l'int\'{e}grale  $\dis\int_0^{+\infty} \frac{\e^{-u}}{\sqrt{u}}~{\rm d}u$; en donner une expression \`{a} l'aide de la fonction $\Gamma$.
\medskip

2.  En d\'{e}duire que  pour tout $n\in \N$,  l'int\'{e}grale $\dis\int_0^1 \frac{\e^{-nt}}{\sqrt{t}}~{\rm d}t$ est convergente. On la note $u_n$.

D\'{e}terminer  la nature de la s\'{e}rie $\dis\sum_{n\geq 0} u_n$.

\medskip

3. Soit $n\in \N$ fix\'{e}. Pour tout $t\in ]0,1]$ et tout $k \in \N$, on pose : $a_k(t)=\dis\frac{(-n)^kt^k}{\sqrt{t} \times k!}$.
\smallskip

a)  \'{E}tablir la convergence de la s\'{e}rie $\dis\sum_{k\geq 0} a_k(t)$ et pr\'{e}ciser sa somme.
\smallskip

b)  Pour tout $N\in \N$, montrer l'existence de l'int\'{e}grale $\dis\int_0^1\sum_{k=N+1}^{+\infty} a_k(t)~{\rm d}t$. On la note $Z_N$.
\smallskip

c)  Trouver une s\'{e}rie convergente $\dis\sum_{k\geq 1} A_k$  telle que : $\forall k\geq 1,\  \forall t\in ]0,1],\ |a_k(t)|\leq A_k$.
\smallskip

d)  En d\'{e}duire que la suite $(Z_N)_N$ converge et d\'{e}terminer sa limite.
\smallskip

e)  En d\'{e}duire que $u_n=2\dis\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^kn^k}{k! (2k+1)}.$


%

\end{exo}

\begin{sol}


1.
On reconna\^it que : $\dis \int_0^{+\infty} \frac{\e^{-u}}{\sqrt{u}} du=\Gamma\left(\frac12\right)$, qui converge bien d'apr\`es le cours.
% La fonction $u\mapsto \dis\frac{\e^{-u}}{\sqrt{u}}$ est continue sur $]0,+\infty[$.
% En $0$, on a : $0\leq \dis\frac{\e^{-u}}{\sqrt{u}}\leq \frac{1}{\sqrt{u}}$ et $\dis\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{u}}~{\rm d}u$ converge.

% En $+\infty$, on a : $0\leq  \dis\frac{\e^{-u}}{\sqrt{u}}=o({\e^{-u}})$ et $\dis\int_0^{+\infty} \e^{-u}~{\rm d}u$ converge.
% D'o\`{u} la convergence de l'int\'{e}grale propos\'{e}e.

%Pour calculer sa valeur, on effectue le changement de variable $u=t^2$ qui est $C^1$ bijecif et d'inverse $C^1$ sur $\R^{+*}$. Sa valeur est $\dis{\sqrt{\pi}}$.

\medskip

2.  Pour $n=0$ l'int\'{e}grale $u_0$ (usuelle) converge.

Si $n\geq 1$, par changement de variable $u=nt$ ($C^1$ strictement croissant), on a :
$$u_n=\frac1{\sqrt n}\int_0^n \frac{\e^{-u}}{\sqrt{u}}~{\rm d}u.$$
D'apr\`{e}s la question 1, cette int\'{e}grale converge et, de plus, on a :
$$u_n\build{\sim}{(+\infty)} \frac1{\sqrt n}\int_0^{+\infty} \frac{\e^{-u}}{\sqrt{u}}~{\rm d}u.$$
Comme la s\'{e}rie de Riemann $\dis\sum \frac1{\sqrt n}$ diverge, par th\'{e}or\`{e}me de comparaison (tout est positif), la s\'{e}rie $\dis\sum u_n$ diverge.
\medskip

3. a) On reconna\^{\i}t une s\'{e}rie exponentielle, donc elle converge et $\dis\sum_{k=0}^{+\infty}  a_k(t)=\frac{\e^{-nt}}{\sqrt{t}}$.
\smallskip

b)  D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, la s\'{e}rie converge, et l'on a :
$$\sum_{k=N+1}^{+\infty}  a_k(t)=\left(\sum_{k=0}^{+\infty} a_k(t)\right)-a_0(t)-\sum_{k=1}^N a_k(t)=\frac{\e^{-nt}-1}{\sqrt{t}}-\sum_{k=1}^N \frac{(-n)^kt^{k-\frac12}}{k!}$$

Donc la fonction $t\mapsto \dis\sum_{k=N+1}^{+\infty}  a_k(t)$ est continue sur $]0,1]$ et se prolonge par continuit\'{e} en $0$ (par $0$ puisque $\e^{-nt}-1\build{\sim}{t\to 0} -nt$). Ceci prouve l'existence de son int\'{e}grale.

\smallskip

c) Comme $|t^{k-\frac12}|\leq 1$ pour tout  $k\geq 1$ et tout $t\in ]0,1]$, on voit que $A_k=\dis\frac{n^k}{k!}$ convient (s\'{e}rie exponentielle).
\smallskip

d)  Par l'in\'{e}galit\'{e} triangulaire on a : $\dis \forall t\in ]0,1],\ \left|\dis\sum_{k=N+1}^{+\infty} a_k(t)\right|\leq \dis\sum_{k=N+1}^{+\infty} A_k$.

Par l'in\'{e}galit\'{e} triangulaire et la croissance de l'int\'{e}gration, on en d\'{e}duit que :
$$\left|\int_0^1\sum_{k=N+1}^{+\infty} a_k(t)~{\rm d}t\right|\leq \int_0^1 \left|\sum_{k=N+1}^{+\infty} a_k(t)\right|~{\rm d}t\leq \sum_{k=N+1}^{+\infty} A_k.$$

Le majorant tend vers $0$ quand $N$ tend vers $+\infty$, car c'est le reste d'une s\'{e}rie convergente, donc, par le th\'{e}or\`{e}me d'encadrement, on a : $ \dis\int_0^1 \sum_{k=N+1}^{+\infty} a_k(t)~{\rm d}t \rightarrow 0$.
\smallskip

e) Ainsi:
$$\eqalign{
u_n&= \int_0^1 \frac{\e^{-nt}}{\sqrt{t}}~{\rm d}t  = \int_0^1 \sum_{k=0}^{+\infty} a_k(t) ~{\rm d}t \ \hbox{(question 3.a)}
= \int_0^1 \sum_{k=0}^{N} a_k(t) ~{\rm d}t  + \int_0^1  \sum_{k=N+1}^{+\infty}  a_k(t) ~{\rm d}t\cr
&=2\sum_{k=0}^{N} \frac{(-1)^kn^k}{k! (2k+1)} + \int_0^1 \sum_{k=N+1}^{+\infty} \  a_k(t) ~{\rm d}t
\longrightarrow 2\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^kn^k}{k! (2k+1)} \ \hbox{(question 3.d).}
}$$

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 29. Analyse

Soit  $f$ une fonction continue et strictement positive sur $ \R_{+}=\left[ 0, +\infty \right[ $ dont l'int\'{e}grale est divergente sur $\left[ 0, +\infty \right[$. On d\'{e}finit la fonction $F$ sur $ \R_{+}$ par:
$$
F(x)=\dis\int_{0}^{x}f(t)dt.
$$

1. Justifier que $F$ est une fonction de classe $C^{1}$ sur
$ \R_{+}$ et qu'elle r\'{e}alise une bijection de $ \R_{+}$ sur $ \R_{+}$.
\bigskip

2. Soit $x \in \R_{+}$. Montrer qu'il existe un unique r\'{e}el $y$ tel que $y>x$ et tel que :
$$
\dis\int_{x}^{y}f(t)dt=1.
$$
Dans toute la suite de l'exercice, on pose $h(x)=y$.

\bigskip
3. Dans cette question, on prend pour $f$ la restriction \`{a} $\R_+$ de la  fonction exponentielle $u\longmapsto e^u$. D\'{e}terminer dans ce cas la fonction $h$.
\bigskip

4.  On note $G$ la fonction r\'{e}ciproque de $F$.

a) Pour tout $x\in\R_+$, exprimer $h(x)$ \`{a} l'aide des fonctions $F$ et $G$.
\smallskip

b) En d\'{e}duire que $h$ est une fonction de classe $C^{1}$ sur
$ \R_{+}$.
\smallskip

c) \'Etudier les variations de $h$.
\smallskip

d) On suppose de plus que la fonction $f$ est de classe $C^{1}$ sur $ \R_{+}$ et que la fonction $ \dis\frac{1}{f}$ est convexe. Montrer alors que $h$ est convexe.
\bigskip

%

\end{exo}

\begin{sol}



1. Comme $F$ est une primitive d'une fonction continue, elle est de classe $C^{1}$ sur $ \R_{+}$. La fonction $f$ \'{e}tant strictement positive, on en d\'{e}duit que $F$ est strictement croissante sur $ \R_{+}$. On a $F(0)=0$ et $\dis \lim_{x\rightarrow + \infty} F(x) = + \infty$ puisque l'int\'{e}grale de $f$ est divergente sur $ \R_{+}$. Il s'ensuit que $F$ r\'{e}alise bien une bijection de  $ \R_{+}$ sur $ \R_{+}$.

\bigskip

2.  Il suffit de consid\'{e}rer la fonction $\phi$ donn\'{e}e par $\phi(t)=F(t)-F(x)$ qui est continue, strictement croissante, telle que $\phi(x)=0$ et telle que $\dis \lim_{t\rightarrow + \infty} \phi(t) = + \infty$.  Il en r\'{e}sulte qu'il existe un unique point $y>x$ tel que
$\phi(y)=1$.

\bigskip

3. Les hypoth\`eses de l'\'enonc\'e sont bien v\'erifi\'ee dans ce cas, et on a $e^{h(x)}-e^{x}=1$, d'o\`{u} $h(x)=\ln(1+e^{x})$.

\bigskip

4. a) Comme $F(h(x))=1+F(x) \in \R_{+}$, on peut composer par $G$ et on obtient $h(x)=G(1+F(x))$.
\smallskip

b) On remarque que $G$ est $C^1$ car $F^\prime=f\neq 0$ est continue. La formule pr\'{e}c\'{e}dente et les r\`{e}gles de d\'{e}rivation des fonctions compos\'{e}es nous assurent que la fonction $h$ est d\'{e}rivable. En utilisant l'\'{e}galit\'{e} $F(h(x))=1+F(x) $, on trouve $h'(x)=\dis\frac{f(x)}{f(h(x))}$ ce qui entra\^{\i}ne la continuit\'{e} de $h'$.
\smallskip


c) Avec la formule pr\'{e}c\'{e}dente, on constate que $h'$ est strictement positive. La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $ \R_{+}$.
\smallskip

d) La formule donnant la d\'{e}riv\'{e}e de $h$ montre que $h$ est deux fois d\'{e}rivable et que l'on a apr\`{e}s simplifications:
$$
h"(x)=\frac{f'(x)f(h(x))^2-f'(h(x))f(x)^2}{f(h(x))^3}.
$$
La convexit\'{e} de la fonction $\dis\frac{1}{f}$ nous dit que la fonction $\dis\frac{f'}{f^2}$ est d\'{e}croissante. Comme $x<h(x)$, il vient $\dis\frac{f'(x)}{f(x)^2}\geq \frac{f'(h(x))}{f(h(x))^2}$, ce qui implique la positivit\'{e} de $h"$ et par suite
la convexit\'{e} de $h$.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 06. Analyse

On rappelle que l'application $\displaystyle (g,h) \to \int_a^b g(t) h(t) dt$ d\'{e}finit un produit scalaire sur l'ensemble des fonctions continues sur le segment $[a,b]$ \`{a} valeurs r\'{e}elles (auquel $g$ et $h$ appartiennent).

\medskip

On note $E$ l'ensemble des fonctions $f$ d\'{e}finies sur $[\,0,1]$, \`{a} valeurs r\'{e}elles, de classe $C^2$ et telles que $f(0)=0$.

\medskip

1. Soit $f\in E$. Montrer que pour tout $x\in [\,0,1]$ :
$$
|f(x)|=\left|\int_{0}^{x}f'(y) dy \right|.
$$

2. Soit $f\in E$.

a)  Montrer que pour tout $x\in [\,0,1]$ :
$$
\big(f(x)\big)^2\leq   x \   \Big( \int_0^{1} \big(f'(y)\big)^2 dy \Big).
$$


b)  En d\'{e}duire que:
$$
 \int_0^{1} \big(f(x)\big)^2\, dx  \, \leq \frac{1}{2} \int_0^{1} \big(f'(y)\big)^2\, dy.
$$
\medskip



3.  Montrer que l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente peut \^{e}tre fausse si l'on retire l'hypoth\`{e}se $f(0)=0$.
\bigskip


4.  Soit $\lambda $ un r\'{e}el tel que $\lambda<2$. \`{A} l'aide des questions pr\'{e}c\'{e}dentes, montrer qu'il n'existe pas de fonction $f\in E$ non nulle telle que:
$$
\forall \,x \in [\,0,1],\,\,   -\,f^{\prime\prime}(x)=\lambda \, f(x) \quad   \hbox{ et }\quad  f(0)=f(1)=0.
$$



%

\end{exo}

\begin{sol}



1.  C'est le th\'{e}or\`{e}me fondamental du calcul int\'{e}gral, en ajoutant que  $f(0)=0$.

\medskip
2. a)   D'apr\`{e}s la question 1, on a :
$$
\forall x\in [0,1],\,\,\big(f(x)\big)^2 = \left(\int_{0}^{x}f'(y) \,  dy \right)^2
$$
En appliquant l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz au terme de droite, on obtient:

$$\eqalign{
 \left(\int_{0}^{x}f'(y) \,  dy \right)^2& \leq  \left(\int_{0}^{x}1 \, dy\right)   \left(\int_{0}^{x}  \big(f'(y)\big)^2\, dy \right)\cr
 & \leq  x  \left(\int_{0}^{1}  \big(f'(y)\big)^2\, dy \right).
}$$

Il s'ensuit donc  que pour tout $x\in [0,1]$:
$$
\big(f(x)\big)^2 \leq x  \left(\int_{0}^{1}  \big(f'(y)\big)^2\, dy \right)
$$

\medskip

b)   En int\'{e}grant en $x$ l'in\'{e}galit\'{e} obtenue \`{a} la question 2.a), on conclut que :
$$\eqalign{
 \int_0^{1} \big(f(x)\big)^2\, dx &\leq   \left( \int_{0}^1 x \, dx \right)   \left(\int_{0}^{1}  \big(f'(y)\big)^2 dy \right)\cr
 &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1}  \big(f'(y)\big)^2\, dy.
}$$


\medskip

3.  Pour $f(0)\neq 0$, la fonction constante $f=1$ sur $[0,1]$ est un contre-exemple imm\'{e}diat de l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente.

\medskip

4.   Supposons que  le couple $(\lambda,f) \in \R\times {C}^2([0,1])$, avec $f$ non nulle, satisfait l'\'{e}quation donn\'{e}e. Alors en multipliant la premi\`ere \'equation  par $f(x)$ et en int\'egrant sur $[0,1]$, on obtient :
$$
\int_{0}^1 -f(x) f''(x)  dx= \lambda \int_{0}^1 \big(f(x)\big)^2  dx .
$$
En int\'egrant par parties le membre de gauche et en utilisant  $f(0)=f(1)=0$, il vient :
$$
\int_{0}^1 \big(f'(x)\big)^2  \, dx= \lambda \int_{0}^1 \big(f(x)\big)^2  dx.
$$
En utilisant l'in\'egalit\'e de la question 2.b), on  d\'eduit donc :
$$
 \int_{0}^1 \big(f(x)\big)^2  dx    \leq \frac {\lambda}{2} \int_{0}^1 \big(f(x)\big)^2  dx.
$$

Comme $f$ est non nulle et $C^2([0,1])$, $f^2$ est positive, non nulle et continue dans $[0,1]$. Par cons\'equent, il vient : $\dis\int_{0}^1 f(x)^2  dx> 0$ et donc  $\lambda/2\geq 1$. Le probl\`eme n'admet donc pas de solution pour $\lambda<2$.

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 48. Analyse

 Soit  $f$ une fonction d\'{e}finie et continue sur le segment $[0,1]$ \`{a} valeurs r\'{e}elles.

  \smallskip

 Pour tout $n \in \N^{\ast}$, on d\'efinit le polyn\^ome $B_n(f)$ par:
 $$
 B_n(f)(X)= \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) {n\choose k} X^k(1-X)^{n-k}
 $$

 \medskip


 1.  Soit $x \in ]0,1[$ et $n \in \N^{\ast}$. On consid\`ere $n$  variables al\'eatoires mutuellement ind\'ependantes $X_1,...,X_n$, suivant toutes la m\^eme loi de Bernoulli de param\`etre $x$, et on pose :
     $$
     \overline{X}_n=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}
     $$
 \medskip

 a)  Exprimer $E( \overline{X}_n)$, $V(\overline{X}_n)$ et $E(f(\overline{X}_n))$ en fonction de $x$, $n$ et du polyn\^ome $B_n(f)$.

 \smallskip
 b)  En d\'eduire l'encadrement :
     $$
      \sum_{k=0}^n \left|x-\frac{k}{n}\right| {n\choose k} x^k(1-x)^{n-k} \leq \sqrt{ V(\overline{X}_n)} \leq \frac{1}{2 \sqrt{n}}
     $$
 \medskip

 2. Soit $\alpha$ un r\'{e}el v\'{e}rifiant $0<\alpha\leq 1$.

\smallskip

 a)  Montrer que pour tout r\'eel $\lambda\geq 0$, on a : $\lambda^{\alpha} \leq 1+\lambda$.

 \smallskip

 b)  Pour tous $x \in  [0,1]$, $n \in \N^{\ast}$ et $k \in \[0,n\]$, \'{e}tablir l'in\'{e}galit\'{e} :
     $$
     \left|x-\frac{k}{n}\right|^{\alpha} \leq n^{-\frac{\alpha}{2}} \left(1+\sqrt{n} \left|x-\frac{k}{n}\right|\right)
     $$
 \medskip
 3. On suppose que la fonction $f$ v\'{e}rifie la propri\'{e}t\'{e} suivante: il existe  $\alpha \in ]0,1]$ et $K > 0$ tel que

 $$\forall (y,z) \in [0,1]^2,\  |f(y)-f(z)| \leq K |y-z|^{\alpha}
 $$

 \smallskip

 Soit $n \in \N^{\ast}$. Montrer que:
     $$
     \sup_{x\in [0,1]} | f(x)-B_n(f)(x)| \leq  \frac{3K}{2} \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}}
     $$


%

\end{exo}

\begin{sol}



1. a) Par le cours et ind\'{e}pendance, $E(\overline{X}_n)=x$ et $V(\overline{X}_n)= \dis\frac{x(1-x)}{n}\leq \frac{1}{4n}$.

    Par le th\'{e}or\`{e}me de  transfert et puisque les valeurs prises par les $\overline{X}_n$ sont les $\dis\frac{k}{n}$ avec $k\in\[0,n\]$, on a:
    $$
    E(f(\overline{X}_n))= \sum_{k=0}^n f \left(\frac{k}{n}\right) P(n\overline{X}_n=k)= \sum_{k=0}^n f \left(\frac{k}{n}\right) {n\choose k} x^k(1-x)^{n-k}=B_n(f)(x)
    $$
\smallskip

b)  Si $X$ est une variable al\'eatoire admettant un moment d'ordre $2$,  on a :
    $$0\leq V(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2\Rightarrow
    \big(E(X)\big)^2 \leq E(X^2)$$

    En appliquant \`a $X=|\overline{X}_n-x|$, il vient : $ \big(E(|\overline{X}_n-x|)\big)^2 \leq E((\overline{X}_n-x)^2)=V(\overline{X}_n)$.
     On utilise la question pr\'ec\'edente pour obtenir :
    $$
    \left(\displaystyle \sum_{k=0}^n \left|x-\frac{k}{n}\right| {n\choose k} x^k (1-x)^{n-k}\right)^2 \leq V(\overline{X}_n)
    $$

    L'autre in\'{e}galit\'{e} \`{a} \'{e}t\'{e} d\'{e}montr\'{e}e lors de la premi\`{e}re question.

    \medskip
2. a)  On distingue deux cas :
\par
$\bullet$  si $\lambda \in [0,1]$, alors comme $\alpha >0$, $\lambda^{\alpha} \leq 1 \leq 1+\lambda$;
\par
$\bullet$  sinon $\lambda >1$ et donc $\lambda ^{\alpha} \leq \lambda$ (car $\alpha \leq 1$) et $\lambda^{\alpha} \leq 1+\lambda$.

On a ainsi, pour tout $\lambda \geq 0$, $\lambda^{\alpha} \leq 1+\lambda$.

\smallskip
b)  On utilise la relation pr\'ec\'edente, avec $\lambda=\sqrt{n} \left|x-\dis\frac{k}{n}\right|$. Il vient :
    $$
    \left(\sqrt{n} \left|x-\frac{k}{n}\right|\right)^{\alpha} \leq 1+ \sqrt{n} \left|x-\frac{k}{n}\right|
    $$
     Ainsi,
    $$
    \forall x \in ]0,1[, \forall n \in \N^{\ast}, \forall k \in \[0,n\], \left|x-\frac{k}{n}\right|^{\alpha} \leq n^{-\frac{\alpha}{2}}\left(1+\sqrt{n}\left|x-\frac{k}{n}\right|\right)
    $$
\medskip
3.  En utilisant la formule du bin\^ome avec $(x+(1-x))^n$, on a :
$$
f(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^n f(x) {n\choose k} x^k(1-x)^{n-k}
$$
On en d\'eduit que :
$$
f(x)-B_n(f)(x)= \sum_{k=0}^n \left(f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right) {n\choose k} x^k(1-x)^{n-k}
$$
Par l'in\'egalit\'e triangulaire puis avec l'hypoth\`ese faite sur $f$, on a:
$$\eqalign{
|f(x)-B_n(f)(x)| & \leq   \sum_{k=0}^n \left|f(x)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right| {n\choose k} x^k (1-x)^{n-k}
 \leq  K  \sum_{k=0}^n \left|x-\frac{k}{n}\right|^{\alpha} {n\choose k} x^k(1-x)^{n-k} \cr
& \leq  \frac{K}{n^{\frac{\alpha}{2}}}  \sum_{k=0}^n \left(1+\sqrt{n} \left|x-\frac{k}{n}\right|\right) {n\choose k} x^k(1-x)^{n-k}\cr
& =  \frac{K}{n^{\frac{\alpha}{2}}} \left(1+\sqrt{n}  \sum_{k=0}^n \left|x-\frac{k}{n}\right| {n\choose k} x^k(1-x)^{n-k}\right)
}$$

En utilisant la question 1.b, on peut majorer la somme et obtenir ainsi,
$\dis |f(x)-B_n(f)(x)| \leq \frac{3K}{2} \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}}$.

Il suffit de passer \`a la borne sup\'erieure sur $x \in ]0,1[$ (qui est la m\^eme que celle sur $[0,1]$ par continuit\'e des fonctions) pour conclure que:
$$
 \sup_{x\in [0,1]} | f(x)-B_n(f)(x)|=\|f-B_n(f)\|_{\infty} \leq \frac{3K}{2} \frac{1}{n^{\frac{\alpha}{2}}}
$$

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 08. Analyse

1. a) Montrer que pour tout r\'{e}el $t$ et  pour tout $n\in\N$, on a:
$${1\over 1+t^2}= \sum_{k=0}^n (-1)^k t^{2k}+ (-1)^{n+1}{t^{2n+2}\over 1+t^2}$$

\smallskip
b) En d\'{e}duire que pour tout $x\in [0,1]$, on a:
$$(\star)\quad \arctan x= \sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k}{x^{2k+1}\over 2k+1}$$

\medskip
c) Montrer que $\dis \sum_{k=0}^{+\infty} {(-1)^{k}\over 2k+1}={\pi\over 4}$, puis que pour tout $n\in\N$, on a
$\dis \left| {\pi\over 4}-\sum_{k=0}^{n} {(-1)^{k}\over 2k+1}\right| \leq {1\over 2n+3}$.

\bigskip

2. a) Soit $x \in [0,1]$. En utilisant le changement de variable $t=x\cos \theta$, que l'on justifiera, montrer que :

$$\dis  \int_0^x {dt \over 1+t^2} ={x\over 1+x^2} \int_0^{\pi/2} {\sin \theta \over 1-{x^2\over 1+x^2}\sin^2\theta} d\theta$$

\smallskip
b) Soit $x \in [0,1]$. Montrer que, pour tout $n\in\N$, on a:
$$\dis \arctan x = {x\over 1+x^2}\Big(\sum_{k=0}^n \left( {x^2\over 1+x^2}\right)^k  \int_0^{\pi/2} \sin^{2k+1}\theta \,d \theta\Big) + R_n(x)$$

avec  $|R_n(x)| \leq \dis  {1\over 2^{n}}$.

\medskip

3. On pose pour tout $n\in\N$: $I_{n}=\dis \int_0^{\pi/2} \sin^{n}(\theta) d\theta$.
\smallskip

a) D\'{e}terminer une relation de r\'{e}currence entre  $I_{n}$ et $I_{n+2}$.

\smallskip
b) En d\'{e}duire pour tout $n\in\N$, l'expression de $I_{2n+1}$ en fonction de $n$.

\medskip

4. Montrer  que pour tout $x\in [0,1]$, on a :
$$(\star \star) \quad \arctan x= {x\over 1+x^2}\sum_{n=0}^{+\infty} {2^{2n} (n!)^2\over (2n+1)!} \left( {x^2\over 1+x^2}\right)^n$$

\medskip
5. a) Laquelle des  relations $(\star)$ et $(\star\star)$  para\^{\i}t la plus efficace pour calculer une valeur approch\'{e}e de $\dis\frac{\pi}4$ ? %calculs de pr\'{e}cisions modifi\'{e}s ci dessous si l'on demande d'approcher pi
\smallskip

b) La fonction {\it factorial} de Scilab permet de calculer les factorielles des entiers naturels.
\'Ecrire un script Scilab qui donne une valeur approch\'{e}e de $\dis \frac{\pi}4$ \`{a} $10^{-5}$ pr\`{e}s. On donne: $\dis {5\ln 10\over \ln 2}\approx 16,60 $.


\end{exo}

\begin{sol}

1. a) Il s'agit de l'\'{e}criture de la somme partielle d'ordre $n$ d'une s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique de raison $-t^2$.

\smallskip
b) On int\`{e}gre l'\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente entre $0$ et $x$ ; il vient, la somme \'{e}tant finie,
$$\arctan x= \int_0^x {dt \over 1+t^2} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{x^{2k+1}\over 2k+1}+ \int_0^x (-1)^{n+1}{t^{2n+2}\over 1+t^2} dt$$

Or $\dis \left|\int_0^x (-1)^{n+1}{t^{2n+2}\over 1+t^2} dt\right| \leq \int_0^x t^{2n+2} dt = {x^{2n+3}\over 2n+3}\leq {1\over 2n+3}$. Il reste \`{a} faire tendre $n$ vers $+\infty$.

\medskip
c) On prend $x=1$ pour obtenir l'\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e. L'in\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e a \'{e}t\'{e} d\'{e}montr\'{e}e ci-dessus.

\medskip
2. a) Le changement de variable propos\'{e} est de classe $C^1$ de $[0,x]$ sur $[0,\pi/2]$. On obtient:
$$\int_0^x {dt \over 1+t^2}= \int_0^{\pi/2} {x\sin \theta \over 1+x^2\cos^2\theta} d\theta=
\int_0^{\pi/2} {x\sin \theta \over 1+x^2-x^2\sin^2\theta} d\theta=
{x\over 1+x^2}\int_0^{\pi/2} {\sin \theta \over 1-{x^2\over 1+x^2}\sin^2\theta} d\theta$$

\medskip
b) On \'{e}crit, pour $n\geq 0$
 $$ {1\over 1-{x^2\over 1+x^2}\sin^2\theta}=\sum_{k=0}^n \left({x^2\over 1+x^2}\right)^k\sin^{2k}\theta+ \left({x^2\over 1+x^2}\right)^{n+1}{\sin^{2n+2}\theta \over 1-{x^2\over 1+x^2}\sin^2\theta}$$

puis, en int\'{e}grant
$$\arctan x = {x\over 1+x^2}\sum_{k=0}^n \int_0^{\pi/2} \sin^{2k+1}\theta\left( {x^2\over 1+x^2}\right)^k d \theta + R_n(x)$$

avec
$$\eqalign{
|R_n(x)|&= {x\over 1+x^2}\,\left({x^2\over 1+x^2}\right)^{n+1}\int_0^{\pi/2} {\sin^{2n+3}\theta \over 1-{x^2\over 1+x^2}\sin^2\theta}d\theta\cr
&\leq {x\over 1+x^2}\,\left({x^2\over 1+x^2}\right)^{n+1} \int_0^{\pi/2}{1\over 1-{x^2\over 1+x^2}}d\theta = {x\over 1+x^2}\,\left({x^2\over 1+x^2}\right)^{n+1}  \hskip -0.5cm (1+x^2){\pi\over 2}}$$

Lorsque $x$ varie sur $[0,1]$, on a $\dis 0<{x^2\over 1+x^2}\leq {1\over 2}$ ce qui donne $\dis |R_n(x)|\leq  {\pi\over 2^{n+2}}\leq {1\over 2^{n}}$.
\medskip

3. Il s'agit des int\'{e}grales de Wallis classiques. Il vient $\dis I_{n+2}={n+1\over n+2}I_{n}$. Comme $\dis I_1= \int_0^{\pi/2} \sin \theta d\theta=1$, on obtient:
$$I_{2n+1}=\prod_{k=1}^n {2k\over 2k+1}= {(2^n n!)^2\over (2n+1)!}$$

\medskip
4. En faisant tendre $n$ vers $+\infty$, les questions pr\'{e}c\'{e}dentes d\'{e}montrent que:
$$\arctan x= {x\over 1+x^2}\sum_{n=0}^{+\infty} {2^{2n} (n!)^2\over (2n+1)!} \left( {x^2\over 1+x^2}\right)^n$$

\medskip
5. a) Au vu des majorations obtenues dans les questions 2 et 4, mieux vaut utiliser la relation $(\star \star)$.
\smallskip

b) On r\'{e}sout l'in\'{e}quation $\dis {1\over 2^{n}}\leq 10^{-5}$ soit $n\geq \dis {5\ln 10\over \ln 2}\approx 16.60 $. On prend donc $n=17$ et on calcule $\frac12\dis \sum_{n=0}^{17} {2^{n} (n!)^2\over (2n+1)!}$. Voici une proposition:

{\tt \obeylines \obeyspaces
1. s=1  // {\it accumulateur}

2. for n=1:17  // {\it boucle}

3. \quad     s=s+(2\^\!\! (n)*factorial(n)\^\!\! 2)/factorial(2*n+1) // {\it d\'{e}finition}

4. end

5. disp (s/2) // {\it affichage du r\'{e}sultat}
}

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 20. Analyse

On admet que $\dis\sum_{p=1}^{+\infty}{1\over p^2}={\pi^2\over 6}$.

\medskip

1. Montrer que la s\'{e}rie $\dis \sum_{p\geq 1 }{(-1)^{p+1}\over p^2}$ converge. D\'{e}terminer sa somme.

\medskip

2. a) Montrer que pour tout $x\in [0,1]$, pour tout entier $p\geq 1$, on a:
$$\ln(1+x)= \sum_{k=0}^{p} (-1)^{k}{x^{k+1}\over k+1}+(-1)^{p+1}\int_0^x  {t^{p+1}\over 1+t} dt$$

\smallskip
b) Soit $n\in \N^*$  fix\'{e}. Montrer que pour tout entier $p\geq 1$ et tout $x\in [0,1]$, on a:
$$\ln(1+x^n)= \sum_{k=1}^{p+1} (-1)^{k+1} {x^{nk}\over k}+R_p(x)\ \hbox{ avec } |R_p(x)| \leq {1\over p+2}$$

\medskip

3. a) Montrer que $\dis \int_0^1 \ln(1+x^n) dx= \sum_{k=1}^{+\infty} {(-1)^{k+1} \over k(nk+1)}$.

\smallskip

b) Montrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que pour tout $n\in \N^*$, on a:
$$\left| n\sum_{k=1}^{+\infty} {(-1)^{k+1} \over k(nk+1)}- \sum_{k=1}^{+\infty} {(-1)^{k+1} \over k^2}  \right| \leq {C\over n}$$
\smallskip

c) En d\'{e}duire un \'{e}quivalent de $I_n=\dis \int_0^1 \ln(1+x^n) dx$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

\medskip

4. Soit $(u_n)$ la suite d\'{e}finie sur $\N^*$ par $u_n=\dis \int_0^1 {dt \over 1+t^n}$.

D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente que
$$u_n= 1-{\ln 2\over n} + {\pi^2\over 12n^2 } + o\left( {1\over n^2}\right)$$

%
\end{exo}

\begin{sol}

1. La s\'{e}rie $\dis \sum_{p\geq 1 }{(-1)^{p+1}\over p^2}$ est absolument convergente, donc convergente. Soit $n$ fix\'{e}.

$$S'_{2n+1}=\sum_{p=1}^{2n+1} {(-1)^{p+1}\over p^2}= \sum_{p=0}^{n} {1\over (2p+1)^2}- \sum_{p=1}^{n} {1\over (2p)^2}, \quad
S_{2n+1}= \sum_{p=1}^{2n+1} {1\over p^2}= \sum_{p=0}^{n} {1\over (2p+1)^2}+ \sum_{p=1}^{n} {1\over (2p)^2}$$

En soustrayant les deux \'{e}quations puis en prenant la limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$, il vient : $$ -S+{\pi^2\over 6}=2 \sum_{n=1}^{+\infty} {1\over 4p^2}\Rightarrow S= {\pi^2\over 12}$$


\medskip

2. a) On utilise simplement  :
$${1\over 1+t}= \sum_{k=0}^p (-1)^k t^k + {(-1)^{p+1} t^{p+1} \over 1+t}$$

puis on int\`{e}gre cette \'{e}galit\'{e} entre $0$ et $x$.

%pas clair par Taylor avec reste integrale...

\smallskip
b)  On remplace $x$ par $x^n$. Ainsi:
$$\dis \ln(1+x^n)= \sum_{k=0}^{p} (-1)^{k}{x^{n(k+1)}\over k+1}+(-1)^{p+1}\int_0^{x^n}  {t^{p+1}\over 1+t} dt.$$


Comme $0\leq \dis \left| \int_0^1 {(-1)^{p+1} t^{p+1} \over 1+t} dt  \right|\leq \int_0^1  t^{p+1} dt= {1\over p+2}$, l'\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e vient imm\'{e}diatement, puisque $0 \leq x^n \leq 1$.


\medskip
3. a) On reprend la question 2.b). On a $\dis\ln(1+x^n)= \sum_{k=1}^{p+1} (-1)^{k+1}{x^{nk}\over k}+R_p(x^n)$, avec $|R_p(x^n)| \leq \dis {1\over p+2}$.

En int\'{e}grant, il vient:
 $$ \int_0^1 \ln(1+x^n)dx= \sum_{k=1}^{p+1} (-1)^{k+1}{1\over k(nk+1)}+\int_0^1 R_p(x^n)dx, \hbox{ avec }  \left| \int_0^1 R_p(x^n)dx\right| \leq {1\over p+2}$$

Il reste \`{a} faire tendre $p$ vers $+\infty$.

\smallskip
b) Chacune des s\'{e}ries \'{e}tant convergente, il vient:
$$\left| n\sum_{k=1}^{+\infty} {(-1)^{k+1} \over k(nk+1)}- \sum_{k=1}^{+\infty} {(-1)^{k+1} \over k^2}  \right|= \left| \sum_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k+1} {1 \over k^2(nk+1)} \right|\leq
{1\over n}\sum_{k=1}^{+\infty} {1 \over k^3}= {C\over n}$$

\smallskip
c) Ainsi, $\dis\left|nI_n-{\pi^2\over 12}\right| \leq {C\over n}$, ce qui entra\^{\i}ne que $I_n \sim \dis {\pi^2\over 12n}$.

\medskip
4. La suite $(u_n)$ est bien d\'{e}finie. Une int\'{e}gration par parties donne:
$$I_n= \left[ x\ln(1+x^n) \right]_0^1 -n\int_0^1 {x^n\over 1+x^n} dx= \ln 2-n(1-u_n)$$

Ainsi,
$\dis u_n = 1-{\ln 2\over n}+{\pi^2 \over 12n^2} + o\left( {1\over n^2} \right)$.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 32. Analyse

{\it On rappelle} que:


\quad $\bullet$ la fonction $\Gamma$ est d\'{e}finie sur ${\R}_+^*$ par: $\forall\,x>0,\,\,\Gamma(x)=\dis\int_0^{+\infty}t^{x-1}\,\e^{-t}\,\hbox{d}t$;


\quad $\bullet$ pour tout $x>0$, on a $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$.

\medskip
{\it On admet sans d\'{e}monstration} que la fonction $\Gamma$ est de classe $C^{\infty}$ sur ${\R}_+^*$ et que l'on a:
$$\forall\,x>0,\,\,\forall\,k\in{\bf N}^*,\,\,\,\Gamma^{(k)}(x)=\dis\int_0^{+\infty}(\ln t)^k\,t^{x-1}\,\e^{-t}\,\hbox{d}t\,\,\,\,\,\hbox{ avec }\,\,\,\,\,\Gamma^{(0)}=\Gamma\,.$$


\medskip
1.a) Soit $f$ une fonction d\'{e}finie et continue sur ${\R}_+$, \`{a} valeurs dans ${\R}_+$ et telle que $\dis\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,\hbox{d}x=0$.
\smallskip
Montrer que $f$ est identiquement nulle sur ${\R}_+$.

\smallskip
b) Montrer que pour tout $x>0$, on a $\Gamma(x)>0$.
\smallskip

c) \'{E}tudier la convexit\'{e} de la fonction $\Gamma$ sur ${\R}_+^*$.
\medskip

2.a) \'{E}tablir l'existence d'un r\'{e}el $\theta\in\,]1,2\,[$ tel que $\Gamma^\prime(\theta)=0$.

\smallskip
b) Quel est le sens de variation de la fonction $\Gamma$ sur ${\R}_+^*$?

\smallskip
c) Montrer que $\dis\lim_{x\to\,0^+}\Gamma(x)=+\infty$ et que $\dis\lim_{x\to\,+\infty}\Gamma(x)=+\infty$.

\smallskip
d) Donner l'allure de la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $\Gamma$ sur ${\R}_+^*$.

\medskip

3. La fonction $\Psi=\dis{\Gamma^\prime\over \Gamma}$ est repr\'{e}sent\'{e}e en {\it Scilab} par {\tt dlgamma}. Le programme suivant renvoie la valeur 1.4616699.

\medskip
{\tt
\qquad   function y=Psi(x); y=dlgamma(x); endfunction


\smallskip
\qquad   a=1; b=2;

\smallskip
\qquad   while (b-a)>$\,\!\!$ 0.001 do

\smallskip
\qquad  \qquad  if Psi((a+b)/2)>$\,\!\!$ 0 then b=(a+b)/2; end

\smallskip
\qquad  \qquad  if Psi((a+b)/2)<$\,\!\!$ 0 then a=(a+b)/2; end

\smallskip
\qquad  \qquad  if Psi((a+b)/2)==$\,\,\!$0 then b=(a+b)/2; a=(a+b)/2; end

\smallskip
\qquad   end

\smallskip
\qquad   disp ((a+b)/2)
}
\medskip

Le r\'{e}el renvoy\'{e} par le programme est une valeur approch\'{e}e d'une certaine quantit\'{e}. Laquelle? Expliquer.

%

\end{exo}

\begin{sol}



1.a) Soit $F$ une primitive de $f$ sur ${\R}_+$. On a: $\dis\int_{0}^{+\infty}f(x)\,\hbox{d}x=\lim_{B\to \,+\infty}F(B)-F(0)=0$.

\smallskip
Or, pour tout r\'{e}el $\geq 0$, $F^{\prime}(x)=f(x)\geq 0$, donc la fonction $F$ est croissante et puisque $\dis\lim_{B\to \,+\infty}F(B)=F(0)$,
\smallskip

la fonction $F$ est constante sur ${\R}_+$ et par suite sa d\'{e}riv\'{e}e $f$ est identiquement nulle sur ${\R}$.

\smallskip
b) Soit $x>0$. La fonction $h_x:t\longmapsto t^{x-1}\,\e^{-t}$ est continue et strictement positive sur ${\R}_+^*$.
\smallskip

Par suite, $\dis\int_{0}^{+\infty}h_x(t)\,\hbox{d}t\geq 0$. D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, on ne peut avoir $\dis\int_{0}^{+\infty}h_x(t)\,\hbox{d}t=0$ que si $h_x$ est
\smallskip
identiquement nulle sur ${\R}_+^*$, ce qui n'est pas le cas. Finalement, pour tout $x>0$, on a $\Gamma(x)>0$.

\smallskip
c) Soit $x>0$. La fonction $t\longmapsto (\ln t)^2\,t^{x-1}\,\e^{-t}$ est continue, positive et non nulle sur ${\R}_+^*$.
\smallskip

Donc: $\forall\,x>0,\,\,\Gamma^{\prime\prime}(x)>0$ et la fonction $\Gamma$ est convexe sur ${\R}_+^*$.

\medskip
2.a) On a $\Gamma(1)=\Gamma(2)=1$. La fonction $\Gamma$ est continue sur $[1,2]$ et d\'{e}rivable sur $]1,2[$; le th\'{e}or\`{e}me de Rolle
\smallskip

assure alors l'existence d'un r\'{e}el $\theta\in\,]1,2[$ tel que $\Gamma^{\prime}(\theta)=0$.

\smallskip
b) On sait que la fonction $\Gamma^{\prime\prime}$ est strictement positive sur ${\R}_+^*$, donc la fonction $\Gamma^{\prime}$ est strictement croissante
sur ${\R}_+^*$ et puisqu'il existe un r\'{e}el $\theta$ tel que $\Gamma^{\prime}(\theta)=0$, le th\'{e}or\`{e}me des valeurs interm\'{e}diaires assure que $\theta$ est
l'unique r\'{e}el qui annule $\Gamma^{\prime}$. Par suite, $\cases{\Gamma^{\prime}(x)<0& si $0<x<\theta$\cr \Gamma^{\prime}(x)>0& si $x>\theta$}\,.$
\smallskip
Il en r\'{e}sulte que la fonction $\Gamma$ est strictement d\'{e}croissante sur $]\,0,\theta\,[$ et strictement croissante sur $]\,\theta,+\infty[$ et
\smallskip

admet donc un minimum global en $\theta$.

\smallskip
c) Au voisinage de 0, on a $\Gamma(x)=\dis{\Gamma(x+1)\over x}\dis\mathop{\sim}_{x\to \,0^+}{\Gamma(1)\over x}={1\over x}$, donc $\dis\lim_{x\to\,0^+}\Gamma(x)=+\infty$.

\smallskip
Au voisinage de $+\infty$, la fonction $\Gamma$ est croissante donc admet une limite, finie ou infinie.
\smallskip

Or, pour $n\in{\bf N}^*$, $\Gamma(n)=(n-1)!$ a pour limite $+\infty$, donc on a $\dis\lim_{x\to\,+\infty}\Gamma(x)=+\infty$.

\smallskip
d) La repr\'{e}sentation graphique de la fonction $\Gamma$ se d\'{e}duit ais\'{e}ment des questions pr\'{e}c\'{e}dentes.

\medskip

3. La fonction $\Psi$ est $C^{\infty}$ sur ${\R}_+^*$ comme quotient de deux fonctions $C^{\infty}$ sur ${\R}_+^*$ dont le d\'{e}nominateur ne
s'annule pas ($\Gamma(x)>0$). En particulier, la fonction $\Psi$ est continue sur $[1,2]$ et d'apr\`{e}s la question 2b), la

\smallskip
fonction $\Psi$ change de signe sur $[1,2]$ et s'annule (une et une seule fois) en $\theta\in\,]1,2[$.
\smallskip
Par suite, le programme {\it Scilab} propos\'{e} permet par un raisonnement dichotomique de renvoyer une valeur
approch\'{e}e de $\theta$.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 11. Analyse

On note  $ E $  l'ensemble des fonctions r\'{e}elles  $ f $  d\'{e}finies et de classe  $ C^{1} $  sur  $  \left[ 0,1 \right]  $  telles que  $ f \left( 0 \right) =f \left( 1 \right) =0 $.

\smallskip

1.  Donner un \'{e}quivalent de la fonction  $ \displaystyle t\mapsto\frac{1}{\sin \left(  \pi t \right) } $ en $t_0=0$ et en $t_0=1$.

\medskip

2.  Soit  $ f $  une fonction de  $ E $.

a)  Montrer que l'int\'{e}grale $\displaystyle  \int _{0}^{1}\frac{\cos \left(  \pi t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) }f \left( t \right) f' \left( t \right) dt $ converge. On note alors  $ I \left( f \right)  $  la valeur de cette int\'{e}grale.

\smallskip

b) Montrer que:

 $$ I \left( f \right) =\frac{ \pi }{2} \int _{0}^{1}\frac{\big(f(t)\big)^2} {\sin^{2} \left(  \pi t \right) }dt $$

 \medskip

 3. \'{E}tablir l'in\'{e}galit\'{e} suivante :

 $$  \int _{0}^{1} \big( f^{\prime}(t)\big)^2  dt \geq  \pi ^{2} \int _{0}^{1}\big(f(t)\big)^2 dt \qquad (*)$$

 On pourra consid\'{e}rer l'int\'{e}grale  $\displaystyle \int _{0}^{1} \left(  \pi \frac{\cos \left(  \pi t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) }f \left( t \right) -f^{\prime} \left( t \right)  \right) ^{2}dt. $
\medskip

4. a)  Montrer que le cas d'\'{e}galit\'{e}  dans l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente est obtenu si et seulement si :

 $$  \forall t \in  \left[ 0,1 \right] , \pi \cos \left(  \pi t \right) f \left( t \right) =f^{\prime} \left( t \right) \sin \left(  \pi t \right)  $$

\smallskip

b) En consid\'{e}rant la fonction  $  \lambda  $  d\'{e}finie sur  $  ] 0,1 [  $  par:

 $$ \forall\, t\in\, ]0,1[,\,\, \lambda  \left( t \right) =\frac{f \left( t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) } $$

d\'{e}terminer l'ensemble des fonctions de  $ E $  qui r\'{e}alisent le cas d'\'{e}galit\'{e} dans l'in\'{e}galit\'{e} $(*)$.


%

\end{exo}

\begin{sol}

1. Au voisinage de $0$, $\sin t \sim t$. Donc, $\displaystyle\frac{1}{\sin \left(  \pi t \right) }  \sim \frac{1}{ \pi t}$.

 Pour \'{e}tudier la fonction au voisinage de $1$, on effectue le changement de variable $u=1-t$ qui nous ram\`{e}ne au voisinage de $0$. Ainsi, $\displaystyle \frac{1}{\sin \left(  \pi t \right) }  \sim  \frac{1}{ \pi  \left( 1-t \right) } $ au voisinage de 1.
 \medskip

 2. a) La fonction $t\longmapsto\displaystyle \frac{\cos \left(  \pi t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) }f(t)f' (t)$ est continue sur $]0,1[$. Au voisinage de $0$, elle est \'{e}quivalente \`{a}
$$ \frac{f'(t) }{ \pi } \times \frac{f(t) }{t}$$

 Or, $f$ est d\'{e}rivable en 0 et $f \left( 0 \right) =0$, donc $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}\frac{f \left( t \right) }{t}=f' \left( 0 \right)$.
 En outre, $f$ est de classe $C^{1}$ en $0$, donc:

 $$\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0}\frac{\cos \left(  \pi t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) }f \left( t \right) f' \left( t \right) =\frac{ \left( f' \left( 0 \right)  \right) ^{2}}{ \pi }$$


De m\^{e}me,
$\displaystyle\frac{\cos \left(  \pi t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) }f \left( t \right) f' \left( t \right) \sim  -\frac{f' \left( t \right) }{ \pi } \times \frac{f \left( t \right) }{t-1}$. Donc:
  $\displaystyle \lim_{t \rightarrow 1}\frac{\cos \left(  \pi t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) }f \left( t \right) f' \left( t \right) =-\frac{ \left( f' \left( 1 \right)  \right) ^{2}}{ \pi }$.


L'int\'{e}grale propos\'{e}e est donc faussement impropre.

\smallskip
b) On int\`{e}gre par parties sur  $  \left[ a,1-a \right]  $ ,  $ a \in  ] 0,\frac{1}{2} [  $, puis on fait tendre $a$ vers $0$. Cela donne le r\'{e}sultat demand\'{e} (limite du crochet en faisant appara\^{i}tre des taux de variation).


 $$  \int _{a}^{1-a}\frac{\cos \left(  \pi t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) }f \left( t \right) f^{'} \left( t \right) dt=\frac{\cos \left(  \pi  \left( 1-a \right)  \right) }{2\sin \left(  \pi  \left( 1-a \right)  \right) }f^{2} \left( 1-a \right) -\frac{\cos \left(  \pi a \right) }{2\sin \left(  \pi a \right) }f^{2} \left( a \right) +\frac{ \pi }{2} \int _{a}^{1-a}\frac{f^{2} \left( t \right) }{\sin^{2} \left(  \pi t \right) }dt $$

Or,
$$\lim_{a \rightarrow 0} \left( \frac{\cos \left(  \pi  \left( 1-a \right)  \right) }{2\sin \left(  \pi  \left( 1-a \right)  \right) }f^{2} \left( 1-a \right) -\frac{\cos \left(  \pi a \right) }{2\sin \left(  \pi a \right) }f^{2} \left( a \right)  \right) =-\frac{f^{'} \left( 1 \right) f \left( 1 \right) }{2 \pi }+\frac{f^{'} \left( 0 \right) f \left( 0 \right) }{2 \pi }=0$$

\medskip

3. On d\'{e}veloppe l'int\'{e}grale propos\'{e}e. La positivit\'{e} de l'int\'{e}grale assure la positivit\'{e} du tout et l'un des termes est $I(f)$, soit :


$$\int _{0}^{1} \left(  \pi \frac{\cos \left(  \pi t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) }f \left( t \right) -f^{'} \left( t \right)  \right) ^{2}dt= \pi ^{2} \int _{0}^{1}\frac{\cos^{2} \left(  \pi t \right) }{\sin^{2} \left(  \pi t \right) }f^{2} \left( t \right) dt-2 \pi  \int _{0}^{1}\frac{\cos \left(  \pi t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) }f \left( t \right) f^{'} \left( t \right) dt+ \int _{0}^{1} \left( f^{'} \right) ^{2} \left( t \right) dt $$



$$\int _{0}^{1} \big( f'(t) \big) ^{2} \left( t \right) dt \geq  \pi ^{2} \int _{0}^{1}\frac{f^{2} \left( t \right) }{\sin^{2} \left(  \pi t \right) }dt- \pi ^{2} \int _{0}^{1}\frac{\cos^{2} \left(  \pi t \right) }{\sin^{2} \left(  \pi t \right) }f^{2} \left( t \right) dt= \pi ^{2} \int _{0}^{1}\big(f(t)\big)^2  dt.$$

\medskip

4. a)  Le cas d'\'{e}galit\'{e} est obtenu si et seulement si l'int\'{e}grale d'une fonction continue et positive est nulle donc si et seulement si c'est la fonction nulle, soit  $\forall t \in  ] 0,1 [$ ,  $\pi \cos \left(  \pi t \right) f \left( t \right) =f' \left( t \right) \sin \left(  \pi t \right)$. Par continuit\'{e}, cette \'{e}galit\'{e} peut \^{e}tre \'{e}tendue \`{a}  $[0,1]$.

\smallskip

b) Si  $ f \in E $  v\'{e}rifie le cas d'\'{e}galit\'{e}, alors la fonction  $  \lambda  $  est d\'{e}rivable sur  $  ] 0,1 [  $  et on a :

 $$\forall t \in  ] 0,1 [ , \lambda' \left( t \right) =\frac{ -\pi \cos \left(  \pi t \right) f \left( t \right) +\sin \left(  \pi t \right) f' \left( t \right) }{\sin^{2} \left(  \pi t \right) }=0. $$

On en d\'{e}duit alors que  $  \lambda  $  est constante sur  $] 0,1 [ $. Il existe donc  $ c \in \R $  tel que :  $  \forall t \in  ] 0,1 [  $,  $ f \left( t \right) =c\sin \left(  \pi t \right)  $. Cette \'{e}galit\'{e} est encore vraie en 0 et en 1 car  $ f \left( 0 \right) =f \left( 1 \right) =0 $.

On v\'{e}rifie ais\'{e}ment la r\'{e}ciproque. En effet,
s'il existe  $ c \in\ R $  tel que :  $  \forall t \in  [ 0,1 ]  $ ,  $ f \left( t \right) =c\sin \left(  \pi t \right)  $, alors on a :

 $$\int _{0}^{1} \left(  \pi \frac{\cos \left(  \pi t \right) }{\sin \left(  \pi t \right) }f \left( t \right) -f^{'} \left( t \right)  \right) ^{2}dt= \int _{0}^{1} \left(  \pi \cos \left(  \pi t \right) - \pi \cos \left(  \pi t \right)  \right) ^{2}dt=0$$

\medskip

Finalement, les fonctions de  $ E $   qui r\'{e}alisent le cas d'\'{e}galit\'{e} dans l'in\'{e}galit\'{e} $(\star)$ sont celles qui sont proportionnelles \`{a}  $ t\mapsto \sin \left(  \pi t \right)  $.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 44. Analyse


On d\'{e}finit la suite  $  \left( C_{n} \right) _{n \in \N} $  par:

 $$ C_0=1 \,\,\hbox{et pour tout}\,\, n \in \N,\,\, C_{n+1}= \sum _{k=0}^{n}C_{k}C_{n-k} $$

\medskip


1.  Proposer une fonction Scilab d'en-t\^{e}te {\tt function y=C(n)} renvoyant la valeur de  $ C_{n} $. On pourra \'{e}ventuellement utiliser un vecteur $u$ contenant les r\'{e}els $C_0,\dots,C_k$.
\smallskip


Soit $  \left(  \gamma _{n} \right) _{n \in \N} $  la suite    d\'{e}finie par :

$$  \gamma _{0}=1\hbox{ et }   \forall n \in \N, \gamma _{n+1}=\frac{4n+2}{n+2} \gamma _{n} $$

 \medskip

 Pour tout entier naturel  $ n $ , on note $ P_{n} $  la fonction polynomiale d\'{e}finie par :

 $$  \forall x \in \R,P_{n} \left( x \right) = \sum _{k=0}^{n} \gamma _{k} \gamma _{n-k}x^{k+1} $$

\medskip

2.  Pour tout entier naturel $n$ et tout r\'{e}el $x$ non nul, montrer que $x^{n+2}P_{n} \left( \dis\frac{1}{x} \right)= P_{n} \left( x \right) $.

\medskip

3.   En d\'{e}duire que pour tout entier naturel $n$, on a : $\displaystyle P_{n}' \left( 1 \right) =\frac{n+2}{2}P_{n} \left( 1 \right)$.

\medskip

4.  Montrer que  pour tout entier naturel  $ n $  et tout r\'{e}el  $ x $ , on a :  $ P_{n+1}' \left( x \right) = \gamma _{n+1}+4xP_{n}' \left( x \right) -2P_{n} \left( x \right). $

\medskip

5. Montrer alors par r\'{e}currence que, pour tout entier naturel  $ n $ , on a: $ P_{n} \left( 1 \right) = \gamma _{n+1} $.

\medskip

6. En d\'{e}duire que :  $  \forall n \in \N,C_{n}= \gamma _{n} $.
\medskip

7.  En d\'{e}duire enfin que l'on a:

$$  \forall n \in \N,C_{n}=\frac{1}{n+1}{2n\choose n}  $$


%
\end{exo}

\begin{sol}


1.  Une proposition :

{\tt \obeylines\obeyspaces
1.  function y=C(n)

2.  u(1)=1

3.  for k=1:n

4.  \quad       s=0

5.   \quad      for i=0:k

6.   \qquad         s=s+u(i)* u(k-i)

7.    \quad   end

8.        u(k+1)=s

9.    end

10.   y=u(n+1)   //Cn est la (n+1)-\`{e}me composante du vecteur u

11. endfunction
}
\bigskip

2.  On a, pour tout $x\in \R^*$ :
$$x^{n+2}P_{n} \left( \dis\frac{1}{x} \right) =x^{n+2} \dis\sum _{k=0}^{n} \gamma _{k} \gamma _{n-k}x^{-k-1}= \sum _{k=0}^{n} \gamma _{k} \gamma _{n-k}x^{n-k+1}= \sum _{k=0}^{n} \gamma _{n-k} \gamma _{k}x^{k+1}=P_{n} \left( x \right)$$

\medskip

3. On d\'{e}rive membre \`{a} membre puis on \'{e}value en $x=1$ :
$$\forall x \in \R^{\ast}, \left( n+2 \right) x^{n+1}P_{n} \left( \dis\frac{1}{x} \right) -x^{n}P_{n}' \left(\dis \frac{1}{x} \right) =P_{n}' \left( x \right)$$

Donc,   $\left( n+2 \right) P_{n} \left( 1 \right) -P_{n}' \left( 1 \right) =P_{n}' \left( 1 \right)$.

\medskip

4. Par d\'{e}finition de  $  \left(  \gamma _{n} \right) _{n \in \N^{\ast}} $ , on a  pour tout $k\geq 1$, $ \left( k+1 \right)  \gamma _{k}= \left( 4k-2 \right)  \gamma _{k-1} $ , donc  pour tout r\'{e}el  $ x $ , on a:

 $$\eqalign{
  P_{n+1}' \left( x \right) &= \sum _{k=0}^{n+1} \left( k+1 \right)  \gamma _{k} \gamma _{n+1-k}x^{k}= \gamma _{0} \gamma _{n+1}+ \sum _{k=1}^{n+1} \left( 4k-2 \right)  \gamma _{k-1} \gamma _{n+1-k}x^{k}\cr
  &= \gamma _{n+1}+4x \sum _{k=0}^{n} \left( k+1 \right)  \gamma _{k} \gamma _{n-k}x^{k}-2 \sum _{k=0}^{n} \gamma _{k} \gamma _{n-k}x^{k+1}= \gamma _{n+1}+4xP_{n}' \left( x \right) -2P_{n} \left( x \right)
}$$


5. Par r\'{e}currence. pour tout $x$ r\'{e}el, $P_{0} \left( x \right) = \gamma _{0}^{2}x=x $, donc  $ P_{0} \left( 1 \right) =1 $. Or,  $  \gamma _{1}= \gamma _{0}=1 $ , donc  ${\cal P} \left( 0 \right)  $  est vraie.

Soit  $ n \in \N $  tel que  $ {\cal P} \left( n \right)  $  est vraie. L'\'{e}galit\'{e}  pr\'{e}c\'{e}dente \'{e}valu\'{e}e en 1 donne  $ P_{n+1}' \left( 1 \right) = \gamma _{n+1}+4P_{n}' \left( 1 \right) -2P_{n} \left( 1 \right)  $  soit, en tenant compte de  ${\cal P} \left( n \right)  $  :  $ P_{n+1}' \left( 1 \right) =4P_{n}' \left( 1 \right) - \gamma _{n+1} $. Or, on sait que:

 $$ P_{n+1}' \left( 1 \right) =\frac{n+3}{2}P_{n+1} \left( 1 \right) \hbox{ et }  P_{n}' \left( 1 \right) =\frac{n+2}{2}P_{n} \left( 1 \right) =\frac{n+2}{2} \gamma _{n+1}  $$

 Ainsi, $ \dis\frac{n+3}{2}P_{n+1} \left( 1 \right) =4\frac{n+2}{2} \gamma _{n+1}- \gamma _{n+1}= \left( 2n+3 \right)  \gamma _{n+1}$, d'o\`{u} : $P_{n+1} \left( 1 \right) =\dis\frac{2 \left( 2n+3 \right) }{n+3} \gamma _{n+1}= \gamma _{n+2} $.

%Ainsi,  $ P \left( n+1 \right)  $  est vraie et donc, par r\'{e}currence,  $ P \left( n \right)  $  est vraie pour tout  $ n \in N $ , d'o\`{u} le r\'{e}sultat.\par
\medskip

6. La formule \'{e}tablie \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente s'\'{e}crit :  $\forall n \in \N, \dis\sum _{k=0}^{n} \gamma _{k} \gamma _{n-k}= \gamma _{n+1}$. On a en outre  $\gamma _{0}=1. $

Donc, $\forall \,n\in\N,\,\,C_n=\gamma_n$.
%Les suites  $  \left(  \gamma _{n} \right) _{n \in \N} $  et  $  \left( C_{n} \right) _{n \in \N} $  v\'{e}rifient donc la m\^{e}me relation de r\'{e}currence et elles ont le m\^{e}me premier terme, elles sont \'{e}gales.
\medskip

7.  Notons provisoirement  $\left(  \alpha _{n} \right) _{n \in \N}$ la suite d\'{e}finie par :  $\forall n \in \N, \alpha _{n}=\dis\frac{1}{n+1} {2n\choose n}$. On a  $\alpha _{0}=1$ et

$$  \forall n \in \N,\frac{4n+2}{n+2} \alpha _{n}=\frac{4n+2}{n+2}\frac{1}{n+1} {2n\choose n}=\frac{1}{n+2}  {2n+2\choose n+1} = \alpha _{n+1} $$

Les suites   $  \left(  \alpha _{n} \right) _{n \in \N} $  et  $  \left(  \gamma _{n} \right) _{n \in \N} $  ont donc le m\^{e}me premier terme et v\'{e}rifient la m\^{e}me relation de r\'{e}currence : elles sont donc \'{e}gales. Et puisque  $  \left(  \gamma _{n} \right) _{n \in N}= \left( C_{n} \right) _{n \in\N} $,  alors,  $  \forall n \in \N,C_{n}= \gamma _{n}=\dis{1\over n+1}{2n\choose n} $.
%ou par recurrence directe avec  la definition recurrente de la suite $(\gamma_n)$.
\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 23. Analyse

On consid\`{e}re l'int\'{e}grale suivante : $\dis \int_{0}^{+\infty}\, \frac{\sin(t)}{x+t}dt$.

 \medskip

1. a) \`{A} l'aide d'une int\'{e}gration par parties, montrer que cette int\'{e}grale est convergente pour tout $x>0$.

\smallskip

b) Montrer que cette int\'{e}grale est convergente pour $x=0$.
\smallskip

\medskip

On pose alors, pour tout $x\geq 0, f(x)= \dis \int_{0}^{+\infty}\, \frac{\sin(t)}{x+t}dt.$
 \medskip

2.   \`{A}  l'aide d'un changement de variable affine, montrer que:
$$\forall x> 0 ,\;\;f(x) = \cos(x)\,\int_{x}^{+\infty}\, \frac{\sin(u)}{u}du-\sin(x) \int_{x}^{+\infty}\, \frac{\cos(u)}{u}du .$$
\medskip

3. a) Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\R_+^*$ et calculer $f'(x)$ pour tout $x>0$.

\smallskip

b) Montrer  que $f$ est de classe $C^2$ sur $]0,+\infty[$ et calculer  $f''(x)$ pour tout $x>0$.
 \medskip

c) En d\'eduire une relation entre $x,f(x)$ et $f''(x)$ pour tout $x>0$.

\medskip
4. D\'{e}terminer $\dis \lim_{x\to +\infty} f(x)$.



 %

\end{exo}

\begin{sol}


1.a)
Soit $x>0$. L'application $t\mapsto  \dis \frac{\sin(t)}{x+t}$ est d\'efinie sur $\R_+$. On effectue une int\'egration par parties, d'o\`u pour $A>0$:
$$\eqalign{
\int_{0}^{A}\, \frac{\sin(t)}{x+t}dt&=\left[\frac{-\cos(t)}{x+t}\right]_0^A+\int_{0}^{A}\, \frac{\cos(t)}{(x+t)^2}dt\cr
&=\frac{-\cos(A)}{A+x}+\frac{1}{x}+\int_{0}^{A}\, \frac{\cos(t)}{(x+t)^2}dt}$$

Or, $\dis\int_{0}^{+\infty}\, \frac{\cos(t)}{(x+t)^2}dt$ est absolument convergente donc convergente puisque
$$\forall t\geq 0,  \frac{|\cos(t)|}{(x+t)^2}\leq \frac{1}{(x+t)^2}.$$

De plus, la limite quand $A$ tend vers $+\infty$ de $\dis\frac{-\cos(A)}{A+x}$ est nulle. On en d\'eduit que $f$ est d\'efinie pour $x>0$.

\smallskip

b) La fonction $\dis t \to \frac{\sin t}{t}$ se prolonge continuement sur $[0, +\infty[$. Pour montrer la convergence de l'int\'{e}grale de Dirichlet, on effectue une int\'{e}gration par parties sur $[1,A]$ en d\'{e}rivant $t \to 1/t$ et en int\'{e}grant $t\to \sin t$.


 \medskip

2. On applique le changement de variable affine $u=x+t$ ; on obtient:
$$
\forall x> 0,\,\, f(x) =\int_x^{+\infty} \frac{\sin(u-x)}{u}du=\int_x^{+\infty} \left(\frac{\sin(u)\,\cos(x)}{u}-\frac{\cos(u)\,\sin(x)}{u} \right)du$$

Les int\'egrales \'etant convergentes, on peut appliquer la lin\'earit\'e d'o\`u:
$$f(x)= \cos(x)\,\int_{x}^{+\infty}\, \frac{\sin(u)}{u}du-\sin(x) \int_{x}^{+\infty}\, \frac{\cos(u)}{u}du .$$

  \medskip

3. a) Les fonctions sinus et cosinus sont d\'erivables sur $\R$. Enfin $\dis \int_{x}^{+\infty}\, \frac{\sin(u)}{u}du$ repr\'esente une primitive de $\dis -\frac{\sin(u)}{u}$.
 On en d\'eduit que $f$ est d\'erivable sur  $]0,+\infty[$ et on a:
 $$\forall x> 0,\;\; f'(x)=-\sin(x)\int_{x}^{+\infty}\, \frac{\sin(u)}{u}du-\cos(x)\frac{\sin(x)}{x}-\cos(x)\int_{x}^{+\infty}\, \frac{\cos(u)}{u}du+\sin(x)\frac{\cos(x)}{x}.$$
 D'o\`u:
  $$\forall x> 0,\;\; f'(x)=-\sin(x)\int_{x}^{+\infty}\, \frac{\sin(u)}{u}du -\cos(x)\int_{x}^{+\infty}\, \frac{\cos(u)}{u}du.$$
\smallskip

 b) Pour les m\^emes raisons, on peut encore d\'eriver d'o\`u:
   $$\forall x> 0,\;\; f''(x)=-\cos(x)\int_{x}^{+\infty}\, \frac{\sin(u)}{u}du +\frac{\sin^2(x)}{x}+\sin(x)\int_{x}^{+\infty}\, \frac{\cos(u)}{u}du+\frac{\cos^2(x)}{x}.$$
 \smallskip
 c)  Soit $f''(x)=-f(x)+\dis\frac{1}{x}$ pour tout $x>0$.

 \medskip

4. Les fonctions sinus et cosinus sont born\'{e}es, et les deux int\'{e}grales sont convergentes donc de limite nulle en $+\infty$, tout comme $f$.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 35. Analyse


1. Soit $n$ et $m$ deux entiers naturels.


a) \'{E}tablir la formule:


$$\forall \,t\in\R,\,\,\sin(nt)-\sin(mt)=
2 \sin\left(\frac{n-m}{2}t\right) \cos\left(\frac{n+m}{2}t\right)$$

\medskip
b) Montrer l'existence de l'int\'{e}grale $\dis\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin(nt)}{\sin(t)}dt$. On la note $J_n$.

\smallskip
c) Calculer $J_n$ pour $n=0,1,2$.
\medskip

2. Pour tout r\'{e}el $\lambda>0$, on pose:
$$u(\lambda)=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac {\cos(\lambda t)}{\dis\cos\bigg(\frac{t}{2}\bigg)}dt $$

a) Montrer que $\dis \lim_{\lambda \to +\infty} u(\lambda)=0$.
\smallskip

b) En d\'{e}duire la convergence de la suite $(J_n-J_{n-1})_{n\geq 1}$.

\medskip

3. a)  Exprimer $J_n-J_{n-2}$ pour $n \geq 2$.


\smallskip
b) En  d\'{e}duire la convergence de la suite $(J_n)_{n\geq 0}$ et d\'{e}terminer sa limite.

\medskip
4.  Montrer la convergence de la s\'{e}rie $\dis \sum_{p \geq 0} \frac{(-1)^p}{2p+1}$ et calculer sa somme.

%

\end{exo}

\begin{sol}


1.a) En passant en exponentielle complexe, il vient:
$$\sin(nt)-\sin(mt)= \im \Big[ e^{i\frac{(n+m)}{2}t}
\big(e^{i\frac{(n-m)}{2}t}-e^{-i\frac{(n-m)}{2}t}\big)\Big]=
2 \sin\left(\frac{n-m}{2}t\right) \cos\left(\frac{n+m}{2}t\right)$$


\medskip b) La fonction $t \mapsto \dis \frac{\sin(nt)}{\sin(t)}$ se prolonge par continuit\'{e}
en $0$ car $ \dis \frac{\sin(nt)}{\sin(t)} \sim \frac{nt}{t} \sim n$.

\medskip
c) Calculs \'{e}l\'{e}mentaires :  $J_0=0$,  $J_1=\dis\frac{\pi}{2}$ et  $J_2=\dis\int_0^\frac{\pi}{2} 2\cos(t)dt=2$.
\medskip

2. a)  On int\`{e}gre par parties:
$$u(\lambda)=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac {\cos(\lambda t)}{\cos(\frac{t}{2})}dt=\Big[ \frac{\sin(\lambda t)}{\lambda \cos (\frac{t}{2})} \Big]_0^\frac{\pi}{2} - \int_0^\frac{\pi}{2} \frac {\sin(\lambda t)}{\lambda}.\frac{\frac{1}{2}\sin(\frac{t}{2})}{\cos^2(\frac{t}{2})}dt$$

d'o\`{u}:

$$|u(\lambda)|=
\left|\int_0^\frac{\pi}{2} \frac {\cos(\lambda t)}{\cos(\frac{t}{2})}dt\right| \leq \frac{C}{\lambda} \to 0$$

car sur $[0, \frac{\pi}{2}]$, les fonctions en jeu sont continues.


\smallskip

b) Donc,
$$J_n-J_{n-1}=\dis \int_0^\frac{\pi}{2} \frac {2\sin(\frac{t}{2})\cos((n-\frac{1}{2})t)}{\sin(t)}dt
=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac {\cos((n-\frac{1}{2})t)}{\cos(\frac{t}{2})}dt$$

 tend vers $0$ gr\^{a}ce \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente.

\medskip

3. a) On a:
$$\eqalign{
J_n-J_{n-2}&=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac {2\sin(t)\cos((n-1)t)}{\sin(t)}dt
=\Big[ \frac{2\sin((n-1)t)}{n-1} \Big]_0^\frac{\pi}{2}
=\frac{2\sin((n-1)\frac{\pi}{2})}{n-1}\cr
&=\cases{	
0 & si $n=2p+1$ \cr
\dis\frac{-2(-1)^p}{2p-1} & si $ n =2p$
}
}$$

\smallskip
b) Ainsi, $J_{2p+1}=\dis \frac{\pi}{2}$ et $J_{2p}= J_{2p-1}+ (J_{2p}-J_{2p-1})\longrightarrow \dis \frac{\pi}{2}$.

\medskip
4.  D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, $J_{2n}=\dis\sum_{k=1}^n (J_{2k}-J_{2k-2})= 2\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2k-1}$,
d'o\`{u}:

$$\sum_{k= 0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}=\frac{\pi}{4} $$

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 14. Analyse

Pour tout r\'{e}el $a$ tel que $ |a|\neq 1$, on consid\`{e}re la fonction $f_a$ d\'{e}finie sur $[0, \pi]$ par $f_a(x)= 1-2a\cos x +a^2$.
\medskip



1.  Montrer que l'int\'{e}grale $\dis \int_0^{\pi} \ln \big(f_a(x)\big) {\rm d}x$ est convergente. On pose alors, pour tout $a\in \R, a\neq \pm 1$:
 $$g(a)= \int_0^{\pi} \ln \big(f_a(x)\big) {\rm d}x$$

\smallskip

2.  Montrer que $\pi\ln((1-|a|)^2) \leq g(a) \leq \pi\ln((1+|a|)^2)$. En d\'{e}duire $\dis \lim_{a\to 0} g(a)$.

\medskip

3.  Montrer que la fonction $g$ est paire.

 \medskip

 4. a) Montrer que $g(a)+g(-a)=\dis \int_0^{\pi} \ln (1-2a^2 \cos (2x) +a^4) {\rm d}x$.
\smallskip

b)  On pose:
 $$\dis I=\int_0^{\pi/2} \ln (1-2a^2 \cos (2x) +a^4) {\rm d}x \hbox{ et } J=\int_{\pi/2}^{\pi} \ln (1-2a^2 \cos (2x) +a^4) {\rm d}x$$

   \`{A} l'aide d'un changement de variable dans chaque int\'{e}grale, montrer que $g(a)+g(-a)= g(a^2)$.
\smallskip

c)  Montrer que pour tout $n\in \N$, $\dis g(a)= \frac{1}{2^n} g(a^{2^n})$. En d\'{e}duire la valeur de $g(a)$ lorsque $|a|<1$.

\smallskip
d)  Pour $a\neq 0$, exprimer $g(1/a)$ en fonction de $g(a)$. En d\'{e}duire l'expression de $g(a)$ pour $|a|>1$.




%

\end{exo}

\begin{sol}



1.  Le trin\^{o}me du second degr\'{e} $1-2a\cos x+a^2$ a pour discriminant $\Delta = 4(\cos^2x-1)= -4\sin^2x$.
Ainsi, si $x\in ]0,\pi[$, $f_a(x) >0$ et continue et l'int\'{e}grale est bien d\'{e}finie.

\par

Au voisinage de $0$, $f_a(x) \sim (1-a)^2$ et, comme $a\neq 1$, la fonction $\ln(f_a(x))$ admet un prolongement par continuit\'{e} en $0$.

\par

Au voisinage de $\pi$, $f_a(x) \sim (1+a)^2$ et, comme $a\neq -1$, la fonction $\ln(f_a(x))$ admet un prolongement par continuit\'{e} en $\pi$.

\medskip
2.  On a $-2|a| \leq 2a\cos x \leq 2|a|$ ce qui entra\^{\i}ne que $(1-|a|)^2 \leq f_a(x) \leq (1+|a|)^2$.

Par encadrement et croissance de l'int\'{e}grale, on obtient: $\pi \ln (1-|a|)^2 \leq g(a) \leq \pi\ln(1+|a|)^2$ et $\dis \lim_{a\to 0} g(a)= 0$.

\medskip

3. Le changement de variable affine $t=\pi-x$ montre que $g$ est une fonction paire.

\medskip

4. a)   On \'{e}crit:

 $$\eqalign{
 g(2a)&=g(a)+g(-a)= \int_0^{\pi} \ln\left( (1-2a\cos x +a^2)(1+2a\cos x +a^2)\right) dx \cr
 &= \int_0^{\pi} \ln (1+2a^2+a^4-4a^2\cos^2(x)) dx= \int_0^{\pi} \ln (1+2a^2(1-2\cos^2x)+a^4) dx\cr
 &= \int_0^{\pi} \ln (1-2a^2\cos(2x)+a^4) dx
}$$

\smallskip


b)  On pose $t=2x$ dans l'int\'{e}grale $I$ et $t=2\pi-2x$ dans l'int\'{e}grale $J$. Il vient:
 $$J= \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \ln (1-2a^2\cos(t)+a^4) {\rm d}t \hbox{ et } I= \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \ln (1-2a^2\cos(t)+a^4) {\rm d}t$$

 Donc:
 $$2g(a)= g(a)+g(-a)= I+J= \int_0^{\pi} \ln (1-2a^2\cos(t)+a^4) {\rm d}t = g(a^2)$$

\smallskip
c)  On montre que $\dis g(a)= \frac{1}{2^n} g(a^{2^n})$ en utilisant la relation $g(a)=\dis{1\over 2}g(a^2)$ et par r\'{e}currence sur $n$. Comme $|a|<1$, et par la question 2, $g(a)= \dis\lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2^n} g(a^{2^n})=0$.

 \smallskip
 d)   On remarque que:
 $$g\left( \frac{1}{a}\right) = \int_0^{\pi} \ln \left( 1-\frac{2}{a} \cos x + \frac{1}{a^2} \right) {\rm d}x= g(a)-\int_0^{\pi} \ln (a^2) {\rm d}x= g(a)-\pi \ln(a^2)$$

 Donc si $|a|>1$, $g(a)= g(1/a)+\pi \ln(a^2)= 2\pi \ln(|a|)$, puisque $g\big(\dis{1\over a}\big)=0$ (question pr\'{e}c\'{e}dente).

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 26. Analyse

1. a)   \'Etablir la convergence de l'int\'{e}grale
$ \dis  \int_{0}^{1} -\,\frac{\ln (1-x)}{1+x}  dx$. On note $J$ cette int\'{e}grale.

\smallskip


b)   Pour $n \in \N$, \'{e}tablir la convergence de l'int\'{e}grale
$ \dis   \int_{0}^{1} x^n\,\ln(1-x)  dx $. On note $I_n$ cette int\'{e}grale.

\medskip

2.   Pour $n \in \N^*$, on pose :
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac 1k \quad\hbox{\rm et}\quad u_n = \frac{S_n}n. $$

a)   D\'{e}terminer un \'{e}quivalent de~$u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
\smallskip

b)   Quelle est la nature de la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral~$u_n$ ?

\medskip

3. a)   Exprimer $I_n$ \`{a} l'aide de $u_{n+1}$.
\smallskip

b)  En d\'{e}duire la limite, lorsque $n$ tend vers  $+\infty$, de l'int\'{e}grale $R_n$ d\'{e}finie par:
$$R_n= \int_{0}^{1} \frac{(-1)^{n+1}\,x^{n+1}\,\ln(1-x)}{1+x}  dx. $$


c)   Montrer alors que la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $(-1)^{n}\,u_{n+1}$ converge
et que :
$$ J = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n}\, u_{n+1} $$

%

\end{exo}

\begin{sol}


1. a) La fonction  $ x\mapsto -\,\dis\frac{\ln (1-x)}{1+x}$ est continue sur $\left[ 0,1\right[$
et au voisinage de $1$, $ f(x) \sim -\ln (1-x)/2$, d'int\'{e}grale de m\^{e}me nature que celle de
$\ln(u)$ au voisinage de~$0^+$. Ainsi $J$ converge.

\smallskip
b)   De m\^{e}me, $ x \mapsto x^n\,\ln (1-x) $ est continue sur $\left[ 0,1 \right[$ et \'{e}quivalente \`{a} $\ln (1-x)$ en~$1^-$, donc $I_n$ converge.
\medskip

2. a)   Par comparaison s\'{e}rie-int\'{e}grale et d\'{e}croissance de la fonction $x \mapsto 1/x$, on a:
$$ S_n \sim \ln n  \quad \hbox{et} \quad   u_n \sim \frac{\ln n}{n} $$

\smallskip

b) Pour $n\geq 3$, on a $u_n>1/n$ et  donc la s\'{e}rie $\dis\sum_{n} u_n$ diverge.

\medskip

3. a)   Par int\'{e}gration par parties  sur $[0,a] \subset \left[ 0,1 \right[$, en choisissant une primitive
de $x^n$ donnant une limite finie au crochet en~$1$, on a:
$$\eqalign{
 \int_{0}^{a} x^n\,\ln(1-x)  dx &=
   \left[ \frac{x^{n+1}-1}{n+1}\, \ln(1-x) \right]_0^a + \int_{0}^{a}
   \frac{x^{n+1}-1}{(n+1)\,(1-x)} dx    \cr
      &= \frac{a^{n+1}-1}{n+1}\, \ln(1-a) - \frac 1{n+1}\int_{0}^{a}
   \frac{1-x^{n+1}}{1-x}  dx   \cr
      &= \frac 1{n+1}\,\left[ \sum_{k=0}^{n} a^k \right]
   (a-1)\,\ln(1-a) - \frac 1{n+1}\, \int_{0}^{a} \left( \sum_{k=0}^{n}
   x^k \right)   dx
}$$

d'o\`{u}, pour $a \to 1^-$ (permutation justifi\'{e}e car les sommes sont  finies):
$$ I_n = - \frac 1{n+1}\,\int_{0}^{1} \left( \sum_{k=0}^{n} x^k \right)
     dx = - \frac 1{n+1}\, \sum_{k=0}^{n}\left[ \int_{0}^{1} x^k
     dx \right]= -u_{n+1}  $$

\medskip
b) L'int\'{e}grale  $R_n$ converge (d\'{e}monstration identique \`{a} celle de la question 1). On majore:
$$ |R_n| = \left|\int_{0}^{1} \frac{(-1)^{n+1}\, x^{n+1}\,
   \ln(1-x)}{1+x} dx\right|  \leq  \int_{0}^{1} x^{n+1}\,
   |\ln (1-x)|  dx = - I_{n+1} = u_{n+2} $$

car $\ln(1-x)$ est de signe constant n\'{e}gatif sur  $\left[ 0,1 \right[$.

Comme  $u_n \sim (\ln n) / n$ qui tend vers $0$ en $+\infty$, on a $\dis \lim_{n\to +\infty} R_n=0$.

 \smallskip

c) On utilise la s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique :
$$\eqalign{
 J &= \int_{0}^{1} -\,\frac{\ln (1-x)}{1+x}  dx =
   - \int_{0}^{1} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\,x^k\,\ln(1-x)  dx -
   \int_{0}^{1}  \frac{(-1)^{n+1}\, x^{n+1}\,\ln(1-x)}{1+x}  dx
      \cr
  &= - \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\,I_k - R_n =
   \sum_{k=0}^{n} (-1)^k\, u_{k+1} - R_n
   }$$

Comme $ R_n$ tend vers $0$, la s\'{e}rie  $\dis\sum_{n} (-1)^n\,u_{n+1}$ converge vers~$J$.
Donc  $\dis \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^{n}\, u_{n+1} = J $.

\end{sol}


% %%%%%%%%%%%%%

\chapter{Alg\`{e}bre}

\begin{exo}
%Sujet 60. Alg\`{e}bre

Soit un entier $n\geq 3$. Deux urnes $U_1$ et $U_2$ contiennent {\sl \`{a} elles deux} $n$ boules indiscernables.
\`{A} chaque \'{e}tape, on choisit de mani\`{e}re \'{e}quiprobable un nombre de $\[1,n\]$.
\smallskip
\par
$\bullet\ $ Si ce nombre est inf\'{e}rieur ou \'{e}gal au nombre de boules contenues dans $U_1$, on prend une boule de $U_1$ que l'on met dans $U_2$.

\par
$\bullet\ $ Si ce nombre est strictement sup\'{e}rieur au nombre de boules contenues dans $U_1$, on prend une boule de $U_2$ que l'on met dans $U_1$.

\medskip
Pour tout $p\in \N$, on note $Z_p$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de boules contenues dans $U_1$ \`{a} l'\'{e}tape $p$. Ainsi $Z_0$ est la variable  \'{e}gale au nombre de boules initialement contenues dans $U_1$, $Z_1$ est la variable  \'{e}gale au nombre de boules contenues dans $U_1$ apr\`{e}s une \'{e}tape, etc.

\par
Cette exp\'{e}rience est mod\'{e}lis\'{e}e par un espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$.
\bigskip

1. a) On pose: $Y_p=\dis \pmatrix{ P(Z_p=0)\cr \vdots\cr  P(Z_p=n)\cr}$. D\'{e}terminer une matrice $A\in {\cal M}_{n+1}(\R)$ telle que pour tout $p\in\N$, $Y_{p+1}= AY_p$.

\smallskip
b) \'Ecrire un script Scilab qui simule le contenu obtenu dans $U_1$ au bout de 100 \'{e}tapes en partant de l'\'{e}tat initial o\`{u} $U_1$ contient $0$ boule (on supposera que la matrice $A$ a \'{e}t\'{e} rentr\'{e}e).

\medskip

Soit $A$ la matrice de ${\cal M}_{n+1}(\R)$ d\'{e}finie par:
$$A= \pmatrix{
0 & {1\over n} & 0 & \ldots &\ldots & 0\cr
1 & 0 & {2\over n} & \ddots & & \vdots\cr
0 & {n-1\over n} & 0 &\ddots & \ddots & \vdots\cr
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & {n-1\over n} &0\cr
   \vdots&    & \ddots & {2\over n} & 0 & 1\cr
0 & \ldots & \ldots&  0 &  {1\over n} & 0}$$


\medskip
2. Montrer que $1$ est valeur propre de $A$.
\medskip

Dans les questions suivantes, on pose  $E=\R_n[X]$ et on note $T$ l'endomorphisme de $E$ dont $A$ est la matrice dans la base canonique de $E$.

\smallskip
3. D\'{e}terminer, pour tout $P\in E$, une expression de $T(P)$ comme combinaison lin\'{e}aire  de $XP$, $X^2P'$ et $P^\prime$.

\medskip
4.  Soit $\lambda$ r\'{e}el et $n\in \N^*$.

a) D\'{e}terminer deux r\'{e}els $a$ et $b$ tels que pour  tout $x\neq \pm 1$, on a:
$${n(\lambda-x)\over 1-x^2}= {a\over 1-x} +{b\over 1+x}$$

\smallskip
b) Soit $P\in E$ tel que  $T(P)=\lambda P$. On suppose que $P$ ne s'annule pas sur $]-1,1[$.

Montrer que: $\forall \,x\in \,]-1,1[,\,\,\dis{P^\prime (x)\over P(x)}={n(\lambda-x)\over 1-x^2}$. En d\'{e}duire l'expression de $P(x)$ pour $x\in ]-1,1[$.
\smallskip

c) En d\'{e}duire les valeurs propres et les vecteurs propres de $T$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?


%
\end{exo}

\begin{sol}

1. a) Supposons qu'\`{a} l'\'{e}tape $p$, $U_1$ contienne $m$ boules. Alors $P_{[Z_p=m]}(Z_{p+1}=m-1)= \dis {m\over n}$ et $P_{[Z_p=m]}(Z_{p+1}=m+1)= \dis {n-m\over n}$, les autres probabilit\'{e}s conditionnelles \'{e}tant nulles.

On utilise le syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $(P(Z_p=m))_{0\leq m\leq n}$ pour obtenir, pour tout $k\in \[0,n\]$:
$$P(Z_{p+1}=k)= \sum_{m=0}^{n}P_{[Z_p=m]}(Z_{p+1}=k)P(Z_p=m)= {n-k+1\over n} P(Z_p=k-1)+{k+1\over n} P(Z_p=k+1)$$

Ceci correspond \`{a} la matrice $A$ de la question suivante.
\smallskip
{\sl Remarque :} il s'agit ici d'une cha\^{\i}ne de Markov avec deux barri\`{e}res r\'{e}fl\'{e}chissantes.

\smallskip
b) Une proposition (c'est du cours).
{\tt \obeylines\obeyspaces

1. X=grand(100,'markov',A,1)

2. disp(X)
}


\medskip
2. Soit on dit que cette matrice est la matrice du processus de la premi\`{e}re question, donc que la somme de chaque colonne vaut $1$, soit on s'aper\c{c}oit que la somme de chaque colonne vaut $1$... Ainsi $1$ est valeur propre de ${}^t\!A$ donc de $A$.

\medskip
3. On a pour tout $k\in \[0,n\]$, $T(X^k)= \dis {k\over n} X^{k-1}+ \left( 1-{k\over n} \right) X^{k+1}$ (on le v\'{e}rifie \'{e}galement pour $k=0$ et $k=n$).

Donc, $\dis T(X^k)= {1\over n} \left(k(X^{k-1}-X^{k+1})\right)+X^{k+1}$, d'o\`{u} :
$$T(P)= {1\over n}\left( 1-X^2\right) P^\prime+XP$$

\medskip
4. a) Apr\`{e}s calculs : $\dis {n(\lambda-x)\over 1-x^2}= {n(\lambda-1)\over 2}\times {1\over 1-x} +{n(\lambda+1)\over 2}\times {1\over 1+x}$.

\medskip
b) On a $T(P)=\lambda P$ si et seulement si $(1-x^2)P'(x)= n(\lambda-x)P(x)$. On s\'{e}pare les variables
$${P'(x)\over P(x)}= {n(\lambda-x)\over 1-x^2}= {n(\lambda-1)\over 2}\times {1\over 1-x} +{n(\lambda+1)\over 2}\times {1\over 1+x}$$

puis on int\`{e}gre. Ce qui donne $\dis P(x)= A (1+x)^{{n(1+\lambda)\over 2}}(1-x)^{{n(1-\lambda)\over 2}}$.
\medskip

c) Les vecteurs propres sont des polyn\^{o}mes. On remarque que $\dis {n(1+\lambda_k)\over 2}+{n(1-\lambda_k)\over 2}=n$. Posons $\dis {n(1+\lambda_k)\over 2}=k\in \[0,n\]$ soit $\lambda_k=\dis {2k\over n}-1$. On obtient ainsi un polyn\^{o}me propre $(1+x)^k(1-x)^{n-k}$ associ\'{e} \`{a} la valeur propre $\lambda_k=\dis {2k\over n}-1$, ceci pour $k\in \[0,n\]$.

La matrice $A$ poss\`{e}de $(n+1)$ valeurs propres distinctes : elle est diagonalisable.

\end{sol}

\begin{exo}
%sujet 24. Alg\`{e}bre


Soit $E$ un espace vectoriel sur $\R$ de dimension finie et $a$ et $b$ deux r\'{e}els distincts. On note $id$ l'application identit\'{e} de $E$.
 Dans tout l'exercice, $f$ d\'{e}signe un endomorphisme de $E$ v\'{e}rifiant:
$$f^2 -(a+b)f +ab\,id =0  \ \  \ (*)$$
\medskip

1. Quelles sont les homoth\'{e}ties v\'{e}rifiant la relation $(*)$ ?
\medskip

2. a)  D\'{e}terminer une condition suffisante portant sur
les 2 r\'{e}els $a$ et $b$ pour que $f$ soit bijective. Calculer alors $f^{-1}$.
\smallskip

b)  D\'{e}terminer une condition n\'{e}cessaire et suffisante portant sur
les 2 r\'{e}els $a$ et $b$ pour que $f$ soit un projecteur sans \^{e}tre une homoth\'{e}tie.

\medskip
 On suppose d\'{e}sormais que $f$ n'est pas une homoth\'{e}tie.
\medskip

3. a) D\'{e}terminer deux r\'{e}els $\lambda$ et $\mu$ tels que:

$$f=\lambda  (f-a\,id) + \mu (f-b\,id)$$

\smallskip


b) En d\'{e}duire qu'il existe deux projecteurs $p$ et $q$ tels que: $f=bp+aq$
et $q \circ p=p \circ q=0$


\medskip
4.  On suppose d\'esormais que $a$ et $b$ sont non nuls.


Montrer que  pour tout $n\in \N$,  on a :

$$f^n=b^np+a^nq\quad (*)$$
\medskip
Pour tout entier $n>0$, si $f$ est bijective, on d\'{e}finit $f^{-n}$ par  $f^{-n}=(f^{-1})^n$.


La relation $(*)$ est-elle v\'{e}rifi\'{e}e pour tout $n\in \Z$ ?
										

\end{exo}

\begin{sol}


1.  On remplace $f=\lambda id$ dans $(*)$ et on obtient une \'{e}quation du second degr\'{e}:

   $ \lambda ^{2} -(a+b)\lambda + ab=0 $.
On en d\'{e}duit les solutions $f=a.id$  et $f=b.id$.

\medskip

2. a) Il suffit que $a$ et $b$ soient tous deux non nuls pour affirmer que $0$ n'est pas valeur propre et donc que $f$ est bijective.

\smallskip

 La  relation $(*)$ entra\^{\i}ne: $f^{-1 }=\dis\frac{1}{ab}[(a+b)id-f]$.

 \smallskip

b) Le spectre de $f$ est inclus dans $\{a,b\}$ car $X^2 -(a+b)X+ab$
 est un polyn\^{o}me annulateur.

Si $f$ est un projecteur sans \^{e}tre une homoth\'{e}tie, ses seules valeurs propres sont $0$ et $1$ d'o\`{u} il suffit que:
$a=0$ et $b=1$ ou bien $a=1$ et $b=0$

R\'{e}ciproquement, en reportant dans $(*)$, on obtient: $f^2=f$ et $f$ est bien un projecteur.


\medskip
3. a)  Par analyse/synth\`{e}se :

Si $f=\lambda  (f-a.Id) + \mu (f-b.Id)$, on a : $(\lambda + \mu -1)f=(\lambda a + \mu b)id$.

Alors, $\lambda + \mu -1=0$ sinon $f$ serait une homoth\'{e}tie ce qui est exclus.
On a donc aussi: $\lambda a + \mu b=0$.

On en d\'{e}duit: $\left\{
\matrix{
\lambda + \mu & = & 1 \cr
a \lambda + b \mu & = & 0
}\right.
\Rightarrow
\left\{
\matrix{
\lambda = \dis\frac{b}{b-a}\cr
\mu  = \dis\frac{a}{a-b}
}
\right.
$.

La synth\`{e}se est maintenant \'{e}vidente :  $\dis \lambda  (f-a.Id) + \mu (f-b.Id)=
\frac{b}{b-a}(f-a.id)- \frac{a}{b-a}(f-b.id)=f$.


\smallskip



b) On pose $\dis p=\frac{1}{b-a}(f-a.id)$ et $\dis q=\frac{1}{a-b}(f-b.id)$

On v\'{e}rifie:
\par
$\bullet$  $\dis p^2=\frac{1}{(b-a)^2}(f^2-2af+a^2.id)=\frac{1}{(b-a)^2}((a+b)f-ab.id-2af+a^2.id)
=\frac{1}{(b-a)^2}((b-a)f-a(b-a)id)=p$
\par
$\bullet$ De la m\^{e}me fa\c{c}on $q^2=q$
\par
$\bullet$ Enfin $\dis p\circ q=\frac{1}{b-a}(f-a.id)\circ \frac{1}{a-b}(f-b.id)=0$

\medskip


4. Soit la propri\'{e}t\'{e}:${\cal  P}_n: f^n=b^n p + a^n q$

Pour $n\in \N$, la propri\'{e}t\'{e} se montre ais\'{e}ment par r\'{e}currence.
\smallskip

Pour $n$ entier n\'{e}gatif, D'apr\`{e}s 2, si $a$ et $b$ sont non nuls alors $f$ est bijectif et :

 $$f^{-1}=\frac{1}{ab}[(a+b)id-f]=\frac{1}{ab}[(a+b)id-bp-aq]=b^{-1}p+a^{-1}q$$
\medskip

On montre enfin le r\'{e}sultat pour $n\leq 0$ par une autre r\'{e}currence dont l'initialisation $n=0$.
\smallskip


Si on suppose la propri\'{e}t\'{e} vraie au rang $n$, on a :
$$f^n=b^{-n} p + a^{-n} q \Rightarrow f^{-(n+1)}=(b^{-1}p+a^{-1}q)\circ (b^{(-n)}p +a^{(-n)} q)
=b^{-(n+1)}p+ a^{-(n+1)}q +0+0$$


On obtient le r\'{e}sultat souhait\'{e}.

\end{sol}



\begin{exo}
%Sujet 53. Alg\`{e}bre


Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Soient $(a,b)\in\C^2$ et soit  $f$ et $g$  deux endomorphismes de $E$ tels que : $f\circ g-g\circ f=af+bg$.
\medskip


1.  a) Montrer que tout endomorphisme non nul $u$ d'un espace vectoriel de dimension finie $n$ admet un polyn\^{o}me annulateur.
\smallskip

b) En d\'{e}duire que tout endomorphisme $u$ d'un $\C$-espace vectoriel de dimension finie admet au moins une valeur propre.

\medskip

2.  Dans cette question uniquement, on suppose que $a=b=0$.
\smallskip

a) Montrer que les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$.
\smallskip

b)  En raisonnant sur un endomorphisme induit, en d\'{e}duire que $f$ et $g$ ont un vecteur propre commun.
\medskip

3.   Dans cette question uniquement, on suppose que $b=0$, $a\neq 0$ et $f\neq 0$.
\smallskip

a)  Montrer que $\ker f$ est stable par $g$.
\smallskip

b)  Soit $\phi_g$ l'endomorphisme de ${\cal L}(E)$  qui \`{a} tout $u$ associe $u\circ g-g\circ u$.

Pour tout $n\in \N$, montrer que $\phi_g(f^n)=anf^n$.
\smallskip

c)  En d\'{e}duire qu'il existe un entier $n\geq 2$ tel que $f^n=0$.
\smallskip

d)  En d\'{e}duire que $f$ et $g$ ont un vecteur propre commun.
\medskip

4. Dans cette question, on suppose $b\neq 0$.

Montrer que $f$ et $g$ ont un vecteur propre commun.
(on pourra s'int\'{e}resser \`{a} $h=af+bg$)

\end{exo}

\begin{sol}

1.  a) La famille $(I, u,u^2, \ldots, u^{n^2})$ est de cardinal $n^2+1$. Elle est donc li\'{e}e : il existe $(a_k)_{0\leq k \leq n^2}$ telle que $\dis \sum_{k=0}^{n^2} a_ku^k=0$.
On pose $P(X)= \dis \sum_{k=0}^{n^2} a_kX^k$.

On remarque que $P$ n'est pas le polyn\^{o}me constant qui n'est pas annulateur. Enfin $P(u)=0$.

\smallskip
b) On sait que les \'{e}ventuelles valeurs propres de $u$ sont parmi les racines de tout polyn\^{o}me annulateur. Par le th\'{e}or\`{e}me de d'Alembert Gauss, tout polyn\^{o}me non constant  se factorise sous la forme
$$P(X)= C\prod_{j=1}^p (X-z_j)^{m_j}$$

Si $z_j$ n'est pas valeur propre de $u$, l'endomorphisme $(u-z_jI)$ est inversible, donc $(u-z_jI)^{m_j}$ \'{e}galement.
En composant par son inverse et si, pour tout $j$, $z_j$ n'est pas valeur propre de $u$, il vient $0=I$ : contradiction.


\medskip

2.  On a $f\circ g=g\circ f$.
\par
a)  Si $u\in E_{\lambda}(f)$, alors $f(u)=\lambda u$, d'o\`{u} :
$$f(g(u))=g(f(u))=g(\lambda u)= \lambda g(u) \hbox{ soit,  } g(u)\in E_{\lambda}(f).$$

\par
b)  L'endomorphisme induit par $g$ sur $E_{\lambda}(f)$ a une valeur propre d'apr\`{e}s le r\'{e}sultat admis \`{a} la question 1. Si $v$ est un vecteur propre de cet endomorphisme, c'est aussi un vecteur propre de $g$ et un \'{e}l\'{e}ment de $E_{\lambda}(f)$. Donc $v$ est un vecteur propre commun \`{a} $f$ et $g$.
\medskip

3.  On a $f\circ g-g\circ f=af$.
\par
a) Si $u\in \ker(f)$, alors $f(u)=0$ d'o\`{u} en \'{e}valuant la relation donn\'{e}e en $u$, $f(g(u))-g(0_E)=a 0_E$,
soit : $f(g(u))=0$, soit : $g(u)\in \ker f$.
\smallskip

b)  Montrons par r\'{e}currence sur $n\geq 0$ la relation : $f^n\circ g-g\circ f^n=anf^n$.
\par

$\bullet$ Pour $n=0$, c'est \'{e}vident.
\par

$\bullet$ Si c'est vrai pour $n$, alors :
$$\eqalign{
f^{n+1}\circ g &=f\circ (f^n\circ g) \cr
&=f\circ (g\circ f^n+anf^n) \ \hbox{ (par hypoth\`{e}se de r\'{e}currence)}\cr
&=(f\circ g)\circ f^n+anf^{n+1} \cr
&=(g\circ f+af)\circ f^n +anf^{n+1} \ \hbox{ (d'apr\`{e}s l'hypoth\`{e}se de la question 3)}\cr
&=g\circ f^{n+1}+a(n+1)f^{n+1}.
}$$
\medskip


c)  Par l'absurde, si l'on avait $f^n\neq 0$ pour tout $n$, alors $f^n$ serait vecteur propre de $\phi_g$ pour la valeur propre $na$. Ainsi $\phi_g$ aurait une infinit\'{e} de valeurs propres distinctes (car $a\neq 0$), ce qui est impossible car ${\cal L}(E)$ est de dimension finie, puisque $E$ l'est.
\smallskip
d)  Comme $f^n=0$ pour un entier $n$, l'endomorphisme $f$ ne peut \^{e}tre injectif sinon $f^n$ le serait aussi. Donc, $\dim \ker f\geq 1$.
Comme \`{a} la question 2. b,  l'endomorphisme induit par $g$ sur $\ker f$ poss\`{e}de une valeur propre, le vecteur propre associ\'{e} est alors un vecteur propre commun \`{a} $f$ et \`{a} $g$.
\medskip

4.  Comme $g=\dis\frac1b(h-af)$, le calcul donne : $f\circ g-g\circ f=\dis\frac1b(f\circ h-h\circ f)$.
Ainsi on a  l'\'{e}quivalence : $f\circ g-g\circ f=af+bg \iff  f\circ h-h\circ f=b h$.

Si l'on remplace $a,b,f,g$ par $-b,0,h,f$ respectivement, la question 3 donne alors que $f$ et $h$ ont un vecteur propre en commun. Comme $g=\dis\frac1b(h-af)$, ce vecteur est aussi un vecteur propre de $g$.

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 59. Alg\`{e}bre


Pour tout couple $(a,b)\in\R^2$   et tout  entier $n\geq 3$, on note  $A_n(a,b)$ la matrice de  ${\cal M}_n(\R)$  dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale qui valent $1$ et ceux de la premi\`{e}re ligne et de la premi\`{e}re colonne qui valent alternativement $b$ puis $a$. Par exemple, on a :

$$A_5(a,b)=\pmatrix{1&b&a&b&a\cr b&1&0&0&0\cr a&0&1&0&0\cr b&0&0&1&0\cr a&0&0&0&1} \hbox{ et  } A_6(a,b)=\pmatrix{1&b&a&b&a&b\cr b&1&0&0&0&0\cr a&0&1&0&0&0\cr b&0&0&1&0&0\cr a&0&0&0&1&0\cr b&0&0&0&0&1}.$$

\medskip

1.  Justifier que la matrice $A_n(a,b)$ est diagonalisable.
\medskip

2. \'Ecrire en Scilab une fonction {\tt matriceA(n,a,b)} qui renvoie la matrice $A_n(a,b)$
({\sl on pourra cr\'{e}er une variable {\tt x} qui prend alternativement la valeur {\tt b} puis la valeur {\tt a}}).

\medskip
3. Soit $\lambda$ et $\mu$ deux r\'{e}els tels que $2\mu -(\lambda-2)^2>0$. R\'{e}soudre le syst\`{e}me d'\'{e}quations suivant, d'inconnues r\'{e}elles $x$ et $y$ :
$$\cases{ x+y\hfill\quad=\lambda \cr
 (x-1)^2+(y-1)^2=\mu. }$$
\smallskip

{\sl On suppose d\'{e}sormais que $n$ est impair}  ($n=2p+1$).
\medskip


4. On note $I_n$ la matrice identit\'{e} de  ${\cal M}_n(\R)$.

 a)  D\'{e}terminer le rang de $A_n(a,b)-I_n$. Que peut-on en d\'{e}duire sur les \'{e}l\'{e}ments propres de $A_n(a,b)$ ?
\smallskip

b) Calculer la trace de $\big(A_n(a,b)-I_n\big)^2$.
\smallskip

c) En d\'{e}duire les valeurs propres de $A_n(a,b)$.

\medskip
5. Dans le cas o\`{u} $a$ et $b$ sont complexes, la matrice $A_n(a,b)$ est-elle toujours diagonalisable?

%

\end{exo}

\begin{sol}



1.  La matrice est sym\'{e}trique r\'{e}elle, donc diagonalisable (th\'{e}or\`{e}me spectral).
\medskip

2. Une proposition.

{\tt \obeylines\obeyspaces
1. function  A=matriceA(n,a,b)

2.     A=eye(n,n); //matrice identit\'{e} d'ordre n

3.     x=b; //initialisation de x

4.     for k = 2:n,

5.     \quad   A(1,k)=x;

6.      \quad  A(k,1)=x;

7.     \quad   if x==a then //mise \`{a} jour de x

8.      \qquad      x=b;

9.      \quad  else

10.      \qquad     x=a;

11.     \quad  end

12.   end

13. endfunction
}

\medskip

3.  On a :
$$\eqalign{
\cases{ x+y\hfill\quad=\lambda \cr (x-1)^2+(y-1)^2=\mu } &\Leftrightarrow
\cases{ x-1+y-1=\lambda-2\cr (x-1)^2+(y-1)^2=\mu }
\Leftrightarrow \cases{ \alpha+\beta=\lambda-2\cr  2\alpha\beta=(\lambda-2)^2-\mu } \cr
& \Leftrightarrow \alpha,\beta \hbox{ racines de } X^2-(\lambda-2)X+\dis\frac{(\lambda-2)^2-\mu}2=0.
}$$

Le discriminant vaut : $2\mu-(\lambda-2)^2>0$.

Donc le polyn\^{o}me a deux racines $\alpha$ et $\beta$ et en revenant en $x,y$, il vient :
$$x_1=\frac{\lambda+\sqrt{2\mu-(\lambda-2)^2}}{2}, x_2=\frac{\lambda-\sqrt{2\mu-(\lambda-2)^2}}{2}$$

et il y a deux solutions : $(x,y)=(x_1,x_2)$ ; $(x,y)=(x_2,x_1)$.
\medskip
4. a)  Si $(a,b)=(0,0)$, la matrice $A_n(a,b)-I_n$ est nulle, donc de rang $0$ ;  les \'{e}l\'{e}ments propres sont \'{e}vidents.

  Si $(a,b)\neq (0,0)$, la matrice $A_n(a,b)-I_n$ a ses colonnes $2$ \`{a}  $n$ qui sont colin\'{e}aires \`{a} l'une d'entre elles qui est non nulle (colonne $2$ si $b\neq 0$ ; colonne $3$ si $b=0$ et $a\neq 0$) et elles ne sont pas colin\'{e}aires \`{a} la colonne $1$. Comme le rang est la dimension de l'espace engendr\'{e} par les colonnes, il vaut 2. Comme $n\geq 3$ on en d\'{e}duit que $A_n(a,b)-I_n$ n'est pas inversible, donc $1$ est valeur propre de $A_n(a,b)$ ; d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me du rang, le sous-espace propre associ\'{e} est de dimension $n-2$. Comme la matrice est diagonalisable, il y a deux autres valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$ (\'{e}ventuellement \'{e}gales).
  \smallskip

b) et c)  Le calcul des coefficients diagonaux de $\big(A_n(a,b)-I_n\big)^2$ donne : $b^2+a^2+b^2+\cdots$ puis $b^2$, puis $a^2$, puis $b^2$, puis $a^2$, etc. Ainsi : $\tr\big(A_n(a,b)-I_n\big)^2=2p(a^2+b^2).$

Les valeurs propres ont d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e} trouv\'{e}es lorsque $(a,b)=(0,0)$.

Si $(a,b)\neq (0,0)$, d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente $A_n(a,b)$ est semblable \`{a} une matrice diagonale $\Delta=\hbox{diag}(1,\dots,1,\lambda_1,\lambda_2)$, donc $n=\tr\big(A_n(a,b)\big)=(n-2)+\lambda_1+\lambda_2$.

Comme $\big(A_n(a,b)-I_n\big)^2$ est semblable \`{a} $\big(\Delta-I_n\big)^2$, on a :
$$2p(a^2+b^2)=\tr\big(A_n(a,b)-I_n\big)^2=(\lambda_1-1)^2+(\lambda_1-1)^2.$$

D'apr\`{e}s la question 3 avec $\lambda=2$ et $\mu=2p(a^2+b^2)$, comme $\mu-(\lambda-2)^2=2p(a^2+b^2)>0$, on obtient donc :
$$\Sp(A_n(a,b))=\{1,\lambda_1,\lambda_2\}=\{1,1+\sqrt{p(a^2+b^2)},1-\sqrt{p(a^2+b^2)}\}.$$

\medskip

5. Pour $n=2p+1$ impair, la question pr\'{e}c\'{e}dente indique que si $A_n(a,b)$ est diagonalisable, alors $1$ est valeur propre avec un sous-espace propre de dimension $n-2$ et il y deux autres valeurs propres $\lambda_1,\lambda_2$ telles que :
$\lambda_1+\lambda_2=2 \hbox{ et } (\lambda_1-1)^2+(\lambda_1-1)^2=2p(a^2+b^2).$

Si $a^2+b^2=0$, on en d\'{e}duit que  $0=\big((\lambda_1-1)+(\lambda_2-1)\big)^2=
2(\lambda_1-1)(\lambda_2-1),$ donc $\lambda_1=1$ ou $\lambda_2=1$, ce qui est absurde puisque $\lambda_1,\lambda_2\neq 1$. Par exemple,  $A_{2p+1}(1,i)$ n'est pas diagonalisable.

{\sl N.B :} pour $n=2$ on peut voir que $A_2(a,b)$ est diagonalisable pour tout $a,b\in \C$.

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 3. Alg\`{e}bre

Soit $n$ un entier naturel non nul et $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u$  un endomorphisme  de $E$ qui poss\`{e}de $n$  valeurs propres distinctes, not\'{e}es $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. Pour tout entier $i \in \[1,n\]$, on pose $E_i = \Ker(u - \lambda_i Id_E)$.
\medskip

L'objectif de cet exercice est de d\'{e}crire puis d\'{e}nombrer les sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $u$.
\bigskip

1. a) On suppose, uniquement dans cette question, que $n=\dim E = 2$. Montrer qu'il existe des sous-espaces vectoriels $F,\, G$ et $H$ de $E$ tels que $E = G \oplus H$ et $F \neq (F \cap G) \oplus (F \cap H)$.



\smallskip

b)   On note $\C_{n-1}[X]$ l'ensemble des polyn\^{o}mes \`{a} coefficients complexes de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n-1$. Montrer que l'application $\Phi :\C_{n-1}[X] \to \C^{n}$ d\'{e}finie par:
$$ \forall\,P\in \C_{n-1}[X],\,\, \Phi(P) = (P(\lambda_1),\ldots,P(\lambda_n))$$
 est bijective.

\smallskip
c)    En d\'{e}duire que, pour tout $i \in \[1,n\]$, il existe $P_i \in \C_{n-1}[X]$ tel que:
$$
\forall j \in \[1,n\],\, P_i(\lambda_j) = \delta_{i,j}=\cases{ 1 & si $i=j$\cr
                                                               0 & sinon}
$$


\medskip
2.  Montrer que, si $J$ est une partie non vide de $\[1,n\]$, alors $\displaystyle \bigoplus_{j\in J} E_j$ est un sous-espace stable par $u$.

\bigskip

Dans toute la suite, on consid\`{e}re un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ stable par $u$.

3.  Soit $x \in F$.
\smallskip

a)  Montrer qu'il existe $(x_1,\ldots,x_n) \in E_1 \times \cdots \times E_n$ tel que $x = \displaystyle\sum_{i=1}^n x_i$.
\smallskip
b)  Soit $P$ un polyn\^{o}me de $\C[X]$. Exprimer $\big(P(u)\big)(x)$ comme une combinaison lin\'{e}aire des vecteurs   $x_1,\ldots,x_n$.

\smallskip

c)  En d\'{e}duire que $F = \displaystyle\bigoplus_{i=1}^n (F \cap E_i)$.

\medskip
4.a)  On pose: $J = \{i  \in \[1,n\] / F \cap E_i \neq \{0\}\}$. Montrer que $F = \displaystyle\bigoplus_{j\in J} E_j$.

\medskip

b)  En d\'{e}duire le nombre de sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $u$.

\end{exo}

\begin{sol}

1. a)  On choisit trois droites $F,\, G,\, H$ distinctes de $\C^2$. Alors, $G \oplus H = \R^2$ et $F \cap G = F \cap H = \{0\}$.

\medskip

b)  L'application $\Phi$ est une application lin\'{e}aire entre espaces vectoriels de m\^{e}me dimension $n$. Pour montrer la bijectivit\'{e}, on montre l'injectivit\'{e}. Soit $P \in \Ker \Phi$. Alors, $P \in \C_{n-1}[X]$ et $\forall i \in \[1,n\],\, P(\lambda_i) = 0$. Le polyn\^{o}me $P$ est de degr\'{e} au plus $n-1$ et poss\`{e}de $n$ racines distinctes, donc $P$ est le polyn\^{o}me nul. Alors, $\Ker \Phi = \{0\}$ et $\Phi$ est un automorphisme.

\smallskip
c)  En notant $e_i = (\delta_{i,j})_{1\leq j\leq n} \in \C^n$, le vecteur $e_i$  poss\`{e}de un ant\'{e}c\'{e}dent par  $\Phi$. On le note $P_i$.

\medskip

2.   Soit $x = \dis\sum_{j\in J} x_j \in \dis\bigoplus_{j\in J} E_j$. Alors, $u(x) = \dis\sum_{j\in J} \lambda_j x_j$ et, pour tout $j \in J$, $\lambda_j x_j \in E_j$. Ainsi, $u(x) \in \dis\bigoplus_{j\in J} E_j$.

\medskip

3.a) Comme $u$ est diagonalisable, alors $E = \dis\bigoplus_{i=1}^n E_i$. On \'{e}crit alors $x$ dans cette d\'{e}composition.

b)  En reprenant les calculs et notations pr\'{e}c\'{e}dents, $u(x) = \dis\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i$ et, par une r\'{e}currence imm\'{e}diate, pour tout $k$ entier naturel, $u^k(x) = \dis\sum_{i=1}^n \lambda_i^k x_i$. Ainsi, pour tout polyn\^{o}me $P$, on a:
$$
P(u)(x) = \sum_{i=1}^n P(\lambda_i) x_i
$$


c) Soit $x \in F$. En utilisant les questions pr\'{e}c\'{e}dentes, on a:
$$
P_i(u)(x) = \sum_{j=1}^n P_i(\lambda_j) x_j = x_j
$$

Ainsi, comme $F$ est stable par $u$, $P_i(u)(x) \in F$ et $x_j \in F$. Ainsi, $x = \dis\sum_{i=1}^n x_i \in \dis\bigoplus_{i=1}^n (F \cap E_i)$.

La r\'{e}ciproque \'{e}tant triviale, $F = \dis\bigoplus_{i=1}^n (F \cap E_i)$.

\medskip
4.a)   Comme $\dis\bigoplus_{j=1}^n E_j = E$ et $\dim E = n$, alors $E_j$ est de dimension $1$. Ainsi, $F \cap E_i \in \{\emptyset, E_i\}$. On utilise alors la question pr\'{e}c\'{e}dente.

\medskip

b) Finalement, $F$ est stable par $u$ si et seulement s'il existe $J \subset  \[1,n\]$ non vide tel que $F = \dis\bigoplus_{j\in J} E_j$. On rajoute $\{0\}$. Ainsi, il y a $2^n$ sous-espaces stables par $u$.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 18. Alg\`{e}bre


Soit $n$ un entier naturel non nul et $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de rang $1$.

\medskip

1. Montrer que la trace d'un endomorphisme $f$ de $E$ est ind\'{e}pendante de la matrice qui le repr\'{e}sente dans une base choisie. On note ainsi $\tr(f)$ la trace de $f$.

\medskip

2. Montrer que, soit $E = \Im u \oplus \Ker u$, soit $\Im u \subset \Ker u$
({\sl on pourra discuter en fonction de la dimension de $\Im u \cap \Ker u$}).

\medskip

3.  Soit $e$ un vecteur non nul de $\Im u$.

\smallskip
a) Montrer qu'il existe des vecteurs $(e_2,\ldots,e_{n})$ de $E$ tels que ${\cal B} = (e, e_2,\ldots,e_{n})$ soit une base $E$.


\smallskip
b)  On suppose que $\Im u \subset \Ker u$. Quelle est la forme de la matrice de $u$ dans la base ${\cal B}$~?

Calculer alors  $\tr(u)$.
\smallskip


\medskip


4.  Montrer que les assertions suivantes sont \'{e}quivalentes :
\par
i) $u$ est diagonalisable.
\par
ii) $E = \Im u \oplus \Ker u$.
\par
iii)  $\tr(u) \neq 0$.

\smallskip

5.  Soient $A$ et $J$ deux matrices non nulles de ${\cal M}_n(\C)$. On consid\`{e}re l'application $\psi_A$ d\'{e}finie par, pour tout $X\in {\cal M}_n(\C)$
$$\psi_A (X)= \tr(AX) J$$


On remarquera que $\psi_A$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n(\C)$.

a) D\'{e}crire le noyau de $\psi_A$. Quelle est l'image de $\psi_A$ ? Quel est le rang de $\psi_A$ ?

\medskip

b) Exprimer la trace de l'endomorphisme $\psi_A$ en fonction de $A$ et $J$.

\medskip

c)  En d\'{e}duire une condition n\'{e}cessaire et suffisante portant sur $A$ et $J$ pour que $\psi_A$ soit diagonalisable.

%

\end{exo}

\begin{sol}



1.  On sait que deux matrices semblables ont m\^{e}me trace, puisque $\tr(AB)=\tr(BA)$.
\medskip


2.  L'endomorphisme $u$ est de rang 1 donc $\Im u\cap\Ker u$ est un sous-espace vectoriel de dimension $0$ ou $1$.

Si $\dim \left(\Im u\cap\Ker u\right)=0$, alors $\Im u\cap\Ker u=\{0\}$ et d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me du rang, $E=\Im u\oplus \Ker u$.

Si $\dim\left(\Im u\cap\Ker u\right)=1$, comme $\Im u \supseteq \left(\Im u \cap \Ker u\right)$, alors $\Im u\cap\Ker u=\Im u$ et  $\Im u\subset \Ker u$.

\medskip

3.  a) Le vecteur $e$ est non nul, donc $(e)$ est une famille libre de l'espace vectoriel de dimension finie $E$. D'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de la base incompl\`{e}te, $(e)$ peut \^{e}tre compl\'{e}t\'{e}e en une base de $E$.

\smallskip

b) Comme $e \in \Ker u$, alors dans une telle base, la premi\`{e}re colonne de la matrice de $u$ sera nulle et toutes les autres colonnes seront dans $\Im u$ donc colin\'{e}aires \`{a} $e$, d'o\`{u} une matrice de la forme
$$
\pmatrix{ 0&a_2&\cdots&a_n\cr  0&0&\cdots&0\cr  \vdots&\vdots&&\vdots\cr  0&0&\cdots&0 }
$$

 La trace de cette matrice est nulle donc, si $\Im u\subset \Ker u$, alors $\tr(u)=0$.

\medskip
4. $i) \Longleftrightarrow ii)$.  L'endomorphisme $u$ est diagonalisable et, comme $u$ est de rang $1$, $\dim E_0(u)=n-1$. Ainsi, il existe une seconde valeur propre $a$ telle que $\dim E_a(u) = 1$. Dans une base adapt\'{e}e \`{a} la somme directe $E = E_a(u) \oplus E_0(u)$ la matrice de $u$ est
$\pmatrix{ a&0&\cdots&0\cr 0&0&\cdots&0\cr \vdots&\vdots&&\vdots\cr  0&0&\cdots&0}$.

Alors, $\Im u = E_a(u)$ et $E = \Im u \oplus \Ker u$.

\par
$ii)  \Rightarrow iii)$.  L'image $\Im u$ est un sous-espace vectoriel de dimension $1$. Soit $e$ un vecteur g\'{e}n\'{e}rateur de $\Im u$. Alors, $u(e)\in\Im u$ donc $u(e)$ est colin\'{e}aire \`{a} $e$ et il existe un r\'{e}el $a$ tel que $u(e)=a \cdot e$. De plus, comme $\Im u$ et $\Ker u$ sont en somme directe, $e\not\in\Ker u$ et $a \neq 0$. Dans une base adapt\'{e}e \`{a} la somme directe $E=\Im u\oplus \Ker u$, la matrice de $u$ est
$\pmatrix{ a&0&\cdots&0\cr 0&0&\cdots&0\cr \vdots&\vdots&&\vdots\cr  0&0&\cdots&0 }$.

Ainsi, $\tr u=a\neq 0$ et $u$ est diagonalisable.

\par

$iii) \Rightarrow ii)$. On suppose que $\tr(u) \neq 0$. D'apr\`{e}s la question 2, $\Im u \not\subset \Ker u$. Alors, d'apr\`{e}s la question 3.a), $E = \Im u \oplus \Ker u$, qui sont les deux sous-espaces propres de $u$.
\medskip

\medskip
5.a) On a  $\psi_A(X)=0$ si et seulement si  $\tr(A X) J=0$, si et seulement si  $\tr(A X)=0$ (car $J \neq 0$ et $\tr(A X) \in \C$). D'o\`{u}, $\Ker \psi_A = \{X \ / \ \tr(A X) = 0\}$.

Comme $f: X\mapsto \tr(AX)$ est une forme lin\'{e}aire non nulle (prendre $X={}\!^tA$) et $J \neq 0$, alors $\Im \psi_A = \Vect\{J\}$. Le rang de $\psi_A$ est ainsi \'{e}gal \`{a} $1$.

\medskip

b)  D'apr\`{e}s la d\'{e}finition, $\psi_A(J) = \tr(AJ) J$.

\par

$\bullet$  Si $\tr(AJ)=0$, alors $\psi_A(J)=0$ et $\Im\psi_A\subset\Ker \psi_A$. Alors, d'apr\`{e}s la question 1, $\tr(\psi_A)=0=\tr(AJ)$.
\par
$\bullet$  Si $\tr(AJ)\neq 0$, alors $\psi_A(J)=\tr(AJ)J$. D'apr\`{e}s le calcul effectu\'{e} dans la question 1, $\tr(\psi_A)=\tr(AJ)$.

\smallskip

Finalement, $\tr(\psi_A) = \tr(AJ)$.

\medskip
c)  D'apr\`{e}s la question 4, $\psi_A$ est diagonalisable si et seulement si $\tr(AJ) \neq 0$.

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 39. Alg\`{e}bre

L'ensemble ${\cal M}_n(\R)$ d\'{e}signe l'espace vectoriel des matrices carr\'{e}es d'ordre $n$ ($n \geq 2$) \`{a} coefficients r\'{e}els.

On consid\`{e}re l'espace vectoriel ${\cal M}_{n,1}(\R)$ muni de sa structure euclidienne canonique associ\'{e}e au produit scalaire donn\'{e} par
$\left\langle X \vert Y \right\rangle= \dis\sum_{k=1}^{n} x_ky_k={}^t\!XY$ o\`{u}
$X=\pmatrix{x_1\cr \vdots \cr x_n}$ et $Y=\pmatrix{y_1\cr \vdots \cr y_n}$.
On note $\Vert . \Vert$ la norme euclidienne correspondant au produit scalaire canonique.


On dit qu'une matrice $ A \in {\cal M}_n(\R)$ est d\'{e}finie positive si elle est sym\'{e}trique et si l'ensemble $ \Sp(A) $ de ses valeurs propres est contenu dans $]0,+\infty[$.

\bigskip
1.  Soit $A$ une matrice inversible de ${\cal M}_n(\R)$. Montrer que la matrice
$T={}^t\!AA$ est d\'{e}finie positive (o\`{u} $ {}^t\!A$ est la transpos\'{e}e de la matrice $A$).

\bigskip
2. Soit $T$ une matrice d\'{e}finie positive de ${\cal M}_n(\R)$.
\smallskip

a) Si $X$ et $Y$ sont deux vecteurs de ${\cal M}_{n,1}(\R)$,  on pose $(X \vert Y)={}^t\!XTY$. Montrer que l'on d\'{e}finit ainsi un nouveau produit scalaire sur $\R^n$. On notera $\Vert . \Vert_{T}$ la norme euclidienne associ\'{e}e.

\smallskip

b) On note ${\cal B} = \left( e_1,\cdots,e_n\right) $ la base canonique de $\R^n$. Justifier l'existence
d'une base orthonorm\'{e}e ${\cal C} = \left(\varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n\right)$ pour le nouveau produit scalaire $(. \vert .)$ telle que pour tout $k\in \[1,n\]$, $\Vect\left\lbrace \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_k  \right\rbrace
=\Vect\left\lbrace e_1,\cdots,e_k  \right\rbrace$.

Montrer que l'on peut supposer que $(e_k \vert \varepsilon_k)>0$ (ce que l'on supposera d\'{e}sormais).

\smallskip

c) On d\'{e}signe par $P$ la matrice de l'identit\'{e} de $\R^n$ dans les bases ${\cal B}$ (au d\'{e}part) et ${\cal C}$ (\`{a} l'arriv\'{e}e). Montrer que $P$ est une matrice triangulaire sup\'{e}rieure \`{a} coefficients
diagonaux strictement positifs. Si $(x_1,\cdots,x_n)$ (resp. $(x^{\prime}_1,\cdots,x^{\prime}_n)$) sont les coordonn\'{e}es du vecteur $X$ dans ${\cal B}$ (resp. ${\cal C}$), justifier que:
$$
\left( \matrix{
x^{\prime}_1 \cr
\vdots \cr
x^{\prime}_n \cr
}\right)
=P
\left( \matrix{
x_1 \cr
\vdots \cr
x_n \cr
}\right)
$$
En d\'{e}duire que  $\Vert X \Vert_{T}=\Vert PX \Vert$.

\smallskip

d) En utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente, montrer que $T={}^t\!PP$.
\bigskip

3.  On se place dans le cas o\`{u} $n=3$ et $T$ est la matrice d\'{e}finie par:
$$
T=\left( \matrix{
1 & 0 & 2\cr
0 & 4 & 0 \cr
2 & 0 & 5}\right).
$$

a) Montrer que $T$ est d\'{e}finie positive (on ne demande pas de calculer explicitement toutes les valeurs propres).
\smallskip

b) D\'{e}terminer une matrice $A$ telle que  $T={}^t\!AA$, o\`{u} $A$ est une matrice triangulaire sup\'{e}rieure \`{a} coefficients diagonaux strictement positifs.

%

\end{exo}

\begin{sol}



1.  Les propri\'{e}t\'{e}s de la transposition d'une matrice impliquent facilement que
$T$ est sym\'{e}trique. Soit $\lambda$ une valeur propre de $T$ et $X$ un vecteur propre unitaire associ\'{e} \`{a} $\lambda$. On voit que $\lambda={}^t\!XTX={}^t\!(AX)AX=\Vert AX \Vert^2>0 $ puisque $A$ est inversible. La matrice $T$ est donc d\'{e}finie positive.

\bigskip
2. a) Il est clair que l'application $(X,Y)\longrightarrow(X \vert Y)$ est bilin\'{e}aire. Elle est sym\'{e}trique
car $T$ est sym\'{e}trique. Comme $T$ est sym\'{e}trique, elle peut s'\'{e}crire $T={}^t\!QDQ$ o\`{u} $D$ est une matrice diagonale et $Q$ une matrice orthogonale. On a donc ${}^t\!XTX={}^t\!(QX)D(QX)$. Comme les coefficients diagonaux de $D$ sont strictement positifs, on voit que ${}^t\!XTX \geq 0$ et que cette quantit\'{e} est \'{e}gale \`{a} $0$ si et seulement si $QX=0$, c'est-\`{a}-dire $X=0$ puisque $Q$ est inversible. On a donc bien d\'{e}fini un nouveau produit scalaire sur ${\cal M}_{n,1}(\R)$.

\smallskip

b) L'existence d'une base orthonorm\'{e}e ${\cal C} = \left\lbrace \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_n\right\rbrace $ pour le nouveau produit scalaire $(. \vert .)$ telle que $\Vect\left\lbrace \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_k  \right\rbrace =\Vect\left\lbrace e_1,\cdots,e_k  \right\rbrace$ pour tout $k \in \left\lbrace 1,\cdots, n\right\rbrace $ provient du proc\'{e}d\'{e} d'orthonormalisation de Schmidt. On observe d\'{e}j\`{a} que
$(e_k \vert \varepsilon_k) \neq 0$ ; c'est \'{e}vident par construction si $k=1$ et si ce n'\'{e}tait pas le cas pour un entier $k \in \[2,n\]$,  on aurait
$$e_k \in \Vect\left\lbrace \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_{k-1}  \right\rbrace
=\Vect\left\lbrace e_1,\cdots,e_{k-1}  \right\rbrace$$

ce qui est absurde. Il suffit alors de remplacer $\varepsilon_k$ par $\hbox{sgn}((e_k \vert \varepsilon_k))\varepsilon_k$.

\smallskip

c) Comme $e_k \in \Vect\left\lbrace \varepsilon_1,\cdots,\varepsilon_k\right\rbrace $, le vecteur $e_k$ s'\'{e}crit sous la forme $e_k = \dis \sum_{i=1}^{k}a_i \varepsilon_i$. Or, ses composantes sur la base ${\cal C}$
forment la $k$-i\`{e}me colonne de la matrice $P$ ; la matrice $P$ est donc triangulaire sup\'{e}rieure.
De plus $a_k= (e_k \vert \varepsilon_k)>0$, les coefficients
diagonaux de $P$ sont donc strictement positifs. La relation matricielle entre les coordonn\'{e}es du vecteur $X$ dans ${\cal B}$ et celles de $X$ dans ${\cal C}$ correspond \`{a} la formule de changement de base du cours. Comme $x^{\prime}_1,\cdots,x^{\prime}_n$ sont les coordonn\'{e}es de $X$ dans la base orthonorm\'{e}e ${\cal C}$, on a $\Vert X \Vert_{T}^2=\dis\sum_{k=1}^{n}(x^{\prime}_k)^2$. D'un autre c\^{o}t\'{e}, la relation matricielle pr\'{e}c\'{e}dente montre que $\dis \sum_{k=1}^{n}(x^{\prime}_k)^2=\Vert PX \Vert^2$. On a donc bien l'\'{e}galit\'{e}  $\Vert X \Vert_{T}=\Vert PX \Vert$.

\smallskip

d) L'\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente implique donc que ${}^t\!XTX ={}^t\!(PX)PX={}^t\!X({}^t\!PP)X $ pour tout vecteur colonne $X$. On en d\'{e}duit que pour tout couple $(X,Y)$ de ${\cal M}_n(\R)^2$ :

$$\eqalign{
 {}^t\!XTY &= \frac{1}{4}\left({}^t\!(X+Y)T(X+Y) - {}^t\!(X-Y)T(X-Y)\right)\cr
&= \frac{1}{4}\left({}^t\!(X+Y)({}^t\!PP)(X+Y) - {}^t\!(X-Y)({}^t\!PP)(X-Y)\right)={}^t\!X({}^t\!PP)Y
}$$

 D'o\`{u} $T={}^t\!PP$.

\bigskip
3. a) Il est clair que $T$ est sym\'{e}trique, donc diagonalisable dans une base orthonorm\'{e}e de vecteurs propres, et que $e_2$ est un vecteur propre associ\'{e} \`{a} la valeur propre $4$. On en d\'{e}duit que les autres vecteurs propres
appartiennent \`{a} $\Vect\left\lbrace e_1,e_3 \right\rbrace$ et qu'ils sont les vecteurs propres (avec conservation de la valeur propre associ\'{e}e) d'un endomorphisme sym\'{e}trique de matrice
$$
\left( \matrix{
1 & 2\cr
2 & 5
}\right).
$$
On voit alors facilement que les deux valeurs propres restantes ont pour somme $6$ et pour produit $1$, elles sont donc strictement positives. Par suite, la matrice $T$ est d\'{e}finie positive.

\smallskip

b) Les coefficients de la matrice triangulaire sup\'{e}rieure $A$ se calculent facilement en commen\c{c}ant par regarder la premi\`{e}re ligne du produit ${}^t\!AA$ et en tenant compte que les coefficients diagonaux de $A$ sont strictement positifs. On trouve que l'on a n\'{e}cessairement:
$$
A=\left( \matrix{
1 & 0 & 2\cr
0 & 2 & 0 \cr
0 & 0 & 1
}\right).
$$

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 30. Alg\`{e}bre


Soit $n\in\N^*$.  On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et on note $\|.\|$ la norme euclidienne canonique. On d\'esigne par ${\cal L}(\R^n)$ l'ensemble des endomorphismes de $\R^n$ et par ${Id}_{\R^n}$ l'endomorphisme identit\'{e} de $\R^n$.


Soit $u\in {\cal L}(\R^n)$ tel que:
$$
\forall x \in  \R^n,\,\,\|u(x)\|\leq \|x\|.
$$

\medskip


1.   Soit $y\in \Ker\left(u-{Id}_{\R^n}\right)\cap \Im\left(u-{Id}_{\R^n}\right)$.
Montrer qu'il existe $x\in \R^n$ tel que :
$$
\forall\,k\in\N^*,\,\,y=\frac{1}{k} \, (u^k(x)-x)
$$

o\`{u} $u^k\in {\cal L}(\R^n)$ d\'esigne  l'endomorphisme $u\circ u\circ \ldots\circ u$ ($k$ fois).

\medskip


2.  En d\'eduire que $\Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)\cap \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)=\{ 0\}$.
\medskip


3.  Conclure que $\Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)\oplus \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)=\R^n$.
\medskip


On dit qu'une suite $(z_N)_N$  de vecteurs de $\R^n$ converge vers $z\in \R^n$ (que l'on note $\displaystyle\lim_{N\to \,+\infty} z_N=z$) si $\displaystyle\lim_{N\to\, +\infty} \|z_N-z\|=0$.

\medskip


4.  Soit $y \in \Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)$. \'Etudier la limite de la suite:
$$
\left(\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}u^k(y)\right)_N
$$

\medskip


5.  Soit $y \in \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)$.  \'Etudier la limite de la suite:
$$
\left(\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}u^k(y)\right)_N
$$
\medskip


6. En d\'{e}duire que pour tout $y\in \R^n$, on a :
$$
\dis\lim_{N\to\,+\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}u^k(y)= p(y)
$$
 o\`{u} $p$ est un endomorphisme de $\R^n$ que l'on caract\'erisera.


 %

\end{exo}

\begin{sol}

 1. Si $y\in \Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)\cap \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)$ alors $u(y)=y$ et $\exists\, x\in \R^n$ tel que
$y=u(x)-x  $. Prouvons par r\'ecurrence la propri\'{e}t\'{e} $y=1/k \, (u^k(x)-x)$ pour tout entier $k \geq 1$ pour ce $x$ fix\'{e}.  Pour $k=1$, elle est v\'erifi\'ee.

Supposons qu'elle soit vraie pour $k\geq 1$, c'est-\`a-dire que $y=\dis\frac{1}{k} \, (u^k(x)-x)$. Il vient alors:
$$
y=u(y)=\frac{1}{k} \, (u(u^k(x)-x))=\frac{1}{k} \,(u^{k+1}(x)-u(x))=\frac{1}{k} \,(u^{k+1}(x)-y-x) \ \hbox{ car } y+x=u(x).
$$

Ainsi, $(k+1) y= u^{k+1}(x)-x $ et il en r\'{e}sulte que:
$$
y=\frac{1}{k+1} \, (u^{k+1}(x)-x) \hbox{ et donc que la propri\'{e}t\'{e} est vraie au rang $k+1$}.
$$
\medskip

2.  Si $y\in  \Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)\cap \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)$, alors d'apr\`{e}s la question 1, il existe $x\in \R^n$ tel que
$y=1/k \, (u^k(x)-x)$ pour tout entier $k \geq 1$. Ainsi, on en d\'{e}duit que  pour tout $k \geq 1$ :
$$
\| y\| =  \frac{1}{k}\| u^k(x)-x\| \leq   \frac{1}{k} (\|u(u^{k-1}(x))\|+\| x\|) \leq \frac{1}{k} (\|u^{k-1}(x)\|+\| x\|) \leq  \frac{1}{k} (\|x\|+\| x\|) =  \frac{2  \|x\|}{k},
$$

(o\`u pour les seconde et  troisi\`{e}me in\'{e}galit\'{e}s, on a utilis\'{e} $\|u(x)\|\leq \|x\|, \ \forall x \in  \R^n$).
Par cons\'{e}quent, on a:
$$
0 \leq \| y\|  \leq    \frac{2  \|x\|}{k} \to 0 \hbox{ quand } k \to +\infty
$$
et il s'ensuit que $y=0$. Or  comme $\{0\}\in \Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)\cap \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)$, on a  $\Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)\cap \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)=\{ 0\}$.

\medskip


3.  D'apr\`es la question 2, $\Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)$ et $\Im\left(u-Id_{\R^n}\right)$ sont  en somme directe.
Soit ${\cal V}=\Ker\left(u-Id_{\R^n}\right) \oplus \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)$.
 On a donc: $$\dim({\cal V})=\dim\left(\Ker(u-Id_{\R^n})\right)+\dim\left(\Im(u-Id_{\R^n})\right)=n,$$

 o\`u la derni\`ere \'egalit\'e est une cons\'equence  du th\`{e}or\`eme du rang. Ainsi, ${\cal V}$ est  un sous-espace de $\R^n$ de dimension $n$, ce qui implique que ${\cal V}=\R^n$ car $\dim(\R^n)=n$.
 \medskip

 4.  Soit $y \in \Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)$; on a donc $u(y)=y$. On a ainsi:
 $$
 \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}u^k(y)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}y =y\to y  \quad  \hbox{ lorsque } N \to +\infty .
 $$
 \medskip

5.   Soit $y \in \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)$;  il existe $x\in \R^n$ tel que
$y=u(x)-x  $. On a par cons\'equent $u^k(y)=u^{k+1}(x)-u^{k}(x)$ pour $k=0,\ldots, N-1$ et donc:
 $$
 \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}u^k(y)=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1}\big(u^{k+1}(x)-u^{k}(x) \big)=\frac{u^{N}(x)-x}{N}\to 0  \quad  \hbox{ lorsque } N \to +\infty .
 $$

 La convergence de $(u^{N}(x)-x)/N$ vers $0$ pour $N \to+ \infty $ est justifi\'ee par le fait que  $0\leq \|(u^{N}(x)-x)/N \| \leq ( \|u^{N}(x)\| +\|x\|) /N |\leq 2\|x\|/N \to 0 $ lorsque $N\to+ \infty$ (on a utilis\'e dans la derni\`ere in\'egalit\'e le fait que $\|u(x)\|\leq \|x\|, \ \forall x \in  \R^n$).

\medskip

6. L'application $p$ est un endomorphisme de $\R^n$ (il est lin\'eaire). Comme $\Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)\oplus \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)=\R^n$, $p(y)=y$ sur $\Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)$ et $p(y)=0$ sur $ \Im\left(u-Id_{\R^n}\right)$. Ainsi, $p$ est le projecteur sur $\Ker\left(u-Id_{\R^n}\right)$ parall\`element \`a $\Im\left(u-Id_{\R^n}\right)$ (on a utilis\'{e} l'in\'{e}galit\'{e} triangulaire pour montrer que la somme de deux suites de matrices convergentes converge elle aussi).

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 05. Alg\`{e}bre

Soit un entier $n\geq 2$. Dans tout l'exercice, on note $\tr(M)$ la trace d'une matrice carr\'{e}e $M$ d'ordre $n$  et on note $I$ la matrice identit\'{e} de ${\cal M}_n(\R)$. On rappelle que par convention, on a $M^0=I$.
\medskip

1. Soit $M$ une matrice sym\'{e}trique de ${\cal M}_n(\R)$.

On dit que $M$ est d\'{e}finie positive si, pour tout \'{e}l\'{e}ment $X$ non nul de ${\cal M}_{n,1}(\R)$, on a ${}^t\!{X}\!MX>0$.
\smallskip

Montrer que $M$ est d\'{e}finie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.
\medskip

{\it Dans la suite, $A$ d\'{e}signe une matrice sym\'{e}trique non nulle de ${\cal M}_n(\R)$ telle que $I-A$ soit d\'{e}finie positive et on note $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ les valeurs propres de $A$, non n\'{e}cessairement distinctes}.

On pose, pour tout entier naturel $p$ non nul, $\dis u_p=\sum_{k=0}^{2p-1}\tr(A^k)$.
\smallskip

2. a)  Justifier que la matrice $I-A$ est inversible et \'{e}tablir, pour tout entier naturel $p$ non nul, la formule suivante :
			$$\sum_{k=0}^{2p-1}A^k=(I-A)^{-1}-A^{2p}(I-A)^{-1}$$

b)  En d\'{e}duire que :
			$$ u_p=\sum_{i=1}^n\frac1{1-\lambda_i}-\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i^{2p}}{1-\lambda_i}$$
\smallskip

c) 	  Montrer que la suite $(u_p)_{p\ge 1}$ est major\'{e}e. Est-elle convergente ?
\medskip
3. On suppose de plus que la matrice $A$ est \`{a} coefficients positifs ou nuls.

  Montrer que, pour tout $i$ de $\[1,n\]$, on a : $|\lambda_i|<1$.

\end{exo}

\begin{sol}

1.  Soit $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ les valeurs propres de $M$.
\par
$\bullet$  Supposons que $M$ soit d\'{e}finie positive. Soit $\lambda_i$ une valeur propre de $M$ et $X$ un vecteur propre associ\'{e}.

On a donc ${}^t\!{X}MX>0$, ce qui donne $\lambda_i{}^t\!{X}X>0$, c'est-\`{a}-dire $\lambda_i\|X\|^2>0$.

Comme $X$ est un vecteur propre, il est non nul et donc $\lambda_i>0$.
\par
$\bullet$  Supposons que les valeurs propres de $M$ soient toutes strictement positives.

Comme $M$ est sym\'{e}trique r\'{e}elle, il existe une matrice $P$ orthogonale telle que $M={}^t\!{P}DP$ avec $D=\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.

On a donc ${}^t\!{X}MX={}^t\!{X}{}^t\!{P}DPX={}^t\!{(PX)}DPX$.

En posant $Y=\pmatrix{ y_1\cr \vdots\cr y_n}$, on a donc ${}^t\!{X}MX=\dis\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^2$.
		Si $X$ est non nul, alors $PX$ est non nul puisque $P$ est inversible et on a bien ${}^t\!{X}MX>0$.

\medskip
% 2. a)  On a : $ \dis \left(\sum_{k=0}^{2p-1}A^k\right)(I-A)=I-A^{2p}$. 	Les valeurs propres de $I-A$ sont $1-\lambda_1,\ldots,1-\lambda_n$.

% Comme $I-A$ est d\'{e}finie positive, on a pour tout $i\in \[1,n\]$, d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, $1-\lambda_i>0$. La matrice $I-A$ est inversible et on a donc :
% 		$$\sum_{k=0}^{2p-1}A^k=(I-A)^{-1}(I-A^{2p}) \hbox{ ou }
% 		\sum_{k=0}^{2p-1}A^k=(I-A)^{-1}-A^{2p}(I-A)^{-1}$$

2. a)  Comme $I-A$ est d\'{e}finie positive, d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, ses valeurs propres ne sont pas nulles, donc elle est inversible. De plus ce sont $1-\lambda_1,\ldots,1-\lambda_n$.

On a : $ \dis \left(\sum_{k=0}^{2p-1}A^k\right)(I-A)=I-A^{2p}$.
D'o\`{u} :
	$$\sum_{k=0}^{2p-1}A^k=(I-A)^{-1}(I-A^{2p})=
(I-A)^{-1}-A^{2p}(I-A)^{-1}$$

\smallskip

b) Comme la trace est lin\'{e}aire, on a  : $ \dis\sum_{k=0}^{2p-1}\tr(A^k)=\tr\big((I-A)^{-1}\big)-\tr\big(A^{2p}(I-A)^{-1}\big)$.

La matrice $A$ est diagonalisable et semblable \`{a} $\hbox{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.

La matrice $I-A$ est semblable \`{a} $\dis \hbox{diag}(1-\lambda_1,\ldots,1-\lambda_n)$.

La matrice $(I-A)^{-1}$ est semblable \`{a} $\hbox{diag}(\dis \frac1{1-\lambda_1},\ldots,\frac 1{1-\lambda_n})$ et sa trace est donc $\dis \sum_{i=1}^n\frac1{1-\lambda_i}$.

Et enfin, la matrice $A^{2p}$ est semblable \`{a} $\hbox{diag}(\lambda_1^{2p},\ldots,\lambda_n^{2p})$ et comme les matrices de passage sont les m\^{e}mes pour toutes les matrices en jeu, on $\dis \tr\big(A^{2p}(I-A)^{-1}\big)=\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i^{2p}}{1-\lambda_i}$.
		
Finalement : $ \dis u_p=\sum_{i=1}^n\frac1{1-\lambda_i}-\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i^{2p}}{1-\lambda_i}$.

\smallskip
% c) On a  $\dis \sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i^{2p}}{1-\lambda_i}\geq 0$ (gr\^{a}ce \`{a} la puissance paire des $\lambda_i$) et donc : $ u_p\leq \dis  \sum_{i=1}^n\frac1{1-\lambda_i}$.
On a  $\dis \sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i^{2p}}{1-\lambda_i}\ge 0$ (gr\^{a}ce \`{a} la puissance paire des $\lambda_i$ et car $1-\lambda_i>0$) et donc : $ u_p\leq \dis  \sum_{i=1}^n\frac1{1-\lambda_i}$.

La suite $(u_p)$ ne converge pas forc\'ement,  par exemple lorsque $A=\hbox{diag}(-1,0,\dots,1)$.

		
\medskip
3.   Si on suppose que $A$ est \`{a} coefficients positifs, on a $\tr(A^k)$ est positif.
			La suite des sommes partielles de la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $\tr(A^k)$ est croissante et, d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, on a:
			$$\sum_{k=1}^p\tr(A^k)\leq \sum_{k=1}^{2p-1}\tr(A^k)=u_p\leq \sum_{k=1}^n\frac1{1-\lambda_k}$$

La suite des sommes partielles est croissante et major\'{e}e, donc convergente.
La s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral  $\tr(A^k)$  \'{e}tant convergente, son terme g\'{e}n\'{e}ral tend vers 0.
				Ainsi, comme $0 \leq \lambda_j^{2k}\leq \displaystyle \sum_{i=1}^n(\lambda_i)^{2k} \to 0$,
ceci  prouve que $|\lambda_i|<1$.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 47. Alg\`{e}bre


Soit un entier $p\geq 2$. On consid\`{e}re l'espace $E={\cal M}_{p,1}(\R)$  muni de son produit scalaire canonique et de la norme euclidienne associ\'{e}e not\'{e}s respectivement  $\langle\ ,\  \rangle$ et $\|.\|$. On note ${\cal B}=(e_1,\ldots,e_p)$ la base canonique de $E$.

La transpos\'{e}e d'une matrice $M$ est not\'{e}e ${}^t\!{M}$.

Soit $A$ une matrice de ${\cal M}_p(\R)$.

\medskip
1.  Montrer que les valeurs propres de la matrice ${}^t\!{A}A$ sont toutes r\'{e}elles positives.

	On note $c$ la plus grande des valeurs propres de ${}^t\!{A}A$.
\medskip

2. a) Montrer que pour tout $X\in E, ||AX||^2 \leq c ||X||^2$.
\smallskip

b) \'{E}tablir pour tout couple $(X,Y)$ de vecteurs de $E$ et tout entier naturel $k$ non nul, l'in\'{e}galit\'{e} suivante :
	$$ |\langle A^kX,Y\rangle| \le c^{\frac k2}\|X\|\,\scriptstyle \times \dis\|Y\|$$

 On dit qu'une suite de matrices $(U_n)_{n\geq 0}$ converge vers une matrice $U$ si chacun des coefficients de $U_n$ converge vers le coefficient de $U$ correspondant.
\medskip

3. a)  Soit $(i,j)\in \[1,p\]^2 $.
	Montrer la convergence de la s\'{e}rie  $\dis \sum_{k\geq 0}\frac{\langle A^ke_j,e_i\rangle}{k!}$.

\smallskip
b)   On d\'{e}finit, pour tout $n\in \N$,  la matrice $B_n$ par :
	$$ B_n=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}A^k$$

	Montrer que la suite $(B_n)$ converge vers une matrice not\'{e}e $C$.
\smallskip

c)  Exprimer les valeurs propres de $C$ en fonction des valeurs propres de $A$.

\end{exo}

\begin{sol}

1.  La matrice ${}^t\!{A}A$ est sym\'{e}trique, donc ses valeurs propres sont r\'{e}elles.
	
De plus, pour tout vecteur propre $X$, on a $ {}^t\!{A}AX=\lambda X$. 	En multipliant par ${}^t\!{X}$ :
		$$ {}^t\!{X}{}^t\!{A}AX=\lambda{}^t\!{X} X \hbox{ soit }
		\|AX\|^2=\lambda \|X\|^2$$

	Comme $X$ est non nul, on a : $ \dis \lambda=\frac{\|AX\|^2}{\|X\|^2}\geq 0$.
\medskip

2. a)  De plus ${}^t\!{A}A$ est diagonalisable dans une base orthonormale $(\varepsilon_1,\ldots ,\varepsilon_p)$, o\`{u} les $\varepsilon_i$ sont associ\'{e}s aux valeurs propres $\lambda_i$.

	Tout vecteur $X$ s'\'{e}crit donc $\dis X=\sum_{k=1}^p\alpha_k\varepsilon_k$.
	On a donc $\dis{}^t\!{A}AX=\sum_{k=1}^p\alpha_k\lambda_k\varepsilon_k$
	D'o\`{u} :

	$${}^t\!{X}{}^t\!{A}AX=\sum_{k=1}^p\alpha_k^2\lambda_k \hbox{ soit }
	\|AX\|^2=\sum_{k=1}^p\alpha_k^2\lambda_k$$

	En notant $c$ la plus grande des valeurs propres, on a bien : $\|AX\|^2\le c\|X\|^2$.

b)	On a donc, par une simple r\'{e}currence : $\|A^kX\|^2\le c^k\|X\|^2$.

\smallskip

 Il suffit alors d'appliquer l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz :
	$$\Big(\langle A^kX,Y\rangle\Big)^2\leq \|A^kX\|^2\|Y\|^2$$
	Ce qui donne bien : $\Big(\langle A^kX,Y\rangle\Big)^2\le c^k\|X\|^2\|Y\|^2$.

Et en prenant la racine : $ |\langle A^kX,Y\rangle| \le c^{\frac k2}\|X\|\|Y\|$.

\medskip

3. a)  En appliquant l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente, on obtient:
	$$\left|\frac{\langle A^ke_j,e_i\rangle}{k!}\right|\leq  c^{\frac k2}\frac{\|e_j\|\|e_j\|}{k!}$$
	Et comme la base canonique est orthonormale pour le produit scalaire canonique, on a :
		$$\left|\frac{\langle A^ke_j,e_i\rangle}{k!}\right|\leq \ c^{\frac k2}\frac{1}{k!}$$

Le crit\`{e}re de comparaison des s\'{e}ries \`{a} termes positifs permet de conclure \`{a} la convergence absolue et donc \`{a} la convergence de la s\'{e}rie consid\'{e}r\'{e}e.
\smallskip

b) On constate que le terme g\'{e}n\'{e}ral de la matrice $\dis \frac1{k!}A^k$ n'est autre que $\dis \frac{\langle A^ke_j,e_i\rangle}{k!}$. La s\'{e}rie de somme partielle $B_n$ est donc convergente.
% et on pose donc :
%$$\sum_{k=0}^{+\infty}\frac1{k!}A^k=C$$

\smallskip
c)  Si $AX=\lambda X$, on a  alors: $$B_nX=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}A^kX=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\lambda^kX=\big(\sum_{k=0}^n\frac{\lambda^k}{k!}\Big)X$$
\medskip

On montre que si la suite de matrices $(B_n)_n$ converge vers une matrice $C$, alors pour tout vecteur $X\in \R^n$, la suite de vecteurs $(B_nX)_n$ converge vers le vecteur $CX$.

En passant ainsi \`{a} la limite, il vient $ CX=e^{\lambda}X$.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 55. Alg\`{e}bre

Soit $x$ un r\'{e}el strictement positif et $n$ un entier naturel non nul. On note $I$ la matrice identit\'{e} de ${\cal M}_{2n}(\R)$ et
on note $E_n$ l'ensemble d\'{e}fini par :
$$ E_n=\{A\in{\cal M}_{2n}(\R)\ ; \ A^2+x^2I=0\,; \ {}^t\!{A}A = A{}^t\!{A}\}$$

\smallskip

1. a)  Soit $\R^2$ muni de sa base canonique $(e_1,e_2)$ et $f$ l'endomorphisme de $\R^2$ d\'{e}fini par:
$$f(e_1)= -xe_2, \quad f(e_2)= xe_1$$

Calculer $f\circ f$.

\smallskip
b)  En d\'{e}duire que $E_n\neq\emptyset$.
	\medskip

2.  Soit $S$ une matrice sym\'{e}trique r\'{e}elle. On note $\Sp(S)$ l'ensemble des valeurs propres de $S$.  \'{E}tablir l'\'{e}quivalence suivante :
	$$ \big(\forall X\in{\cal M}_{n,1}(\R),\ {}^t\!{X}SX\geq 0\big)\Longleftrightarrow \Sp(S)\subset \R_+$$
\smallskip
	

	{\it Dans la suite, $A$ d\'{e}signe une matrice de $E_n$}.
\smallskip

3.   On pose $S={}^t\!{A}A$. Montrer que $S^2=x^4I$, puis que $S=x^2I$.
\medskip

4. a)  On pose $B=\dis\frac 1xA$. Calculer $\big({}^t\!{B}+B)B$.
\smallskip

b) Montrer que l'ensemble $E_n$ est constitu\'{e} des matrices de la forme $xB$ o\`{u} $B$ est  \`{a} la fois orthogonale et antisym\'{e}trique.

\end{exo}

\begin{sol}

1. a) Un  calcul imm\'{e}diat donne $f^2+x^2Id=0$.
\smallskip

b)  On g\'{e}n\'{e}ralise en dimension $2n$ en  consid\'{e}rant l'endomorphisme $f$ par son action sur la base canonique $(e_1,e_2,\ldots,e_n)$.
		
On a donc :
$$\cases{ f(e_1)=-xe_2 \cr f(e_2)=xe_1 \cr \hfill\quad\vdots\hfill\quad \cr f(e_{2k-1})=-xe_{2k} \cr f(e_{2k})=xe_{2k-1}\cr \hfill\quad\vdots\hfill\quad \cr f(e_{2n-1})=-xe_{2n} \cr f(e_{2n})=xe_{2n-1}}$$


On constate alors que, pour tout $j\in \[1,2n\]$, on a $f^2(e_j)=-x^2e_j$ et donc $f^2=-x^2Id$.

\medskip
 Ainsi, la matrice $A$ suivante (matrice de $f$ dans la base canonique) est \'{e}l\'{e}ment de $E_n$ :
		
		$$ A=\pmatrix{ \pmatrix{ 0&x\cr -x&0} & 0 &\ldots &0\cr 0&\pmatrix{ 0&x\cr -x&0}&\ddots &\vdots  \cr \vdots &\ddots &\ddots & 0\cr 0&\ldots &0& \pmatrix{ 0&x\cr -x&0}}$$
	\smallskip
2. $\bullet$  Supposons que pour tout $X$, ${}^t\!{X}SX\ge 0$.
		On applique cette relation \`{a} un vecteur propre $X$ (donc non nul) associ\'{e} \`{a} la valeur propre $\lambda$. 	On obtient : $ \lambda \|X\|^2\geq 0$.
		Comme $X\neq 0$, on en d\'{e}duit bien $\lambda \ge 0$.
\par
$\bullet$  Supposons $\Sp(S)\subset\R_+$. La matrice $S$ est diagonalisable dans une base orthonormale de vecteurs propres. Il existe donc une matrice $D=\hbox{diag}(\lambda_1\ldots,\lambda_n)$ et une matrice $P$ orthogonale telles que :
		$$ {}^t\!{X}SX={}^t\!{X}{}^t\!{P}DPX= {}^t\!{(PX)}DPX$$
		En posant : $PX=\pmatrix{ y_1\cr \vdots\cr y_n}$, on a donc : ${}^t\!{X}SX=\dis\sum_{j=1}^n\lambda_iy_i^2$.


Comme les $\lambda_i$ sont positifs, on a bien ${}^t\!{X}SX\ge 0$.
\smallskip
	

3. La matrice  $S$ est sym\'{e}trique et comme ${}^t\!{X}SX={}^t\!{X}{}^t\!{A}AX=\|AX\|^2$, $S$ est positive.
	De plus :
	$$ S^2={}^t\!{A}A{}^t\!{A}{}^t\!{A}A=({}^t\!{A})^2A^2={}^t\!({A}^2)A^2=(-x^2I)(-x^2I)=x^4I$$
Ainsi $S$ s'\'{e}crit $S=PD{}^t\!{P}$ avec $D=\hbox{diag}(\lambda_1\ldots,\lambda_n)$ et $\lambda_i\ge 0$.
	On a : $S^2= P(D^2){}^t\!{P}=x^4I$ d'o\`{u} $ D^2=x^4I$.

	Les $\lambda_i$ v\'{e}rifient donc tous $\lambda_i^2=x^4$.
	Comme les $\lambda_i$ sont des r\'{e}els positifs, on a $\lambda_i=x^2$ et donc $S=x^2I$.
	
\medskip
4. a)  La matrice $B$ est orthogonale puisque ${}^t\!{B}B=\dis\frac1{x^2}S=I$ et elle v\'{e}rifie $B^2=\dis\frac1{x^2}A^2=-I$.
		On a donc : $ ({}^t\!{B}+B)B={}^t\!{B}B+B^2=0$.

\smallskip
b)  Comme $B$ est inversible, les relations pr\'{e}c\'{e}dentes montrent  que $B$ est orthogonale et antisym\'{e}trique.
		R\'{e}ciproquement, soit $B$ une matrice orthogonale et antisym\'{e}trique. Posons $A=xB$.	On v\'{e}rifie facilement que ${}^t\! AA=A{}^t\! A$ et que $ A^2+x^2I=0$.

Conclusion: $E_n$ est constitu\'{e} des matrices de la forme $xB$ o\`{u} $B$ est  \`{a} la fois orthogonale et antisym\'{e}trique.		

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 49. Alg\`{e}bre


 Soit $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2  et $A\in {\cal M}_n(\R)$ donn\'{e}e.

 Soit $T$ l'application d\'{e}finie sur ${\cal M}_n(\R)$ par:
 $$\forall \,M\in {\cal M}_n(\R),\,\, T(M)= AM$$

 \medskip
 1. Montrer que $T$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n(\R)$.

 \medskip

 2. Montrer que $T$ est bijectif si et seulement si la matrice $A$ est inversible.

 \medskip

 3. Dans cette question, on suppose que la matrice $A$ est diagonalisable. Soit $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ ses valeurs propres et $(X_1, \ldots, X_n)$ une base de ${\cal M}_{n,1}(\R)$ form\'{e}e de vecteurs propres de $A$.

 \smallskip

 Pour tout $(i,j)\in \[1,n\]^2$, on pose $M_{i,j}= X_i{}^t\!X_j$.

 Montrer que la famille $(M_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}$ est une base de ${\cal M}_n(\R)$ de vecteurs propres de $T$.



 \medskip
 4. Dans cette question, on suppose que $A$ admet au moins une valeur propre $\mu$ et donc un vecteur propre $X$ associ\'{e}. On suppose que $T$ est diagonalisable. Soit $(M_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}$  une base de ${\cal M}_n(\R)$ de vecteurs propres de $T$.

 a) Soit $\Phi$ l'application d\'{e}finie sur ${\cal M}_n(\R)$ par: $\forall\,M\in {\cal M}_n(\R),\,\,\Phi(M)= M X$.

 Montrer que $\Phi$ est surjective de ${\cal M}_n(\R)$ sur ${\cal M}_{n,1}(\R)$.

 \smallskip
 b)  En d\'{e}duire que $A$ est diagonalisable.

%
\end{exo}

\begin{sol}



1. L'application $T$ est manifestement un endomorphisme de $E$.

 \medskip
 2. Si $A$ est inversible, l'\'{e}quation $AM=N $ admet une unique solution $M=A^{-1}N$ et $T$ est bijective.
\smallskip

 Si $T$ est bijective, la matrice identit\'{e} $I$ de ${\cal M}_n(\R)$ admet un unique ant\'{e}c\'{e}dent par $T$ : il existe une unique matrice $B$ telle que $AB=I$, ce qui entra\^{\i}ne que $A$ est inversible.


 \medskip

 3. Quel que soit  $(i,j)\in \[1,n\]^2$, la matrice $M_{i,j}$ est de rang $1$ et ce n'est pas la matrice nulle. On a:
 $$T(M_{i,j})= AX_i{}^t\!X_j= \lambda_i X_i{}^t\!X_j= \lambda_i M_{i,j}$$

 Ainsi, $M_{i,j}$ est un vecteur propre de $T$ associ\'{e} \`{a} la valeur propre $\lambda_i$. Il reste \`{a} montrer que la famille $(M_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}$  est libre.

 Soit $\dis \sum_{i,j} \alpha_{i,j} X_i{}^t\!X_j=0$. Soit $k\in \[1,n\]$. Multiplions \`{a} gauche par ${}^t\!X_k$. Il vient:
 $$\sum_{i,j} \alpha_{i,j} ({}^t\!X_kX_i){}^t\!X_j=0 \Rightarrow \sum_j \left( \sum_i \alpha_{i,j} ({}^t\!X_kX_i)\right) {}^t\!X_j=0 $$

 Par libert\'{e} de la famille $(X_j)$, on a, pour tout $j\in \[1,n\]$, pour tout $k\in \[1,n\]$ :

 $$ \sum_i \alpha_{i,j} {}^t\!X_kX_i={}^t\!X_k \left( \sum_i \alpha_{i,j} X_i\right)=0$$

  Donc, pour tout $j\in \[1,n\]$, $\dis \sum_i \alpha_{i,j} X_i=0$, donc $\alpha_{i,j}=0$ pour tout $(i,j)\in \[1,n\]^2$.


\medskip

4. a) Soit $X\neq 0$ tel que $AX=\mu X$. Soit ${\cal F}= \Vect(M_{i,j}X)$. La famille $(M_{i,j})$ est une base de ${\cal M}_n(\R)$. Soit $Y\in {\cal M}_{n,1}(\R)$. Il existe une matrice $M$ telle que $MX=Y$ puisque $X\neq 0$. Ainsi ${\cal F}= {\cal M}_{n,1}(\R)$.

\smallskip
En effet, si $(X, e_2, \ldots, e_n)$ est une base de ${\cal M}_{n,1}(\R)$ et si $g$ est l'endomorphisme de $\R^n$ canoniquement associ\'{e} \`{a} $M$, on pose $g(X)=Y$ et pour tout $i\in \[2,n\]$, $g(e_i)=e_i$ (par exemple).

\smallskip

b) On peut donc extraire de la famille $(M_{i,j}X)$, une base $(M_1X, \ldots, M_nX)$ de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. On a alors
$$\lambda_i M_i= T(M_i) \Rightarrow \lambda_i M_iX= AM_iX$$
ce qui montre que $A$ est diagonalisable.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 57. Alg\`{e}bre

Soit un entier $n\geq 2$. On munit ${\cal M}_{n,1}(\R)$ du produit scalaire canonique et de la norme euclidienne $||\ ||$ associ\'{e}e.
Soit $A\in {\cal M}_n(\R)$. On note $I_n$ la matrice identit\'{e} de ${\cal M}_n(\R)$.

\medskip

On suppose que la matrice $I_n-{}^t\!AA$ est de rang $1$ et que pour tout $X\in {\cal M}_{n,1}(\R)$, on a $||AX||\leq ||X||$.

\medskip
1. Montrer que la matrice ${}^t\!AA$ est diagonalisable et que ses valeurs propres appartiennent \`{a} l'intervalle $[0,1]$.

\medskip
2. Montrer que la matrice $I_n-{}^t\!AA$ est diagonalisable. Que peut-on dire de ses valeurs propres ?

\medskip
3. Soit $Y\in {\cal M}_{n,1}(\R)$ non nul. On pose, pour tout $X\in {\cal M}_{n,1}(\R)$:
$$\Phi_Y(X)= ({}^t\!YX)\ Y $$

a) Montrer que $\Phi_Y$   est un endomorphisme de ${\cal M}_{n,1}(\R)$ de rang $1$.

\smallskip
b) Montrer qu'il existe $Y_0\in {\cal M}_{n,1}(\R)$ tel que $\forall X\in {\cal M}_{n,1}(\R)$, $(I_n-{}^t\!AA)X=\Phi_{Y_0}(X)$.
\smallskip

c) D\'{e}terminer l'ensemble des vecteurs $Z\in {\cal M}_{n,1}(\R)$ tels que
$$\forall X\in {\cal M}_{n,1}(\R),\ (I_n-{}^t\!AA)X=\Phi_Z(X).$$
\smallskip

d) Comparer $||Y_0||$ et $1$.
\smallskip

e) Montrer que l'\'{e}galit\'{e} $||AX||=||X||$ est v\'{e}rifi\'{e}e  si et seulement si $X\in \big(\Vect(Y_0)\big)^\perp$.

\medskip

4. Soit une matrice $B\in {\cal M}_n(\R)$ telle qu'il existe $Y\in  {\cal M}_{n,1}(\R)$ non nul tel que :
$$\forall X\in {\cal M}_{n,1}(\R),\ (I_n-{}^t\!BB)X=\Phi_Y(X).$$
Trouver en fonction de $Y$ un majorant et un minorant de l'ensemble des valeurs absolues des valeurs propres r\'{e}elles de $B$.
Pour $Y$ donn\'{e}, existe-t-il une matrice $B$ qui a pour valeurs propres le majorant et le minorant trouv\'{e}s ?


%

\end{exo}

\begin{sol}

1. La matrice ${}^t\!AA$ est sym\'{e}trique r\'{e}elle donc diagonalisable dans $\R$.
Si $\lambda$ est valeur propre associ\'{e}e au vecteur propre $X$, alors ${}^t\!X{}^t\!AAX= ||AX||^2$ et ${}^t\!X{}^t\!AAX=\lambda|XX||^2$, donc $\lambda\geq 0$. Comme $||AX||\leq ||X||$, on a de m\^{e}me $\lambda\leq 1$.

\medskip

2. Les vecteurs propres de ${}^t\!AA$ sont vecteur propres de $I_n-{}^t\!AA$ et si $\lambda$ est une valeur propres de ${}^t\!AA$, alors $1-\lambda$ est valeur propre de $I_n-{}^t\!AA$. Ainsi d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente les valeurs propres de $I_n-{}^t\!AA$ appartiennent aussi \`{a} $[0,1]$.

De plus comme $I_n-{}^t\!AA$ est de rang $1$ il y a une seule valeur propre non nulle (\'{e}lement de $]0,1]$).


% Si $(\lambda_1\leq  \ldots \leq  \lambda_n)$ sont les valeurs propres de $A$, celles de  $I_n-{}^t\!AA$ sont $(1-\lambda_1, \ldots, 1-\lambda_n)$ et les vecteurs propres associ\'{e}s sont les m\^{e}mes.

% La matrice $I_n-{}^t\!AA$ est de rang $1$. Le r\'{e}el $0$ est valeur propre de sous espace propres associ\'{e} $\ker (I_n-{}^t\!AA)$ de dimension $n-1$. Ainsi, on peut poser $\lambda_1= \ldots = \lambda_{n-1}=1$.

% Comme pour tout $X$, $||AX||\leq ||X||$, on sait que si $\lambda$ est valeur propre alors $|\lambda|\leq 1$ et donc $1-\lambda_n >0$. En effet $\lambda_n \neq 1$ sinon $A=I_n$ et
% $I_n-{}^t\!AA=0$ n'est pas de rang $1$.

% Ainsi $I_n-{}^t\!AA$ est orthogonalement semblable \`{a} $\hbox{diag} (0, \ldots, 0, 1-\lambda>0)$ dans une base $(e_1, \ldots, e_n)$.
\medskip
3. a) Le fait que $\Phi_Y$ soit un endomorphisme est \'{e}vident.

 On a $\rg(\Phi_Y)= 1$, puisque pour tout $X\in \R^n$, $\Phi_Y(X) \in \Vect(Y)$ et puisque $\Phi_Y(Y)=||Y||^2 Y\neq 0$.

\smallskip
b) Soit $e_1,\dots,e_n$ une base orthonorm\'{e}e de vecteurs propres de ${}^t\!AA$ o\`{u} $e_1,\dots,e_{n-1}$ sont associ\'{e} \`{a} la valeur propre $1$ et $e_n$ \`{a} la valeur propre $\lambda\neq 1$. Par analyse/synth\`{e}se.
\par
Pour tout $i\in  \[1,n-1\], (I_n-{}^t\!AA)(e_i)=0$ entra\^{\i}ne que $e_i\in \Vect(Y)^\perp$.
\par
$(I_n-{}^t\!AA)(e_n)=(1-\lambda) e_n$ entra\^{\i}ne que $(1-\lambda)e_n=\langle Y,e_n\rangle  Y$.
Si l'on pose $Y=\alpha e_n$, alors $(1-\lambda)e_n=\langle Y,e_n\rangle  Y$ entra\^{\i}ne que $\alpha^2= 1-\lambda $, soit $\alpha= \pm \sqrt{1-\lambda}$.

La synth\`{e}se est d\'{e}sormais \'{e}vidente.

\medskip

c) La d\'{e}monstration pr\'{e}c\'{e}dente montre qu'il existe deux vecteurs r\'{e}pondant \`{a} la question qui sont $\pm (\sqrt{1-\lambda}) e_n$.

\medskip
d) Comme $\lambda \in [0,1[$, on a $||Y_0||\leq 1$.

\medskip
e) On a les \'{e}quivalences suivantes:
$$||AX||^2=||X||^2 \Leftrightarrow\langle X,(I_n-{}^t\!AA)(X)\rangle =0 \Leftrightarrow
\langle X, \Phi_{Y_0}(X)\rangle=0 \Leftrightarrow \langle X,Y_0\rangle^2=0
$$

\medskip
4. Soit $B$ une telle matrice et $(\mu,X)$ tels que $BX=\mu X$ et $X\neq 0$. Alors:
$$\langle X,(I_n-{}^t\!BB)(X)\rangle= \langle X, \Phi_Y(X)\rangle= \langle X,Y\rangle^2$$
Or :
$$\langle X,(I_n-{}^t\!BB)(X)\rangle= ||X||^2-||BX||^2=||X||^2(1-\mu^2)$$
Alors, par Cauchy Schwarz, on a:
$$0 \leq ||X||^2(1-\mu^2)=\langle X,Y\rangle^2 \leq ||X||^2 \ ||Y||^2 \Leftrightarrow 1-||Y||^2 \leq \mu^2 \leq 1$$

Ainsi $|\mu| \in [\sqrt{1-||Y||^2},1]$.

Pour montrer que ces bornes sont atteintes, on choisit $e_n= \dis {Y\over ||Y||}$ qu'on compl\`{e}te en une base orthonorm\'{e}e $(e_1, \ldots, e_{n-1}, e_n)$.

On d\'{e}finit la matrice qui est la matrice dans la base canonique de l'endomorphisme qui a pour matrice $\hbox{diag}(1, \ldots, 1, \sqrt{1-||Y||^2})$ dans la base $(e_1, \ldots, e_{n-1}, e_n)$. On a:
$$I_n-{}^t\!BB= \hbox{diag}(0, \ldots, 0, ||Y||^2)= M_{\Phi_Y(e_1, \ldots, e_n)}$$

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 09. Alg\`{e}bre

1.  Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $E$. On note $\rg (f)$ et $\rg (g)$ leurs rangs respectifs.

Montrer que  $\rg(f+g)\leq \rg(f)+\rg(g)$.


\bigskip

 Soit $n$ un entier  sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3.

Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de ${\cal M}_{n}(\R)$ d\'{e}finie par: $\forall (i,j) \in\[1,n\]^2$,  $a_{i,j}=i+j$.


Soit $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de $ {\cal M}_{n}(\R)$ d\'{e}finie par:
$\forall (i,j) \in\[1,n\]^2$,  $b_{i,j}=i$.

\medskip


2. a)  D\'{e}terminer une relation entre $A,B$ et ${}^t\!B$.
\smallskip


b)  En d\'{e}duire le rang de $A$.
\smallskip

c)  En d\'{e}duire une valeur propre de $A$ et la dimension du sous-espace propre associ\'{e}.

\smallskip

d)  Justifier que $A$ est diagonalisable et exprimer $\tr(A)$ et $\tr(A^2)$ en fonction des  valeurs propres de $A$.

\medskip

3. a) Exprimer $\tr(A^2)$ en fonction de $\tr(B^2)$ et $\tr({}^tBB)$.

\smallskip

b) En d\'{e}duire $\tr(A^2)$ en fonction de $n$.

\smallskip
c)  D\'{e}terminer toutes les valeurs propres de $A$.



%

\end{exo}

\begin{sol}


1.  On montre facilement que $\im(f+g) \subseteq \im(f)+\im(g)$.

La formule de Grassmann permet de conclure que $\rg(f+g) \leq \rg(f)+\rg(g)$.

\medskip
2. Soit $n$ un entier naturel sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2.

a)  On a : $$A=\pmatrix{ 2&3&\cdots&n+1 \cr 3&4&\cdots& n+2 \cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots  \cr n+1&n+2&\cdots& 2n} \qquad B=\pmatrix{1 &1&\cdots &1\cr 2&2&\cdots &2\cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \cr n &n&\cdots &n }$$


Un calcul imm\'{e}diat donne :   $B+{}^{t}\!B = A$.

\smallskip
b) On remarque  que $B$ et ${}^{t}B$ sont des matrices de rang 1.
Par la question 1, et (\'{e}ventuellement) les endomorphismes canoniquement associ\'{e}s aux matrices, on a: $\rg(A)\leq \rg(B)+\rg({}^{t}B)=1+1=2$.


 Enfin en remarquant que les deux premi\`{e}res colonnes de $A$ ne sont pas proportionnelles, on peut \'{e}crire : $\rg(A)= 2$.

\smallskip

c)  Ainsi $0$ est valeur propre de $A$ de sous-espace propre associ\'{e} $\ker A$ qui est de dimension $n-2\geq 1$ car $n\geq 3$.

\smallskip

d)  La matrice $A$ est sym\'{e}trique r\'{e}elle, donc diagonalisable dans $\R$. Il manque donc deux valeurs propres
$\lambda_1$ et $\lambda_2$ et $\tr(A)=\lambda_1+\lambda_2$ et $\tr(A^2)= \lambda_1^2+\lambda_2^2$.

\medskip

3. a) On utilise les questions pr\'{e}c\'{e}dentes pour \'{e}crire :

$$\eqalign{
\tr(A^2)&= \tr\left((B+{}^tB)^2\right)=\tr(B^2)+\tr(B{}^tB)+\tr({}^tBB)+\tr(({}^tB)^2)\cr
&= 2\tr(B^2)+2\tr(^tBB)
}$$

Cette derni\`{e}re propri\'{e}t\'{e} est obtenue soit par un calcul direct, soit en utilisant la propri\'{e}t\'{e} (hors programme) $\tr(CD)=\tr(DC)$.



b) On calcule : $$\tr(B^2)=\tr\left(\frac{n(n+1)}{2}B\right)=\frac{n(n+1)}{2}\tr(B)=\left(\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

Et  $\tr(^tBB)=\displaystyle\frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6}$, d'o\`{u} $\tr(A^2)=\displaystyle\frac{n^2(n+1)(7n+5)}{6}$.

\smallskip


c)  On peut alors \'{e}crire : $S=\lambda_1+\lambda_2=\displaystyle 2\sum_{k=1}^{n}k =n(n+1)$ et
$\lambda_1^2+\lambda_2^2=\displaystyle\frac{n^2(n+1)(7n+5)}{6}$.

Donc  $\displaystyle P=\lambda_1\lambda_2=\frac{n^2(1-n^2)}{12} $.


Finalement,  $\lambda_1$ et $\lambda_2$ sont solutions de l'\'{e}quation : $$X^2-SX+P=0 \Longleftrightarrow X^2-n(n+1)X+\dis\frac{n^2(1-n^2)}{12}=0.$$

\smallskip

  On calcule le discriminant associ\'{e} \`{a} l'\'{e}quation pr\'{e}c\'{e}dente et on trouve :
 $$\lambda_1=\frac{n(n+1)+\sqrt{2n^2(n+1)(2n+1)/3}}{2}\quad \hbox{et} \quad \lambda_2=\frac{n(n+1)-\sqrt{2n^2(n+1)(2n+1)/3}}{2}.$$

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 21. Alg\`{e}bre

Soit $A\in {\cal M}_2(\R)$ une matrice sym\'{e}trique. On rappelle que la forme quadratique $q$ associ\'{e}e \`{a} $A$ est l'application de $\R^2$ dans $\R$ d\'{e}finie par:
$$\forall x\in \R^2, \quad q(x)={}^t\!XAX$$

o\`{u} $X$ est la matrice de ${\cal M}_{2,1}(\R)$ dont les composantes sont les coordonn\'{e}es du vecteur $x$ dans la base canonique de $\R^2$.

La forme quadratique $q$ est d\'{e}finie positive si pour tout $x\in \R^2$, $x\neq 0 \Rightarrow q(x)>0$.

\medskip
 Pour tout  $r\in{\R}$, on note  $q_r$ la forme quadratique associ\'{e}e \`{a} la matrice $\dis \pmatrix{ 1& -r\cr -r & 1}$.

\smallskip

1.a) Montrer que $q_r$ est d\'{e}finie positive si et seulement si $|r|<1$.

\medskip
b) Soit $Q_1$ et $Q_2$ deux formes quadratiques d\'{e}finies positives sur $\R^2$.
\smallskip

Justifier l'existence d'un r\'{e}el $c>0$  qui v\'{e}rifie: $\forall x\in \R^2,\,\,Q_1(x)\leq c\,{\scriptstyle \times }\,\dis Q_2(x)$.

\medskip
2. Soit $a$ un r\'{e}el tel que $0<a\leq 1$. Soit $z_1$ et $z_2$ deux fonctions d\'{e}finies et d\'{e}rivables sur ${\R}_+$, \`{a} valeurs dans l'intervalle $[a,+\infty[$.


On suppose que pour tout r\'{e}el $t\geq 0$, on a: $\cases{z^\prime_1(t)=z_1(t)\big(z_2(t)-2z_1(t)\big)&\cr\cr z^\prime_2(t)=z_2(t)\big(z_1(t)-2z_2(t)\big)&}\,.$
\medskip

On pose: $\forall \,t\geq 0, \,\,z(t)=\big(z_1(t),z_2(t)\big)$. Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur ${\R}_+$ \`{a} valeurs r\'{e}elles telle que:
$$\dis \forall\,t\geq 0,\,\,f(t)=q_{\frac{1}{2}}\big(z(t)\big)$$
\smallskip

{\it On admet sans d\'{e}monstration} que pour tout $t\geq 0$, on a: $f'(t)=-z_1(t)\big(2z_1(t)-z_2(t)\big)^2-z_2(t)\big(2z_2(t)-z_1(t)\big)^2$.

\smallskip
a) \'{E}tablir l'in\'{e}galit\'{e}: $\forall\,t\geq 0,\,\,f^\prime(t)\leq -5\,a\times q_{\frac{4}{5}}\big(z(t)\big)$.

\smallskip

b) Montrer qu'il existe un r\'{e}el $\theta>0$ tel que pour tout $t\geq 0$, on a: $f^\prime(t)\leq -\theta\,f(t)$.
\smallskip

c) \`{A} l'aide de la fonction $\varphi$ d\'{e}finie sur ${\R}_+$ par $\varphi(t)=f(t)\,\e^{\theta\,t}$, montrer que: $\forall\,t\geq 0,\,\,f(t)\leq f(0)\,\e^{-\theta\,t}$.

\smallskip
d) En d\'{e}duire la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.

%

\end{exo}

\begin{sol}



1.a) On note $x=(x_1,x_2)$ et $\dis X=\pmatrix{x_1\cr x_2}$. Alors $\forall\,x\in \R^2,\,\, q_r(x)=x_1^2-2\,rx_1x_2+x_2^2=(x_1-rx_2)^2+(1-r^2)\,x_2^2,$
Donc : $(\forall x\neq 0, q_r(x)>0)\Longleftrightarrow 1-r^2>0\Longleftrightarrow |r|<1$.

\smallskip
b) D'apr\`{e}s le cours, on sait qu'il existe deux r\'{e}els strictement positifs $\alpha_1$ et $\beta_1$ tels que:
$$\forall\,x\in \R^2,\,\,\alpha_1(x_1^2+x_2^2)\leq Q_1(x)\leq \beta_1(x_1^2+x_2^2)\qquad(1)\,.$$

\smallskip
De m\^{e}me, il existe deux r\'{e}els strictement positifs $\alpha_2$ et $\beta_2$ tels que:
$$\forall\,x\in \R^2,\,\,\alpha_2(x_1^2+x_2^2)\leq  Q_2(x)\leq \beta_2(x_1^2+x_2^2)\qquad(2)\,.$$

\smallskip
Les relations (1) et (2) entra\^{\i}nent que $\forall\,x\in \R^2,\,\, Q_1(x)\leq \beta_1(x_1^2+x_2^2)\leq \dis{\beta_1\over \alpha_2}\,Q_2(x)$.

\smallskip
On voit  qu'en posant $c=\dis{\beta_1\over\alpha_2}$, l'in\'{e}galit\'{e} propos\'{e}e est v\'{e}rifi\'{e}e.

\medskip
2. Pour tout $t\geq 0,\,\,f(t)=q_{\frac{1}{2}}\big(z(t)\big)=q_{\frac{1}{2}}\big(z_1(t),z_2(t)\big)=z_1^2(t)-z_1(t)z_2(t)+z_2^2(t)$. En d\'{e}rivant par rapport \`{a} $t$, on a:
\smallskip
$f^\prime(t)=\big(2z_1(t)-z_2(t)\big)z^\prime_1(t)+\big(2z_2(t)-z_1(t)\big)z^\prime_2(t)$. D'apr\`{e}s la d\'{e}finition de $z^\prime_1(t)$ et $z^\prime_2(t)$, on obtient:

$$\forall\,t\geq 0,\,\,f^\prime(t)=-z_1(t)\big(2z_1(t)-z_2(t)\big)^2-z_2(t)\big(2z_2(t)-z_1(t)\big)^2$$

\medskip
a) Pour tout $t\geq 0,\,\,z_1(t)\geq a\,\,\,\hbox{et}\,\,\,z_2(t)\geq a\Longrightarrow f^\prime(t)\leq -a\big(2z_1(t)-z_2(t)\big)^2-a\big(2z_2(t)-z_1(t)\big)^2$,

\smallskip
soit encore : $\forall\,t\geq 0,\,\,f^\prime(t)\leq -a\big(5z_1^2(t)-8z_1(t)z_2(t)+5z_2^2(t)\big)=-5\,a\,q_{\frac{4}{5}}\big(z(t)\big)$

\medskip
b) Puisque $\left|\dis{4\over 5}\right|<1$ et $\left|\dis{1\over 2}\right|<1$, les formes quadratiques $q_{\frac{4}{5}}$ et $q_{\frac{1}{2}}$ sont d\'{e}finies positives.
\smallskip

Par suite, il existe un r\'{e}el $c>0$ tel que $q_{\frac{4}{5}}\big(z(t)\big)\geq c\, q_{\frac{1}{2}}\big(z(t)\big)$, ce qui conduit \`{a}:
\smallskip
$\forall\,t\geq 0,\,\,f^\prime(t)\leq -5\,acf(t)$, soit en posant $\theta=5\,ac>0$, $\forall\,t\geq 0,\,\,f^\prime(t)\leq-\theta f(t)$.

\medskip
c) L'\'{e}tude de la fonction $\varphi$ donne: $\forall\,t\geq 0,\,\,\varphi^\prime(t)=\e^{\theta \,t}\big(f^\prime(t)+\theta f(t)\big)\leq 0$ d'apr\`{e}s ce qui pr\'{e}c\`{e}de.

\smallskip
Donc, $\varphi$ est d\'{e}croissante sur ${\R}_+$ %et de plus, on a $\varphi(0)=f(0)>0\Longrightarrow
et on a : $\forall\,t\geq 0,\,\,\varphi(t)\leq \varphi(0)=f(0)$.
\smallskip
En d\'{e}finitive, $\forall\,t\geq 0,\,\,\varphi(t)\leq f(0)\Longleftrightarrow \forall\,t\geq 0,\,\,f(t)\,\e^{\theta\,t}\leq f(0)\Longleftrightarrow \forall\,t\geq 0,\,\,f(t)\leq f(0)\,\e^{-\theta\,t}$.

\medskip
d) On a $\forall\,t\geq 0,\,\,f(t)=q_{\frac{1}{2}}\big(z(t)\big)>0$ puisque $q_{\frac{1}{2}}$ est d\'{e}finie positive.
%, d'o\`{u} $\forall\,t\geq 0,\,\,f^\prime(t)\leq-\theta f(t)<0$.
%\smallskip
%Par suite, la fonction $f$ est d\'{e}croissante et puisque $f\neq 0$, on a: $f(0)>0$.
% Hors-sujet

Ainsi : $0<f(t)\leq f(0)\,\e^{-\theta\,t}\Longrightarrow \dis\lim_{t\to\,+\infty}f(t)=0$ (par encadrement).

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 51. Alg\`{e}bre

Soient deux entiers $n\geq 1$ et $k\geq 2$. Soit $E$ un ${\R}$-espace vectoriel de dimension finie $n$.

\smallskip
Le rang d'un endomorphisme $f$ de $E$ est not\'e $\hbox{rg}(f)$ et $\hbox{id}_E$ d\'esigne l'endomorphisme identit\'{e} de $E$.

On note $0_{{\cal L}(E)}$ l'endomorphisme nul de $E$.

\medskip

1. Soit $F_1,F_2,\ldots,F_k$ des sous-espaces vectoriels de $E$ v\'{e}rifiant $E=F_1\oplus F_2\oplus\cdots\oplus F_k$.
\smallskip
Pour chaque $i\in\[1,k\]$, on note $p_i$ le projecteur de $E$ sur $F_i$ parall\`{e}lement au sous-espace $G_i=\dis\bigoplus_{\scriptstyle j=1\atop \scriptstyle j\neq i}^{k}F_j$.

a) Montrer que $\dis\sum_{i=1}^k\hbox{rg}(p_i)=n$.
\smallskip

b) Montrer que  $\dis\sum_{i=1}^k p_i=\hbox{id}_E$.

\smallskip
c) Montrer que pour tout couple $(i,j)\in \[1,k\]^2$ v\'{e}rifiant $i\neq j$, on a: $p_j\circ p_i=0_{{\cal L}(E)}\,\cdot$

\bigskip
2. Dans cette question, soit $q_1,q_2,\ldots,q_k$ des endomorphismes de $E$ tous non nuls et tels que:

$$q_1+q_2+\cdots+q_k=\hbox{id}_E\qquad \hbox{et}\qquad \hbox{rg}(q_1)+\hbox{rg}(q_2)+\cdots+\hbox{rg}(q_k)\leq n\,.$$

\medskip
a) Montrer que $E=\hbox{Im}(q_1)\oplus \hbox{Im}(q_2)\oplus \cdots \oplus \hbox{Im}(q_k)$.

\medskip
b) Montrer que pour tout $i\in\[1,k\]$, l'endomorphisme $q_i$ est un projecteur de $E$ et que pour tout
\smallskip

couple $(i,j)\in \[1,k\]^2$ v\'{e}rifiant $i\neq j$, on a: $q_i\circ q_j=0_{{\cal L}(E)}\,\cdot$


c) Montrer que pour tout $i\in\[1,k\]$, $q_i$ est le projecteur sur $\hbox{Im}(q_i)$ parall\`{e}lement \`{a} $K_i=\dis\bigoplus_{\scriptstyle j=1\atop \scriptstyle j\neq i}^{k}\hbox{Im}(q_j)$.

%

\end{exo}

\begin{sol}


1.a) Pour tout $i\in\[1,k\]$, $\hbox{Im}(p_i)=F_i$, donc $\hbox{rg}(p_i)=\hbox{dim}\,F_i$. Par suite, $\dis\sum_{i=1}^k\hbox{rg}(p_i)=\dis\sum_{i=1}^k\hbox{dim}\,F_i=\hbox{dim}\,E$.

\smallskip

b) Soit $x\in E$. Notons $(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ l'unique $k$-uplet appartenant \`{a} $F_1\times F_2\times \cdots \times F_k$ tel que $x=\dis\sum_{j=1}^k x_j$.

Pour tout $i\in\[1,k\]$, $x=x_i+\dis\sum_{\scriptstyle j=1\atop \scriptstyle j\neq i}^{k}x_j$. De plus, $x_i\in F_i$ et $\dis\sum_{\scriptstyle j=1\atop \scriptstyle j\neq i}^{k}x_j\in G_i$, donc $x_i=p_i(x)$.


Il s'ensuit que pour tout $x\in E$, on a $\dis\sum_{i=1}^kp_i(x)=x$, c'est-\`{a}-dire que $\dis\sum_{i=1}^kp_i=\hbox{id}_E$.
\smallskip

c) Soit un couple $(i,j)\in \[1,k\]^2$ v\'{e}rifiant $i\neq j$. Comme $\hbox{Im}(p_i)=F_i\subset G_j=\hbox{Ker}(p_j)$, on a $p_j\circ p_i=0_{{\cal L}(E)}\,\cdot$

\medskip
2.a) $E=\hbox{Im}(q_1+q_2+\cdots+q_k)\subset \hbox{Im}(q_1)+\hbox{Im}(q_2)+\cdots+\hbox{Im}(q_k)\subset E \Longrightarrow E=\hbox{Im}(q_1)+\hbox{Im}(q_2)+ \cdots + \hbox{Im}(q_k)$.

\smallskip
D'autre part, $\hbox{dim(Im}\,q_1)+\hbox{dim(Im}\,q_2)+\cdots +\hbox{dim(Im}\,q_k)\geq \hbox{dim} \big(\hbox{Im}(q_1)+\hbox{Im}(q_2)+\cdots+\hbox{Im}(q_k)\big)=\hbox{dim}\,E=n$.
\smallskip

Donc, $\hbox{dim(Im}\,q_1)+\hbox{dim(Im}\,q_2)+\cdots +\hbox{dim(Im}\,q_k)=n$ et la somme $\hbox{Im}(q_1)+\hbox{Im}(q_2)+\cdots+\hbox{Im}(q_k)$ est directe.

\medskip
b) Soit $j\in\[1,k\]$. Pour tout $x\in E$, on a $q_1\circ q_j(x)+q_2\circ q_j(x)+\cdots+ q_k\circ q_j(x)=q_j(x)$, relation que l'on peut
\'{e}galement \'{e}crire: $\dis\sum_{\scriptstyle i=1\atop \scriptstyle i\neq j}^{k}q_i\circ q_j(x)+\big(q_j^2(x)-q_j(x)\big)=0_E$.

\smallskip
Or,  pour tout $i\in\[1,k\]\backslash \{j\}$, $q_i\circ q_j(x)\in \hbox{Im}\,(q_i)$ et  $\big(q_j^2(x)-q_j(x)\big)\in \hbox{Im}\,(q_j)$. La somme $\hbox{Im}(q_1)+\hbox{Im}(q_2)+\cdots+\hbox{Im}(q_k)$
\'{e}tant directe, on en d\'{e}duit d'une part que pour tout $i\in\[1,k\]\backslash \{j\}$ et $\forall\,x\in E$, on a $q_i\circ q_j(x)=0_E$ et d'autre part
que, pour tout $x\in E$, on a $q_j^2(x)-q_j(x)=0_E$.

\medskip
c) Soit $i\in\[1,k\]$. Comme $q_i$ est un projecteur, il projette sur $\hbox{Im}(q_i)$ parall\`{e}lement \`{a} $\hbox{Ker}(q_i)$. Il faut donc juste prouver que $\hbox{Ker}(q_i)=K_i$.

\smallskip
On a, pour tout $j\in\[1,k\]\backslash \{i\},\,\,\, \hbox{Im}(q_j)\subset \hbox{Ker}(q_i)$ (car $q_i\circ q_j=0$). Donc : $K_i\subset \hbox{Ker}(q_i)$.

Or, d'apr\`{e}s la d\'efinition de $K_i$, puis 2. b, puis le th\'eor\`{e}me du rang, on a :
$$\hbox{dim} K_i=\dis \sum_{\scriptstyle j=1\atop \scriptstyle j\neq i} \hbox{rg}(q_j)=n-\hbox{rg}(q_i)=\hbox{dim}(\hbox{ker}(q_i)).$$

Comme $K_i\subset \hbox{Ker}(q_i)$ et $\hbox{dim} K_i=\hbox{dim}(\hbox{ker}(q_i))$, on a bien $\hbox{Ker}(q_i)=K_i$.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 33. Alg\`{e}bre

Soit  $ E $  un espace vectoriel de dimension  $ n $, o\`{u} $ n \geq 2$. On note  $ {\cal L} \left( E \right)  $  l'espace vectoriel des endomorphismes de  $ E $.\par

\medskip

1.  Soit  $ u $  un endomorphisme de  $ E $. Le but de cette question est de montrer qu'il existe un endomorphisme  $ w $  de  $ E $  tel que  $ u=u\circ w\circ u $. On note  $ r $  le rang de  $ u $ .

a) Traiter les cas  $ r=0 $  et  $ r=n $ .
\smallskip

b)  On suppose maintenant que  $ r \in  \left\[ 1,n-1  \right\]  $ .
\par

i) Montrer qu'il existe une base  ${\cal B}= \left( e_{1}, \ldots ,e_{n} \right)  $  de  $ E $  telle que la famille  $  \left( u \left( e_{1} \right) , \ldots ,u \left( e_{r} \right)  \right)  $  soit libre et telle que, pour tout entier  $ i \in  \left\[ r+1,n  \right\]  $ ,  $ u \left( e_{i} \right) =0 $ .
\par

ii) En d\'{e}duire l'existence de  $ w $.
\medskip

Pour tout endomorphisme  $ f $  de  $ E $ , on note  $  \Phi _{f} $  l'endomorphisme de  $ {\cal L} \left( E \right)  $  d\'{e}fini par :

 $$  \forall g \in{\cal L} \left( E \right) , \Phi _{f} \left( g \right) =f\circ g-g\circ f $$

On suppose que  $ f $  est nilpotent, c'est-\`{a}-dire qu'il existe un entier  $ p \in \N^{\ast} $  tel que  $ f^{p}=0 $.

\medskip

2. a)  Montrer  par r\'{e}currence sur   $ m \in \N^{\ast} $  que pour tout endomorphisme  $ g $  de  $ E $, on a:

 $$  \left(  \Phi _{f} \right) ^{m} \left( g \right) = \sum _{k=0}^{m} \left( -1 \right) ^{k} {m\choose k} f^{m-k}\circ g\circ f^{k} $$

b) Montrer que  $  \Phi _{f} $  est nilpotent.

\medskip


3.  Montrer que  $ f^{p-1} \in \hbox{Im} \left(  \left(  \Phi _{f} \right) ^{2p-2} \right)  $ .
\medskip

4.  Pr\'{e}ciser l'indice de nilpotence de  $  \Phi _{f} $ , c'est-\`{a}-dire le plus petit entier  $ q $  tel que  $  \left(  \Phi _{f} \right) ^{q}=0 $ .


%

\end{exo}

\begin{sol}




1. a) Si  $ r=0 $ , alors  $ u=0 $  et donc tout endomorphisme  $ w $  convient. Si  $ r=n $ , alors  $ u $  est bijectif et  $ w=u^{-1} $  convient.

\smallskip

b)  On suppose maintenant que  $ r \in  \left\[ 1,n-1  \right\]  $ .\par

i) Par le th\'{e}or\`{e}me du rang,  $ \hbox{dim} \left( \Ker u \right) =n-r>0 $. On consid\`{e}re  $  \left( e_{r+1}, \ldots ,e_{n} \right)  $  une base de  $ \Ker u $. Le th\'{e}or\`{e}me de la base incompl\`{e}te assure qu'il existe  $ r $  vecteurs  $ e_{1}, \ldots ,e_{r} $  tels que la famille  ${\cal B}= \left( e_{1}, \ldots ,e_{n} \right)  $  est une base de  $ E $. Puisque, pour tout  $ i \in  \left\[ r+1,n  \right\]  $ ,  $ e_{i} \in \Ker u $ , alors  $ u \left( e_{i} \right) =0 $. Par ailleurs, consid\'{e}rons  $ r $  r\'{e}els  $ a_{1}, \ldots ,a_{r} $  tels que  $ a_{1}u \left( e_{1} \right) + \ldots +a_{r}u \left( e_{r} \right) =0 $. Alors  $ a_{1}e_{1}+ \ldots +a_{r}e_{r} \in \Ker u $. Or,  $ \Vect \left( e_{1}, \ldots ,e_{r} \right)  $  et  $ \Ker u $  sont en somme directe, donc  $ a_{1}e_{1}+ \ldots +a_{r}e_{r}=0 $ , d'o\`{u}  $ a_{1}= \ldots =a_{r}=0 $  : la famille est libre.\par

ii) On remarque que la restriction de  $ u $  \`{a}  $ \Vect \left( e_{1}, \ldots ,e_{r} \right)  $  est un isomorphisme de  $ \Vect \left( e_{1}, \ldots ,e_{r} \right)  $  sur  $ \Vect \left( u \left( e_{1} \right) , \ldots ,u \left( e_{r} \right)  \right)  $  (la surjectivit\'{e} est \'{e}vidente et l'\'{e}galit\'{e} des dimensions aussi). Notons  $ u $  cette restriction et consid\'{e}rons  $ N $  un suppl\'{e}mentaire de  $ \Vect \left( u \left( e_{1} \right) , \ldots ,u \left( e_{r} \right)  \right)  $  dans  $ E $. On d\'{e}finit alors l'endomorphisme  $ w $  de  $ E $  de la fa\c{c}on suivante :  $ w $  est nul sur  $ N $  et  $ w $  co\"{\i}ncide avec  $  \left( u \right) ^{-1} $  sur  $ \Vect \left( u \left( e_{1} \right) , \ldots ,u \left( e_{r} \right)  \right)  $ , de sorte que  $ w \left( u \left( e_{i} \right)  \right) =e_{i} $  si  $ i \in  \left\[ 1,r  \right\]  $. On a alors :  $  \forall i \in  \left\[ r+1,n  \right\]  $ ,  $  \left( u\circ w\circ u \right)  \left( e_{i} \right) =0=u \left( e_{i} \right)  $  et :  $  \forall i \in  \left\[ 1,r  \right\]  $ ,  $  \left( u\circ w\circ u \right)  \left( e_{i} \right) =u \left( e_{i} \right)  $ , donc  $ u\circ w\circ u=u $.

\smallskip


2. a) L'\'{e}galit\'{e} est vraie pour  $ m=1 $  : il s'agit de la d\'{e}finition de  $  \Phi _{f} $. Soit  $ m $  tel que l'\'{e}galit\'{e} soit vraie au rang  $ m $. On a alors, pour tout endomorphisme  $ g $  de  $ E $  : \par

$$\eqalign{
 \left(  \Phi _{f} \right) ^{m+1} \left( g \right) &= \Phi _{f} \left(  \left(  \Phi _{f} \right) ^{m} \left( g \right)  \right) =f\circ \left(  \Phi _{f} \right) ^{m} \left( g \right) - \left(  \Phi _{f} \right) ^{m} \left( g \right) \circ f\cr
 &= \sum _{k=0}^{m} \left( -1 \right) ^{k} {m\choose k} f^{m-k+1}\circ g\circ f^{k}- \sum _{k=0}^{m} \left( -1 \right) ^{k} {m\choose k} f^{m-k}\circ g\circ f^{k+1}\cr
&=f^{m+1}\circ g+ \sum _{k=1}^{m} \left( -1 \right) ^{k} \left[{m\choose k} + {m\choose k-1} \right]  f^{m-k+1}\circ g\circ f^{k}+g\circ f^{m+1}\cr
&= \sum _{k=0}^{m+1} \left( -1 \right) ^{k} {m+1\choose k} f^{m+1-k}\circ g\circ f^{k}
}$$

b)   Pour tout $g \in{\cal L} \left( E \right)$ ,  $\left(  \Phi _{f} \right) ^{2p-1} \left( g \right) = \dis\sum _{k=0}^{2p-1} \left( -1 \right) ^{k} {2p-1\choose k} f^{2p-1-k}\circ g\circ f^{k}$.

Or,  $ f^{2p-1-k}=0 $  si  $ k \leq p-1 $  et  $ f^{k}=0 $  si  $ k \geq p $ , donc  $  \left(  \Phi _{f} \right) ^{2p-1} \left( g \right) =0 $. Ceci est vrai pour tout  $ g \in{\cal L} \left( E \right)  $  donc  $  \left(  \Phi _{f} \right) ^{2p-1}=0 $. Ainsi,  $  \Phi _{f} $  est nilpotent.

\medskip

3.  Soit  $ w $  un endomorphisme tel que  $ f^{p-1}\circ w\circ f^{p-1}=f^{p-1} $. On a :

   $$\left(  \Phi _{f} \right) ^{2p-2} \left( w \right) = \sum _{k=0}^{2p-2} \left( -1 \right) ^{k} {2p-2\choose k} f^{2p-2-k}\circ w\circ f^{k} $$

Or,  $ f^{2p-2-k}=0 $  si  $ k \leq p-2 $  et  $ f^{k}=0 $  si  $ k \geq p $,  donc il ne reste que le terme correspondant \`{a}  $ k=p-1 $  :


 $$  \left(  \Phi _{f} \right) ^{2p-2} \left( w \right) = \left( -1 \right) ^{p-1} {2p-2\choose p-1} f^{p-1}\circ w\circ f^{p-1}= \left( -1 \right) ^{p-1} {2p-2\choose p-1} f^{p-1} $$



 On en d\'{e}duit que:
 $$f^{p-1}= \left(  \Phi _{f} \right) ^{2p-2} \left( \frac{ \left( -1 \right) ^{p-1}}{ \dis{2p-2\choose p-1} }w \right)  \Rightarrow f^{p-1} \in \Im \left(  \left(  \Phi _{f} \right) ^{2p-2} \right)
$$

\medskip

4. Si l'on prend pour $p$ l'indice de nilpotence de $f$, on a vu \`{a} la question 2.b) que  $  \left(  \Phi _{f} \right) ^{2p-1}=0 $. Or,  $ f^{p-1} \neq 0 $  donc d'apr\`{e}s la question 3,  $  \left(  \Phi _{f} \right) ^{2p-2} \neq 0 $  et donc l'indice de nilpotence de  $  \Phi _{f} $  est \'{e}gal \`{a}  $ 2p-1 $ .

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 12. Alg\`{e}bre


Soit $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2. On note ${\cal S}_n$ l'ensemble des matrices sym\'{e}triques d'ordre $n$ \`{a} coefficients r\'{e}els. On consid\`{e}re l'espace vectoriel  $E={\cal M}_{n,1}(\R)$ muni de son produit scalaire canonique not\'{e} $\langle\,,\rangle$ tel que pour tout $(X,Y)\in E^2$, on a $\langle X ,Y\rangle=^{\,\,t}\!\!XY$. Pour toute matrice $A\in{\cal S}_n$, on pose:
$$\forall \,X\in E,\,\,q_A(X)=\transp XAX$$

\smallskip
L'ensemble ${\cal S}_n^+$ d\'esigne l'ensemble des matrices $A$ de ${\cal S}_n$ telles que $q_A(X) \geq 0$ pour tout $X$ de $E$.
On pose:
$$C(q_A)=\{X\in E,\;\; q_A(X)=0\}.$$


\medskip

1. Calculer le gradient de $q_A$, not\'e $\nabla q_A(X)$, en tout point $X$ de $E$.
\medskip

2. Dans cette question, on suppose que $A\in {\cal S}_n^+$.

\smallskip
a)  Montrer que  $q_A$ pr\'esente un minimum global sur $E$ en tout $X\in C(q_A)$.
\medskip

b)  En d\'eduire que $C(q_A)=\ker A$.
\medskip

3. On suppose qu'il existe $U\in E$ et $V\in E$  tels que $q_A(U)>0$ et $q_A(V)<0$.
\medskip

a) Montrer que $(U,V)$ est une famille libre de $E$ et qu'il existe deux r\'eels $\lambda_1$ et $\lambda_2$  distincts v\'erifiant:
$$q_A(U+\lambda_1 V)=q_A(U+ \lambda_2 V)=0 $$
b) Dans ce cas, $C(q_A)$ est-il un sous-espace vectoriel de $E$ ?
\medskip

4. Donner une condition n\'{e}cessaire et suffisante sur $A\in{\cal S}_n$ pour que $C(q_A)$ soit un  sous-espace vectoriel de $E$.

\end{exo}

\begin{sol}

Afin de simplifier les notations, on pose: $q_A=q$.

\smallskip

 1. Pour tout $H$ de $E$, on a:
 $$q(X+H)-q(X)=2\transp XAH+\transp HAH=<2AX,H>+q(H)$$

  Or, par l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy Schwarz, $|q(H)| \leq C||H||^2= o(||H||)$.  On reconna\^{\i}t le d\'eveloppement limit\'e \`a l'ordre 1; on en d\'eduit  par unicit\'e du d\'eveloppement limit\'e d'ordre 1 que
$$\nabla q(X)=2 AX$$



\medskip

2. a) Si $A$ est une matrice de ${\cal S}_n^+$, alors pour tout $X\in C(q)$, $q(X)=0$ et pour tout $Y\in E$,
$q(Y)\geq 0=q(X)$, donc $q$ pr\'esente un minimum global sur $E$ en tout $X\in C(q)$.
\medskip

b)  On en d\'eduit que $q$ \'etant $C^1$ sur $\R^n$, le gradient de $q$ en $X$ est nul, donc:
$$2AX=0.$$
Par cons\'equent, si $X\in C(q)$, alors $X\in \ker A$.
La r\'eciproque est imm\'ediate donc $C(q)=\ker A$.
\medskip

3. On suppose qu'il existe $U$ et $V$ de $E$ tels que $q(U)>0$ et $q(V)<0$.
\medskip

a)  Si $(U,V)$ est une famille li\'ee, alors les deux vecteurs sont colin\'eaires et $q(U)$ et $q(V)$ sont de m\^eme signe. Par cons\'equent, $(U,V)$ est une famille libre.

On a pour tout r\'eel $\lambda$ :
$$q(U+\lambda V)=q(U)+2\lambda \transp UAV +\lambda^2 q(V).$$

C'est un polyn\^ome de degr\'e 2; en notant $\Delta$ le discriminant, on a:
$$\Delta=4(\transp UAV)^2-4q(U)q(V).$$

 Le produit $q(U)q(V)$ est  n\'egatif et donc le discriminant est positif. De plus $q(U)q(V)$ est non nul donc $\Delta>0$. Par cons\'equent il existe  deux racines distinctes $\lambda_1$ et $\lambda_2$ telles que
$q(U+\lambda_1 V)=q(U+ \lambda_2 V)=0 $.

\medskip

b) Dans ce cas, $C(q)$ n'est pas un  sous-espace vectoriel de $E$.
En effet
$$(U+\lambda_1 V)-(U+ \lambda_2 V)=(\lambda_1-\lambda_2)V\notin C(q)$$

 \medskip

4. Le c\^{o}ne  $C(q)$ est  un  sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $A$ est une matrice positive ou n\'egative.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 36. Alg\`{e}bre

On note $E= C^0(\R,\R)$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $\R$ \`{a} valeurs r\'{e}elles.
\smallskip

1. Montrer que pour tout $f\in E$ et tout $x$ r\'{e}el, l'int\'{e}grale $\dis \int_0^1 f(x+t)e^t dt$ existe.

On pose alors: $\forall \,x\in\R,\,\, g(x)= \dis \int_0^1 f(x+t) e^t dt$.

\smallskip


2.  Montrer que $g$ est de classe $C^1$ sur $\R$ et exprimer $g'$ en fonction de $g$ et $f$.
\smallskip


Soit $\Phi$ l'application d\'{e}finie sur $E$ par: $\forall\,f\in E,\,\, \Phi(f)=g$.

Soit un entier $n\geq 2$ et $F_n =\hbox{Vect}(f_0, f_1, \ldots, f_n)$, o\`{u} $\forall k \in \[0,n\], f_k : x \mapsto  e^{-kx}$.


3. a)  Montrer que  la dimension de $F_n$ est \'{e}gale \`{a} $n+1$.
\smallskip


b)  Montrer que la restriction de $\Phi$ \`{a} $F_n$ induit un endomorphisme de $F_n$ qu'on notera $\Phi_n$.

\smallskip

c)  L'endomorphisme $\Phi_n$ est-il bijectif ? Est-il diagonalisable ?

\medskip


4.  Soit $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\R$ par:
$$\forall \,x\in\R,\,\,h(x)=\cases{\dis \frac{1-e^{-x}}{x} & si $x\neq 0$\cr
1 &  si  $x=0$}$$


a)  Montrer que $h\in E$.
\smallskip

b)  \'Etudier les variations de $h$ sur $\R$.
\smallskip

c)  En d\'{e}duire la dimension de chaque sous-espace propre de $\Phi_n$.

%

\end{exo}

\begin{sol}

1.  Pour tout $x$ r\'{e}el, la fonction $t \to f(x+t)e^t$ est continue sur $[0,1]$. Ainsi, $g$ est bien d\'{e}finie sur $\R$.

\medskip

2.  Effectuons le changement de variable $u=x+t$. Il vient $\dis g(x)= e^{-x}\int_x^{x+1} f(u)e^u du$.

Par le th\'{e}or\`{e}me fondamental du calcul int\'{e}gral, $g$ est d\'{e}rivable et pour tout $x$ r\'{e}el, on a:
$$g'(x)= e^{-x}(f(x+1)e^{x+1}-f(x)e^x)-g(x)=ef(x+1)-f(x)-g(x)$$

\medskip

3. a)  La famille $(f_0, \ldots, f_n)$ est libre. Cela se montre par r\'{e}currence sur $n$. De mani\`{e}re informelle,

supposons $\dis \sum_{k=0}^n \alpha_k e^{-kx}=0$. Alors en faisant tendre $x$ vers $+\infty$, on obtient $\alpha_0=0$, puis en factorisant par $e^{-x}$, il vient $\alpha_1=0$ etc...
Ainsi $\dim(F_n)=n+1$.

\smallskip

b)  On a $\Phi_n(f_0)= (e-1) f_0$ et $\Phi_n(f_1)= f_1$.

Soit $k\in \[2,n\]$. Alors :

$$\Phi_n(f_k)=\int_0^1 e^{-k(x+t)}e^t dt= e^{-kx} \int_0^1 e^{(1-k)t} dt= \frac{1-e^{k-1}}{k-1} e^{-kx}=\frac{1-e^{k-1}}{k-1} f_k$$

Ceci montre la stabilit\'{e} de $F_n$ par $\Phi$.

\smallskip

c)  On vient de trouver les valeurs propres de $\Phi_n$.
Ce sont les  r\'{e}els $e-1, 1, \ldots, \dis\frac{1-e^{k-1}}{k-1}, \ldots, \dis\frac{1-e^{n-1}}{n-1}$, les vecteurs propres associ\'{e}s \'{e}tant les fonctions $f_k$.

  Aucune valeur propre n'est nulle ; l'endomorphisme $\Phi_n$ est bijectif. Il est diagonalisable puisqu'on a obtenu une base de vecteurs propres.

\medskip

4. a) La fonction $h$ est continue en $0$ en effectuant un d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} l'ordre $1$ de la fonction exponentielle.
\smallskip

b)  Une \'{e}tude rapide des variations de $h$ donne:
    $$h'(x)= \frac{xe^{-x}-1+e^{-x}}{x^2}= \frac{N(x)}{D(x)}, \hbox{ avec } N'(x)= -xe^{-x}$$

    Ceci montre que $N$ est croissante sur $\R^-$ puis d\'{e}croissante sur $\R^{+}$ et comme $N(0)= 0$, ceci montre que $h'(x) <0$ sur $\R^*$, donc que $h$ est d\'{e}croissante sur $\R$.

    La fonction $h$ est donc bijective, ce qui entra\^{\i}ne que les valeurs propres de $\Phi_n$ sont deux \`{a} deux distinctes car ce sont les images des r\'{e}els $-1,0,1,\ldots,n-1$ par la fonction bijective $h$.

\smallskip
c) Chaque sous-espace propre est de dimension $1$.

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 15. Alg\`{e}bre


Soit $(a,b,c) \in \R^3$ tel que $\, s = a^2+b^2+c^2 \neq 0 \,$. Soit
$\, f \in {\cal L}(\R^3) \,$ de matrice $A$ dans la base canonique de l'espace euclidien $\R^3$
telle que :
$$ A = \pmatrix{0&-b&a \cr b&0&-c \cr -a&c&0}. $$
\smallskip

1.    D\'{e}terminer $\ker(f)$ et montrer que $\, \im(f) = (\ker f)^{\perp} \,$.
\medskip

2. a)   V\'{e}rifier que $\, P(X) = X^3+s\,X \,$ est un polyn\^{o}me annulateur de~$A$.
\smallskip

b) La matrice   $A$ est-elle diagonalisable sur~$\R$?
\medskip

3.  On note $I_3$ la matrice identit\'{e} de ${\cal M}_3(\R)$. Soit $g \in {\cal L}(\R^3)$ de matrice $\, C = A^2+s\,I_3 \,$ dans la base
canonique de $\R^3$.

a)   D\'{e}terminer $\ker(g)$ et $\im(g)$.
\smallskip

b)   Dans cette question uniquement, on suppose $\, s=1 \,$. Quelle est la nature de l'endomorphisme~$g$?
\smallskip

c)   \`A quelle condition (n\'{e}cessaire et suffisante) sur $\lambda \in \R$, la matrice
$B = A + \lambda\,I_3 $ est-elle inversible?

Dans ce cas,  expliciter $B^{-1}$, matrice inverse de $B$, comme un polyn\^{o}me en~$A$.

%

\end{exo}

\begin{sol}

1. D\'{e}terminons le noyau de $f$. Comme $(a,b,c) \neq 0$, on a:
$$ A\,Z = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ az &= by \cr bx &= cz \cr cy &= ax }\right. \Leftrightarrow
   Z \in D = \Vect (U)  \ \hbox{o\`{u}}\    U = \pmatrix{c \cr a \cr b} $$
\smallskip

Les cas particuliers o\`{u} un ou deux des nombres $a,b,c$ sont nuls sont inclus dans le cas g\'{e}n\'{e}ral que nous venons de traiter.
\medskip

Pour l'image de $f$,  par le th\'{e}or\`{e}me du rang, $\, \dim (\im f) = 2\,$; les trois colonnes
de~$A$ v\'{e}rifient l'\'{e}quation de plan
$$ {}^t\!U\,Z = cx+ay+bz = 0 $$
donc $\, \im(f) = D^{\perp} \,$.

\medskip

2. a) On a:
$$ C = A^2 + s\,I_3 = \pmatrix{-b^2-a^2& ac & bc \cr ac & -c^2-b^2 & ab \cr
      bc & ab & -a^2-c^2} + s\,I_3 = \pmatrix{c^2&ac&bc \cr ac&a^2&ab \cr bc&ab&b^2}
   = U\,{}^t\!U $$
d'o\`{u} $\, A^3 + s\,A = A\,U\,{}^t\!U = 0 \,$.

\smallskip

b) On sait que les valeurs propres d'une matrice sont parmi les racines de tout polyn\^{o}me annulateur, d'o\`{u}  $\, \Sp_{\R}(A) \subseteq \hbox{Rac}_{\R}(P) = \{ 0 \} \,$; donc $A \neq 0$ ne peut \^{e}tre diagonalisable su $\R$.
\medskip

3. a) Commen\c{c}ons par le noyau de $g$. On a:
$$ CZ = 0 \Leftrightarrow U\,{}^t\!U\,Z = 0 \Leftrightarrow Z \in D^{\perp} = \ker(g) $$

Passons \`{a} l'image de $g$.   Par le th\'{e}or\`{e}me du rang, $\, \dim (\im g) = 1\,$; les trois colonnes
de $\, C = U\,{}^t\!U \,$ sont colin\'{e}aires \`{a}~$U$, donc $\, \im(g) =  D \,$.

\smallskip
b)   On a $\, s=1 \Rightarrow {}^t\!U\,U = 1 \Rightarrow CU = U \,$, donc $g$ est la projection
orthogonale sur~$D$.

\medskip

c) La matrice  $\, B = A + \lambda\,I_3 \,$ est inversible si et seulement si $\, -\lambda \notin \Sp_{\R}(A) \Leftrightarrow   \lambda \neq 0 \,$. Alors:
$$\eqalign{
   0 = &A\,(A^2 + s\,I_3) = B\,(A^2 + s\,I_3) - \lambda \,\Bigl[ B^2 - 2\,\lambda \,B +
      (\lambda ^2+s)\,I_3 \Bigr]  \cr
   &\Leftrightarrow B\,\Bigl[ A^2 + s\,I_3 -\lambda \,B + 2\lambda ^2\,I_3 \Bigr] = \lambda \,(\lambda ^2+s)\,I_3  \cr
   &\Leftrightarrow B^{-1} = \frac{A^2 - \lambda \,A + (\lambda ^2+s)\,I_3}{\lambda \,(\lambda ^2+s)}
} $$

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 42. Alg\`{e}bre


Soit $n \in \N^*$ un entier fix\'{e}.
\medskip

1. a)   D\'{e}terminer un polyn\^{o}me annulateur (non nul) d'une matrice scalaire
$  M = \lambda \,I_n  $, o\`{u} $\lambda  \in \C$ et $I_n$ d\'{e}signe la matrice identit\'{e}
de~${\cal M}_n(\C)$.
\smallskip


b)   Soit $D \in {\cal M}_n(\C)$ une matrice diagonale.
D\'{e}terminer un polyn\^{o}me annulateur (non nul) de~$D$.

\medskip

2.  Soit $P \in \C[X]$ un polyn\^{o}me (non constant) \`{a} coefficients complexes.
D\'{e}terminer une matrice $M \in {\cal M}_n(\C)$ telle que $P$ soit un polyn\^{o}me
annulateur de~$M$.
\medskip

Dans la suite, on consid\`{e}re le polyn\^{o}me $Q(X) = X^2+1$ et on note $Id$ l'endomorphisme identit\'{e} de $\C^n$.
\medskip
3.  Soit $M \in {\cal M}_n(\R)$ telle que $Q(M) = 0 $.
Soit $f$ l'endomorphisme de $\C^n$ canoniquement associ\'{e} \`{a} $M$.

\par
a)   Montrer que:
$$ \C^n = \ker(f - i\,Id) \oplus \ker (f + i\,Id) $$


o\`{u} $i$ d\'{e}signe le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dis{\pi\over 2}$.



b)   Que peut-on en d\'{e}duire concernant la matrice~$M$ ?
\smallskip

c) On note $\overline{z}$ le conjugu\'{e} d'un nombre complexe $z$.
\smallskip

Montrer que si $ Z = \dis\pmatrix{z_1\cr \vdots\cr z_n}$ est un vecteur propre
complexe de~$M$ associ\'{e} \`{a} la valeur propre~$i$, alors

$\overline{Z} = \pmatrix{\overline{z_1}\cr \vdots\cr \overline{z_n}} $ est un vecteur propre
complexe de~$M$ associ\'{e} \`{a} la valeur propre~$-i$.
\smallskip

d)  En d\'{e}duire que $n$ est n\'{e}cessairement pair.
\medskip


4. a)   D\'{e}terminer une matrice $M \in {\cal M}_2(\R)$ telle que $ Q(M) = 0 $.
\smallskip

b)   En d\'{e}duire, lorsque $n$ est un entier pair, une matrice $M \in {\cal M}_n(\R)$
telle que $ Q(M) = 0$.

%
\end{exo}

\begin{sol}



1. a) Le polyn\^{o}me $P(X) = X-\lambda $ r\'{e}pond \`{a} la question.

\smallskip

b)   Si l'on note  $ D = \hbox{diag}\bigl( \lambda _1, \dots, \lambda _n \bigr) $, alors le polyn\^{o}me
$\dis P(X) = \prod_{i=1}^{n} (X-\lambda _i)$ convient.

\medskip

2. Le polyn\^{o}me $P$ \'{e}tant \`{a} coefficients complexes, il admet au moins  une racine $\lambda $ et $ M= \lambda \,Id   $ convient.

\medskip

3. a)   Pour tout $u \in \C^n$, on a
$\dis  u = \frac{1}{2i}\,\Bigl[ \bigl( i\,Id + f \bigr)(u) + \bigl( i\,Id -
  f \bigr)(u) \Bigr] \in \ker(f - i\,Id) + \ker (f + i\,Id) $,
et les sous-espaces vectoriels  propres sont en somme directe.

$$ \C^n = \ker(f - i\,Id) \oplus \ker (f + i\,Id) $$

\medskip
b)  On en d\'{e}duit que la matrice $M$ est  diagonalisable sur $\C$.
\smallskip

c) La matrice $M$ est r\'{e}elle ; il suffit de conjuguer les \'{e}l\'{e}ments de l'\'{e}quation $MZ=i Z$.

\smallskip

d) La matrice $M$ est diagonalisable sur $\C$. Toute base $(X_j)$ de vecteurs propres de $\ker(f-i Id)$  donnera par conjugaison, une base $(\overline{X_j})$ de vecteurs propres de $\ker(f+i Id)$. Ces deux sous-espaces sont de m\^{e}me dimension et suppl\'{e}mentaires. Donc $n$ est pair.

\medskip

4. a) Effectuons un petit calcul :
$$ M^2 + I = 0 \Leftrightarrow \pmatrix{a^2+bc& (a+d)\,b\cr  (a+d)\,c& bc+d^2} =
   - \pmatrix{1&0\cr  0&1}$$

   Ainsi, on peut prendre $J = \dis \pmatrix{0&-1\cr 1&0}$.

   \smallskip

b) Il reste \`{a} construire une matrice d'ordre pair form\'{e}e de blocs diagonaux de $J$, soit:

$$ M = \pmatrix{J& &0\cr &\ddots& \cr 0& &J}$$

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 27. Alg\`{e}bre


Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$, o\`{u} $n \in \N^*$ et $u$ un endomorphisme  de $E$.
\medskip


1.  On suppose que pour tout $ x \in E$, la famille $(x,u(x))$ est li\'{e}e. Montrer que si $u\neq 0$, alors $u$ est une homoth\'{e}tie, c'est-\`{a}-dire qu'il existe un r\'{e}el $\lambda\neq 0$ tel que $u=\lambda Id_E$.

\bigskip
On rappelle (ou on admet) que la trace de la matrice d'un endomorphisme $u$ est ind\'{e}pendante de la base dans laquelle l'endomorphisme est \'{e}crit. On la note $\tr(u)$.
\medskip

Dans toute la suite, $u$ d\'{e}signe un endomorphisme non nul de $E$, de trace nulle.
\medskip


2.  Montrer qu'il existe un vecteur $x_0$ tel que $(x_0,u(x_0))$ soit libre, puis un sous-espace  $F$ de $E$, suppl\'{e}mentaire de $\Vect(x_0)$ dans $E$ et contenant $u(x_0)$.

\bigskip

On note $p$ la projection de $E$ sur $F$ parall\`{e}lement \`{a} $\Vect(x_0)$.
\medskip

3. a)  Montrer que $F$ est stable par $p\circ u$ et que l'endomorphisme induit par $p\circ u$ sur $F$ est de trace nulle.
\smallskip

b)  En utilisant un raisonnement par r\'{e}currence, montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ a tous ses \'{e}l\'{e}ments diagonaux  nuls.
\smallskip

c)  En d\'{e}duire que toute matrice de trace nulle est semblable \`{a} une matrice dont tous les \'{e}l\'{e}ments diagonaux sont nuls.

\medskip

\end{exo}

\begin{sol}


1. Pour tout $x\in E$ non nul, il existe $\lambda_x\in \R$ tel que $u(x)=\lambda_x x$. Soit $(x,y)\in E^2$ quelconques non nuls. Suivant la libert\'{e} de la famille $(x,y)$ et en utilisant $z=x+y$, on montre que $\lambda_x=\lambda_y$. On termine en utilisant une base de $E$. On peut \'{e}galement traiter le cas o\`{u} $x$ et $y$ sont li\'{e}s.
\medskip

2.  Par l'absurde. Si, pour tout $x$ de $E$, $(x,u(x))$ est li\'{e}e, alors $u$ est une homoth\'{e}tie. Alors, il existe $\lambda$ tel que $u=\lambda Id$ et $\tr(u)=n\lambda$. Comme $\tr(u)=0$ alors $\lambda=0$ et $u$ est l'endomorphisme nul. Absurde.

La famille $(x_0,u(x_0))$ \'{e}tant libre, on peut la compl\'{e}ter en une base de $E$. Donc il existe des vecteurs $x_3,\ldots,x_n$ de $E$ tels que ${\cal B}=(x_0,u(x_0),x_3,\ldots ,x_n)$ est une base de $E$. Enfin $F=\Vect(u(x_0),x_3,\ldots,x_n)$ v\'{e}rifie ce qui est demand\'{e}.
\medskip

3. a)  Soit $y \in F$. On a $p\circ u(y) \in \im (p)$. Or $\im (p) \subset F$, donc $p\circ u(y) \in F$. Donc $F$ est stable par $p\circ u$.

Soit $M=M_{{\cal B}}(u)=\pmatrix{0&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}\cr 1&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}\cr \vdots &\vdots& \ddots&\vdots\cr 0&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}}$ et $N=M_{{\cal B}}(p \circ u)$. On a :

$p \circ u(x_0)=u(x_0)$, car $u(x_0) \in F$,
$p \circ u(u(x_0))\in F$. En proc\'{e}dant ainsi, il vient :

$N=\pmatrix{ 0& *&\cdots&*\cr 1&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}\cr \vdots &\vdots& \ddots&\vdots\cr 0&a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}}$ et  $M_{{\cal B}_F}(p\circ u)=\pmatrix{a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}\cr  \vdots & \ddots&\vdots\cr a_{n,2}&\cdots&a_{n,n}}$.

Or $\tr(u)=\tr(N)=0\Rightarrow\tr(p \circ u)=0$.
\smallskip


b) Pour $n=1$.  si $u$ est de trace nulle, $u$ est l'endomorphisme nul, donc sa matrice dans n'importe quelle base est nulle.

Soit $n\ge 1$. Supposons le r\'{e}sultat \'{e}tabli pour tout espace vectoriel  de dimension $n$. Soit $E$  un espace vectoriel de  dimension $n+1$ et $u$ un endomorphisme de trace nulle. On utilise la question pr\'{e}c\'{e}dente pour d\'{e}terminer $F$ et  une base de $F$ dans laquelle la matrice de $p\circ u$ a des coefficients diagonaux nuls. Notons ${\cal B}'$ cette base. La concat\'{e}nation de $x_0$ et de ${\cal B}'$ est une base not\'{e}e ${\cal B}$ de $E$ qui donne le r\'{e}sultat annonc\'{e}.

En effet si $y\in {\cal B}'$, alors $u(y)=\lambda_0x_0 +(p\circ u)(y)$.
\smallskip

c) Soit $A$ une matrice de trace nulle et $u$ l'endomorphisme canoniquement associ\'{e}. D'apr\`{e}s ce qui pr\'{e}c\`{e}de, il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ a ses coefficients diagonaux tous nuls, ce qui signifie exactement que $A$ est semblable \`{a} une matrice $A'$ \`{a} coefficients diagonaux tous nuls.
\medskip

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 45. Alg\`{e}bre


Dans cet exercice, $n$ est un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal $3$.
\medskip


Soit $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice carr\'{e}e d'ordre $n$ d\'{e}finie par:
$$\forall \,(i,j)\in\[1,n\]^2,\,\,a_{i,j}=\cases{ 1 & si $| i-j | =1$\cr 0 & sinon}$$

Pour tout \'{e}l\'{e}ment $X\in {\cal M}_{n,1}(\R)$, on pose $q(X)={}^t\!XA X$.

\medskip
1.  Soit $X=\pmatrix{x_1\cr \vdots \cr x_n }\in {\cal M}_{n,1}(\R)$. Montrer que $q(X)=\dis 2\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}$.

\medskip

2. a) \'{E}tablir  pour tout $X\in {\cal M}_{n,1}(\R)$, l'encadrement:  $-2{}^t\!XX \leq q(X) \leq 2{}^t\!XX$. Montrer  l'\'{e}quivalence suivante:
$$| q(X) | =2{}^tXX \Leftrightarrow X=0$$

\smallskip

b) Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$. Montrer que $-2<\lambda <2$.

\medskip
3.  Pour tout $\lambda \in ]-2,2[$, on pose $\lambda= 2\cos t$, avec $t\in ]0,\pi[$ et on note $E_{\lambda}$ l'ensemble des suites r\'{e}elles $(u_k)_{k \in \N}$, telles que :
$$\forall k\in \N, u_{k+2}=(2\cos t) u_{k+1}-u_k$$

\medskip
  Soit $F_\lambda$ le sous-espace vectoriel de $E_\lambda$ constitu\'{e} des \'{e}l\'{e}ments $(u_k)_{k \in \N}$ de $E_{\lambda}$ v\'{e}rifiant $u_0=u_{n+1}=0$.

D\'{e}terminer  $F_\lambda$.

\medskip
4. D\'{e}terminer les \'{e}l\'{e}ments propres de la matrice $A$.


%
\end{exo}

\begin{sol}


1. On a $A X=\dis \pmatrix{0+x_2 \cr  x_1+x_3 \cr  \vdots \cr x_{n-2}+x_n \cr x_{n-1}+0 }$. Donc:
 $$q(X)=x_1x_2+\sum_{i=2}^{n-1}x_i(x_{i-1}+x_{i+1})+x_{n-1}x_n=x_1x_2+\sum_{i=1}^{n-2}x_ix_{i+1} +\sum_{i=2}^{n-1}x_ix_{i+1}+x_{n-1}x_n=2\sum_{i=1}^{n-1}x_ix_{i+1}$$
\medskip
2. a) Pour tout $ i \in \[ 1,n-1 \]$, $-(x_i^2+x_{i+1}^2) \leq 2x_ix_{i+1} \leq x_i^2+x_{i+1}^2$. (*)

Donc:

 $$\eqalign{
 -\sum_{i=1}^{n-1}&(x_i^2+x_{i+1}^2) \leq \sum_{i=1}^{n-1}2x_ix_{i+1} \leq \sum_{i=1}^{n-1}(x_i^2+x_{i+1}^2)\cr
  &\Leftrightarrow  -\sum_{i=1}^{n-1} x_i^2 -\sum_{i=2}^{n}x_i^2 \leq q(X) \le \sum_{i=1}^{n-1} x_i^2+\sum_{i=2}^{n}x_i^2\cr
   &\Leftrightarrow -x_1^2-x_n^2-2\sum_{i=2}^{n-1}x_i^2 \leq q(X)\leq x_1^2+x_n^2+2\sum_{i=2}^{n-1}x_i^2\ \Leftrightarrow -2\sum_{i=1}^{n}x_i^2 \leq q(X)\le 2\sum_{i=1}^{n}x_i^2\cr
   &\Leftrightarrow -2{}^t\!XX \leq q(X)\leq 2{}^t\!XX
   }$$
\medskip

Ainsi, $| q(X) | =2{}^t\!XX$ si et seulement si  pour tout $i \in \[ 1,n-1 \]$, on a l'\'{e}galit\'{e} dans (*),  soit $x_i=x_{i+1}$ ou $x_i=-x_{i+1}$ et $x_1=0$ et $x_n=0$, donc si et seulement si pour tout $i \in \[ 1,n \], x_i=0$, c'est-\`{a}-dire  $X=0$.
\smallskip

b)  Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$ et $X$ un vecteur propre associ\'{e}. On a

$q(X)=\lambda{}^t\!XX$. Donc, $-2{}^t\!XX <q(X)<2{}^t\!XX$ car $X\neq 0$, donc on n'a pas l'\'{e}galit\'{e}. D'o\`{u} $-2<\lambda<2$.

\medskip

3.  En r\'{e}solvant la relation de r\'{e}currence double donn\'{e}e, on trouve $u_k= \lambda e^{ikt}+\mu e^{-ikt}$. La suite $(u_k)_k$ appartient \`{a} $F_\lambda$ si et seulement si $u_0=u_{n+1}=0$, soit:
$$\left\{ \matrix{\lambda+\mu=0\hfill\quad\cr
\lambda e^{i(n+1)t}+\mu e^{-i(n+1)t}=0\hfill\quad
}\right.$$

 Ainsi, la suite $(u_k)_k\in F_\lambda$ si et seulement si $\sin((n+1)t)=0$, soit $\dis t= t_\ell= {\ell \pi\over n+1}$, avec $\ell\in\[1,n\]$ (car $t\in ]0,\pi[$).

\smallskip
En conclusion :
%\par
%$\bullet\ $ on retire $t_0$ car $|\lambda |<2$;

\par
$\bullet\ $ si $t \notin \{t_1, \ldots, t_n\}$, alors $(u_k)\in F_\lambda\Leftrightarrow (u_k)=0_{E_\lambda}$;
\par
$\bullet\ $ si $t \in \{t_1, \ldots, t_n\}$, alors  $(u_k)\in F_\lambda$ et $(u_k)\neq 0_{E_\lambda}$.

%$$F_\lambda=F_{2\cos(t_\ell)}= \Vect\pmatrix{\sin(t_\ell)\cr \sin(2t_\ell)\cr \vdots \cr \sin(nt\ell)}$$

\medskip

4. On vient de montrer que si $\lambda=2\cos t$ est valeur propre de $A$, alors $t= \dis\frac{\ell\pi}{n+1}$, avec $\ell\in \[1,n\]$.

R\'{e}ciproquement, soit $t=\dis\frac{\ell\pi}{n+1}, \ell \in \[1,n\]$ et $\lambda=2\cos t$.
Donc, $F_\lambda\neq \{0_{E_\lambda}\}$. Soit $(u_k)_k\in F_\lambda$, une suite non nulle.

On pose: $\forall i \in \[1,n\], x_i=u_i$. On a alors   $AX=\lambda X$.

On a forc\'{e}ment $x_1 \neq 0$ sinon $(u_k)_k$ serait la suite nulle. Donc $X\neq 0$ et $X$ est un vecteur propre de la matrice $A$ et $\lambda \in \Sp(A)$.  En posant $\theta_\ell= \dis \frac{\ell\pi}{n+1}$, le vecteur propre associ\'{e} \`{a} la valeur propre $2\cos\left( \dis \frac{\ell\pi}{n+1}\right)$ est
$X=\dis \pmatrix{\sin(\theta_\ell)\cr \sin(2\theta_\ell)\cr \vdots\cr  \sin(n\theta_\ell)}$.


Ainsi, $A$ poss\`{e}de $n$ valeurs propres distinctes et la dimension de chaque sous-espace propre est $1$.

\end{sol}


% %%%%%%%%%%%

\chapter{Probabilit\'es}


% Sujet 01. Probas
\begin{exo}

Soit $\mu$ un r\'{e}el  sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 1 que l'on cherche \`{a} estimer.


 Soient $(X_n)_{n\geq 1}$ et $(Y_n)_{n\geq 1}$ deux suites de variables al\'{e}atoires r\'{e}elles d\'{e}finies sur le m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega,{\cal A}, P)$.

 On suppose que les suites de variables al\'{e}atoires $(X_n)_{n\geq 1}$ et $(Y_n)_{n\geq 1}$ sont mutuellement ind\'{e}pendantes, que chaque $X_n$ suit la loi uniforme sur $[0,\mu]$ et que chaque $Y_n$ suit la loi uniforme sur $[0,1]$.

\medskip

  Pour tout $n\in\N^\star$, on pose: $Z_n=\min(X_n,Y_n)$. On pose alors, pour $n\in\N^\star$:  $T_n=\dis \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}Z_k$.



1. Montrer que $Z_1$ est une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e}; d\'{e}terminer sa loi et calculer son esp\'{e}rance.

\medskip
2.  \'{E}crire une fonction Scilab d'ent\^{e}te {\tt simulation(n,mu)}  qui, pour un entier $n\geq 1$ et un r\'{e}el $mu$ donn\'{e}s, renvoie une simulation de la variable al\'{e}atoire $T_n$.
\medskip

3. a) Montrer que la suite de variables al\'{e}atoires $(T_n)_n$ converge en probabilit\'{e} vers un r\'{e}el que l'on d\'{e}terminera.
\smallskip

b) D\'{e}terminer un couple $(a,b)\in\R^2$ pour lequel $\widetilde{T_n}=aT_n+b$ est un estimateur sans biais de $\dis\frac{1}{\mu}$.

Est-il convergent ?


\medskip
4. a) Montrer que $V(Z_1) \leq \dis{1\over 12}$.
\smallskip

b)  Soit $\alpha$ un r\'{e}el de $]0,1[$. \`{A} l'aide de l'in\'{e}galit\'{e} de Bienaym\'{e}-Tch\'{e}bychev, construire, pour $n$ assez grand, \`{a} l'aide de $\widetilde{T_n}$, un intervalle de confiance pour $\dis\frac{1}{\mu}$  au niveau de confiance $1-\alpha$ de la forme $[U_n, V_n]$.
\medskip

c)  Construire alors, pour $n$ assez grand, un intervalle de confiance pour $\mu$ au niveau de confiance $1-\alpha$  \`{a} l'aide de $U_n$ et $V_n$


%

\end{exo}

\begin{sol}


1. Le support de $Z_1$ vaut $[0,1]$. Donc si $x<0$, $F_{Z_1}(x)=0$ et si $x>1$, $F_{Z_1}(x)=1$. Puis si $x\in[0,1]$, $P(Z_1>x)=P([X_1> x]\cap [Y_1>x])$.

Ces deux \'{e}v\'{e}nements sont ind\'{e}pendants, $P(Z_1>x)=(1-x)(1-x/\mu)$. Et $\forall x\in[0,1]$, $F_{Z_1}(x)=1-(1-x)(1-x/\mu)$. En r\'{e}sum\'{e}

$$F_{Z_1}(x)=\cases{ 0 & si $x<0$\cr
                     1-(1-x)(1-x/\mu) & si $x\in [0,1]$\cr
                     1 & si $x>1$
                     }$$
\medskip

La fonction $F_{Z_1}$ est continue en 0 et en 1, elle est donc continue sur $\R$ et $C^1$ sur $\R$ \'{e}ventuellement priv\'{e} de 0 et de 1, la variable est \`{a} densit\'{e}.

$$f_{Z_1}(x)=\cases{\dis\frac{1}{\mu}(\mu+1-2x)& si $x\in [0,1]$\cr\cr 0 & sinon}$$

\medskip


Comme $Z_1$ est born\'{e}e, $E(Z_1)$ existe et, apr\`{e}s calcul $E(Z_1)=\dis \frac{1}{2}-\frac{1}{6\mu}$.

\medskip

2. Une proposition :

\twocols{
\tt \obeylines\obeyspaces
1. function T=simulation(n,mu)
\smallskip

2. T=0
\smallskip

3. for i=[1..n]
\smallskip

4. \quad    y=rand()
\smallskip

5.  \quad    z=rand()*mu
}{\tt \obeylines\obeyspaces
6. \quad T=T+min([y,z])
\smallskip


7. end
\smallskip

8. T=T/n;
\smallskip

9. endfunction
}

\bigskip
3. a) Les variables  $Z_1,Z_2,\ldots,Z_n$ sont ind\'{e}pendantes d'apr\`{e}s le lemme des coalitions et de m\^{e}me loi.

D'apr\`{e}s la loi des grands nombres, la suite $(T_n)_n$ converge en probabilit\'{e} vers $E(Z_1)=\dis\frac{1}{2}-\frac{1}{6\mu}$.


b) Comme $E(T_n)=E(Z_1)=\dis\frac{1}{2}-\frac{1}{6\mu}$,  $\widetilde{T_n}= 3-6T_n$  est un estimateur sans biais de $\dis\frac{1}{\mu}$. On a:
$$V(\widetilde{T_n})= \frac{36\,V(Z_1)}{n} \rightarrow 0$$
Aussi,  $\widetilde{T_n}$ est convergent.

\smallskip


4. a) On a $E(Z_1^2)=\dis{1\over 3}-{1\over 6\mu}$,  donc $V(Z_1)=E(Z_1^2)-E^2(Z_1)=\dis{1\over 12}-{1\over 36\mu^2}\leq \dis{1\over 12}$.
\smallskip

b) Construisons un \'{e}v\'{e}nement de probabilit\'{e} $1-\alpha$ avec Bienaym\'{e}-Tchebychev :

 $P(|\widetilde{T_n}-1/\mu|>\epsilon)\leq \dis\frac{V(\widetilde{T_n})}{\epsilon^2}$.  Or, $V(\widetilde{T_n})=\dis\frac{36}{n}V(Z_1)\leq \frac{3}{n}$. Donc:

$$P(|\widetilde{T_n}-1/\mu|>\epsilon)\leq \dis\frac{3}{n\epsilon^2} \hbox{ et }
 P(|\widetilde{T_n}-1/\mu|\leq \epsilon)\geq 1-\dis\frac{3}{n\epsilon^2}$$

\smallskip
 Il suffit donc de prendre $\dis\frac{3}{n\epsilon^2}=\alpha$ soit $\epsilon=\sqrt{\dis\frac{3}{n\alpha}}$.

 Pour s'assurer que $0<\alpha<1$, il faut choisir $n>\dis  \frac{3}{\varepsilon^2}$.
Ainsi  $P(|\widetilde{T_n}-1/\mu|\leq \epsilon)\geq 1-\alpha$.
\smallskip

Donc avec une probabilit\'{e} sup\'{e}rieure \`{a} $1-\alpha$, on a :  $\dis \widetilde{T_n}-\sqrt{\dis\frac{3}{n\alpha}}
\leq \frac{1}{\mu}\leq \widetilde{T_n}+\sqrt{\dis\frac{3}{n\alpha}}$.

Or, $\dis\frac{1}{\mu}\in ]0,1]$. Ainsi: $U_n=\max(0,\widetilde{T_n}-\sqrt{\dis\frac{3}{n\alpha}})\ \hbox{ et } \ V_n=\min(1, \widetilde{T_n}+\sqrt{\dis\frac{3}{n\alpha}}
)$.

\smallskip
c) On sait d\'{e}j\`{a} que $\mu\geq 1$ et $U_n\leq \dis\frac{1}{\mu}\leq V_n$.

\par
$\bullet$ Si $0<U_n<V_n<1$ , on prend comme intervalle de confiance pour $\mu$ :  $\left[\dis\frac{1}{V_n},\frac{1}{U_n}\right]$.

\par
$\bullet$  Si $U_n=0$ et $V_n=1$, on prend comme intervalle de confiance  pour $\mu$ : $\left[1, +\infty\right[$.

\par
$\bullet$ Si $0=U_n<V_n<1$, on prend comme intervalle de confiance  pour $\mu$  $\left[\dis\frac{1}{V_n},+\infty\right[$.
\par
$\bullet$  Si  $0<U_n<1=V_n$, on prend comme intervalle de confiance  pour $\mu$ $\left[1, \dis\frac{1}{U_n}\right]$.
\end{sol}



\begin{exo}
% Sujet 28. Probas


Soit $p\in ]0,1[$ et $q=1-p$. Soit $R\in \N^*$. On dispose de $R$ pi\`{e}ces de monnaie num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $R$ qui donnent chacune \<< pile \>> avec la probabilit\'{e} $p$. On effectue une suite de manches avec ces pi\`{e}ces de la mani\`{e}re suivante :
\smallskip

$\bullet$ lors de la premi\`{e}re manche, on lance chaque pi\`{e}ce une fois ;
\par

$\bullet$ aux manches suivantes, on ne relance que les pi\`{e}ces qui n'ont pas donn\'{e} \<< pile\>> aux manches pr\'{e}c\'{e}dentes~;
\par

$\bullet$ on s'arr\^{e}te lorsque toutes les pi\`{e}ces ont donn\'{e} \<< pile\>>.
\medskip

Pour tout $k\in \[1,R\]$, on note $X_k$ le nombre total de lancers effectu\'{e}s avec la $k$-i\`{e}me pi\`{e}ce.

 On note $Y$ le nombre de manches effectu\'{e}es.

\medskip

1.  D\'{e}terminer la loi de $X_k$, son esp\'{e}rance et sa variance.
\medskip

2.  D\'{e}terminer la loi de $Y$.
\medskip

3.  Montrer la convergence de la s\'{e}rie $\dis\sum_{n} P(Y>n)$.


%\item Pour tout $N\in\NN^*$, exprimer $\dsum_{n=1}^{N}nP(Y=n)-\dsum_{n=0}^{N-1}P\left( Y>n\right)$ en fonction de $P(Y>N)$ et $N$.\\

On admet alors que  $Y$ admet une esp\'{e}rance et que $E(Y)=\dis\sum_{n=0}^{+\infty}  P(Y>n)$.
\medskip

4. Soit la fonction $f:[0,+\infty[\to \R$ d\'{e}finie par $f(x)=1-(1-q^x)^R$.
\smallskip

 \'{E}tablir la convergence de l'int\'{e}grale $\dis\int_0^{+\infty} f(x)dx$ et montrer que :
$\dis\int_0^{+\infty} f(x)dx=-\frac1{\ln q}\sum_{k=0}^{R-1} \frac{1}{k+1}.$
\medskip

5. \'{E}tablir l'encadrement : $-\dis\frac1{\ln q}\sum_{k=0}^{R-1} \frac{1}{k+1}\leq E(Y)\leq 1-\frac1{\ln q}\sum_{k=0}^{R} \frac{1}{k+1}.$
\smallskip

 En d\'{e}duire un \'{e}quivalent de $E(Y)$ lorsque $R$ tend vers $+\infty$.

{\it On pourra admettre sans d\'{e}monstration que  $\dis\sum_{k=0}^{R-1} \frac{1}{k+1}$ est \'equivalent \`{a}  $\ln R$ lorsque $R$ tend vers $+\infty$}.


\end{exo}

\begin{sol}




1.  La variable al\'{e}atoire $X_k$ est le nombre de coups n\'{e}cessaires pour obtenir le premier \<< pile\>> lors d'une suite d'\'{e}preuves de Bernoulli ind\'{e}pendantes de probabilit\'{e} de succ\`{e}s $p$.

Donc, $X_k$ suit la loi g\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tre $p$, d'o\`{u} $E(X_k)=\dis\frac1p$ et $V(X_k)=\dis\frac{q}{p^{2}}$.
\medskip

2. On reconna\^{\i}t que $Y=\max(X_1,\dots,X_R)$ est \`{a} valeurs dans $\N^*$.

Pour tout $n\in \N^*$, par ind\'ependance, on a :
$$
P\left( Y\leq n\right) =P\left( X_{1}\leq
n,\ldots,X_{R}\leq n\right)
 =\prod\limits_{k=1}^{R}P\left( X_{k}\leq
n\right)
=(1-q^{n})^R.
$$

Ceci reste valable pour $n=0$. Donc :
$P\left( Y=n\right) =P\left( Y\leq
n\right) -P\left( Y\leq n-1\right)=\left(
1-q^{n}\right) ^{R}-\left( 1-q^{n-1}\right) ^{R}.$
%

\medskip

3. Comme $|q|<1$, on a :  $\dis\lim_{n\to \infty }q^{n}=0$.
Par ailleurs on sait que  $(1-x)^R\build{=}{x\to 0}1-Rx+o\,({x})$, d'o\`{u} :
$$\left(1-q^{n}\right) ^{R}=1-Rq^{n}+o\left( q^{n}\right) \hbox{, soit } P(Y>n)=1-\left(1-q^{n}\right) ^{R}\build{\sim}{n\to +\infty} Rq^{n}$$

Comme la s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique $\dis\sum Rq^{n}$ converge et est \`{a} termes positifs, par th\'{e}or\`{e}me de comparaison pour les s\'{e}ries, on en d\'{e}duit que la s\'{e}rie $\dis\sum P(Y>n)$ converge.



\medskip


4. On a:
$$\eqalign{
\int_{0}^{A}f(x)~{\rm d}x&=\int_{0}^{A} \left(\sum_{k=0}^{R-1}q^{x}\left( 1-q^{x}\right) ^{k}\right) {\rm d}x
=\sum_{k=0}^{R-1} \int_{0}^{A}\e^{x\ln
q}\left( 1-\e^{x\ln q}\right) ^{k}~{\rm d}x\cr
&=\sum_{k=0}^{R-1}\left[ -\frac{\left( 1-\e^{x\ln
q}\right) ^{k+1}}{(k+1)\ln q}\right] _{0}^{A}%\\
=\sum_{k=0}^{R-1} -\frac{\left( 1-\e^{A\ln
q}\right) ^{k+1}}{(k+1)\ln q}\build{\longrightarrow}{A\to +\infty} \sum_{k=0}^{R-1}\frac{-1}{(k+1)\ln q}.
}$$


\medskip

5.  On a : $\forall x\geq 0,\quad f(x)=1-(1-q^{x})^{R}=1-(1-\e^{x\ln q})^{R}$.
Comme $\ln q<0$, on voit que $f$ est d\'{e}croissante sur $[0,+\infty[$ (compos\'{e}e de fonctions monotones). Par encadrement d'une somme par des int\'{e}grales, on en d\'{e}duit :

$$\int_{0}^{N+1}f(x)~{\rm d}x\leq \sum_{n=0}^{N}\underbrace{f(n)}_{= P(Y>n)}\leq
\int_{0}^{N}f(x)~{\rm d}x+1.$$

En faisant tendre $N$ vers $+\infty $ dans les in\'{e}galit\'{e}s
ci-dessus, puisque tous les termes convergent, on obtient :
$$\frac{-1}{\ln q}\sum_{k=0}^{R-1}\frac{1}{(k+1)}=\int_{0}^{+\infty }f(x)~{\rm d}x\leq E(Y)\leq \int_{0}^{+\infty }f(x)~{\rm d}x+1=\frac{-1}{\ln q}\sum_{k=0}^{R-1}\frac{1}{(k+1)}+1.$$

Par th\'{e}or\`{e}me d'encadrement, gr\^{a}ce \`{a} l'indication, on en d\'{e}duit que $E(Y)$ est \'{e}quivalent \`{a} $\dis\frac{-\ln (R)}{\ln q}$ lorsque $R$ tend vers $+\infty$.

\end{sol}



\begin{exo}
%Sujet 43.  Probas


Soit $(\Omega, {\cal A}, P)$ un espace probabilis\'{e}. Soit $N$ un entier naturel impair. Soit $(U_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes d\'{e}finies sur $(\Omega, {\cal A}, P)$ qui suivent toutes la loi uniforme sur $\[ 1,N\]$.

 Pour tout entier $n\geq 1$, on pose : $S_n=\dis\sum_{i=1}^n U_i$.
 \medskip

1.  Calculer les esp\'{e}rances $m=E(U_1)$ et $E(S_n)$.


Pour tout entier $n\geq 1$, on note : $u_n=P(S_n\leq nm),  \ v_n=P(S_n> nm)$ et $ w_n=P(S_n= nm).$

2.  Pour tout $n\in \N^*$, d\'{e}terminer la loi de la variable al\'{e}atoire $N+1-U_n$. En d\'{e}duire que $u_n=v_n+w_n$.
\medskip

3.  Montrer que $\dis\lim_{n\to\,+\infty} w_n=0$.
\medskip

4.  En d\'{e}duire la convergence et les limites respectives des suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$.
\medskip

5.  Trouver un polyn\^{o}me $Q_N$ tel que, pour tout $n\in \N^*$, $w_n$ soit le coefficient de degr\'{e} $mn$ du polyn\^{o}me $(Q_{N})^n$.

({\sl  on pourra calculer $E\big(t^{S_n}\big)$ pour tout $t\in\R$})


%

\end{exo}

\begin{sol}



1.  Par d\'{e}finition de l'esp\'{e}rance : $m=E(U_1)=\dis\sum_{k=1}^N kP(U_1=k)=\frac1N\sum_{k=1}^N k=\frac{N+1}2$.

Par lin\'{e}arit\'{e} de l'esp\'{e}rance, on obtient : $E(S_n)=nm$.
\medskip

2.  On trouve facilement que $N+1-U_n$ suit aussi la loi uniforme sur $\[ 1,N\]$.
Comme la loi d'une somme de variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes ne d\'{e}pend que de la loi de ces variables, on en d\'{e}duit que les variables $U_1+\cdots+U_n=S_n$ et $(N+1-U_1)+\cdots+(N+1-U_n)=n(N+1)-S_n$ suivent la m\^{e}me loi, donc :
$$u_n=P(S_n\leq mn)=P(n(N+1)-S_n\leq mn)=P(S_n\geq n(N+1)-mn)=P(S_n\geq mn)=v_n+w_n.$$

\medskip

3.  On reconna\^{\i}t que $w_n=P(U_n^*=0)$, o\`{u} $U_n^*$ est la variable centr\'{e}e r\'{e}duite associ\'{e}e aux variables al\'{e}atoires $U_1,\dots,U_n$ qui sont ind\'{e}pendantes, de m\^{e}me loi, loi qui poss\`{e}de une esp\'{e}rance et une variance (car le support est fini). D'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me central limite, on a donc : $\dis\lim_{n\to +\infty} w_n=P(T=0)$, o\`{u} $T$ suit la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite. Ainsi $\dis\lim_{n\to +\infty} (w_n)=0$, car $T$ est \`{a} densit\'{e}.

\medskip
4.  Comme $u_n+v_n=1$ et $u_n=v_n+w_n$, on en d\'{e}duit que $\dis u_n=\frac{1+w_n}2$ et $\dis v_n=\frac{1-w_n}2$, donc $\dis\lim_{n\to +\infty}u_n=\dis\lim_{n\to +\infty}v_n=\frac12$.
\medskip

5. On peut \'{e}crire:

$$\eqalign{
E\big(t^{S_n}\big)&=E\big(t^{U_1}\cdots t^{U_n}\big)\cr
&=E\big(t^{U_1}\big) \cdots E\big(t^{U_n}\big) \ \hbox{(ind\'{e}pendance de $t^{U_1},\dots, t^{U_n}$)}\cr
&=\left(E\big(t^{U_1}\big)\right)^n\cr
&=\left(\sum_{k=1}^N \frac{t^k}N\right)^n \ \hbox{(th\'{e}or\`{e}me de transfert)}.
}$$

Par ailleurs, le th\'{e}or\`{e}me de transfert donne aussi directement :
$E\dis \big(t^{S_n}\big)=\sum_{k=n}^{nN} t^k P(S_n=k).$ Ainsi :
$$\forall t\in \R,\ \left(\sum_{k=1}^N \frac{t^k}N\right)^n=\sum_{k=n}^{nN} t^k P(S_n=k).$$

Deux polyn\^{o}mes sont \'{e}gaux si et seulement si leurs coefficients sont \'{e}gaux, donc $w_n=P(S_n=nm)$ est le coefficient de degr\'{e} $mn$ du polyn\^{o}me $(Q_{N})^n$ avec $Q_N=\dis\sum_{k=1}^N \frac{X^k}N$.

\end{sol}



\begin{exo}
% Sujet 46. Probas

Dans cet exercice, toutes les variables al\'{e}atoires sont suppos\'{e}es d\'{e}finies sur un m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$.

 Une variable al\'{e}atoire $X$ est dite {\sl sym\'{e}trique} si $X$ et $-X$ suivent la m\^{e}me loi.

\medskip

1.  Donner un exemple de variable al\'{e}atoire discr\`{e}te sym\'{e}trique.
\medskip

2. a)  Soit $X$  une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e} $f_X$. Montrer que $X$ est sym\'{e}trique si et seulement si $f_X$ est paire.

\smallskip

b)  Donner un exemple de variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e} qui soit sym\'{e}trique.
\medskip

On suppose dor\'{e}navant que les variables al\'{e}atoires consid\'{e}r\'{e}es sont sym\'{e}triques et \`{a} densit\'{e} born\'{e}e.
\medskip

3.   Soit $X$ et $Y$  deux telles variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes.

 Montrer que  $X+Y$ et $X-Y$ sont sym\'{e}triques.

\bigskip

Pour $n$ entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $2$,   soit $X_1,X_2,\ldots,X_n$ des variables al\'{e}atoires \`{a} densit\'{e} born\'{e}e, ind\'{e}pendantes, sym\'{e}triques et de m\^{e}me loi, centr\'{e}es et de variance $\sigma^2$. Pour tout entier $k \in \[1,n\]$, on pose $T_k = X_1+ \cdots+X_k$.
\smallskip


4.  Pour tout entier $k \in \[1,n\]$, calculer $P(T_n-T_k\geq 0)$.

\bigskip

Soit $x$ un r\'{e}el positif. Pour tout entier $ k\in \[1,n\]$, on pose
$$
A_k = \left[\max_{i<k} T_i\leq x\right] \cap \left[T_k>x\right]
$$
c'est-\`{a}-dire
$$
A_k = \cases{
(T_1>x) &  si  $k=1$\cr
(T_1\leq x) \cap \cdots \cap (T_{k-1} \leq x) \cap (T_k>x) &  si   $k\geq 2$
}$$

5.   Pour tout entier $k \in \[1,n\]$ comparer les \'{e}v\'{e}nements suivants :
\par
a)  $B = \left( \dis\max_{1\leq i\leq n} T_i>x \right)$ et $C = \dis\bigcup_{1\leq k\leq n} A_k$.
\par
b)  $D = (T_n-T_k\geq 0)\cap A_k$ et $E = (T_n>x)\cap A_k$.

\medskip

6.a)  Montrer que $P([T_n-T_k\geq 0]\cap A_k) \geq \dis\frac{1}{2} P(A_k)$.

b)   En d\'{e}duire l'in\'{e}galit\'{e} suivante :
$$
P(\max_{1\leq i \leq n} T_i>x) \leq 2 P(T_n>x)
$$


%

\end{exo}

\begin{sol}


1.   Soit $X$ suivant une loi de Rademacher, {\sl i.e.} $P(X = -1) = P(X = 1) = \frac{1}{2}$. Alors, $X$ est sym\'{e}trique. On peut \'{e}galement citer la variable certaine nulle.
\smallskip

2. a)  Soit $X$ une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e}. La variable al\'{e}atoire $X$ est sym\'{e}trique si et seulement si
$$
\forall x \in \R,\, F_X(x) = P(X\leq x) = P(X\geq -x) = 1 - F_X(-x),
$$
{\sl i.e.} si et seulement si $f_X(x)= f_X(-x)$.

\medskip

b)  La loi normale centr\'{e}e admet une densit\'{e} paire. Elle est donc sym\'{e}trique.

\smallskip


3.  Soit $x \in \R$. Comme $X$ et $Y$ sont sym\'{e}triques, alors $f_X$ et $f_Y$ sont paires. Ensuite, comme les variables al\'{e}atoires sont ind\'{e}pendantes,
$$
f_{X+Y}(-x)= \int_\R f_X(-x-t) f_Y(t) dt = \int_\R f_X(-x+u) f_Y(-u) du = \int_\R f_X(x-u) f_Y(u) du = f_{X+Y}(x)
$$
Ainsi, $X + Y$ est sym\'{e}trique.

Comme $-Y$ est sym\'{e}trique, d'apr\`{e}s le calcul pr\'{e}c\'{e}dent, $X + (-Y) = X - Y$ est sym\'{e}trique.

\medskip

4.  D'apr\`{e}s les questions pr\'{e}c\'{e}dentes, $T_n-T_k$ est la somme de variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes sym\'{e}triques, donc $T_n - T_k$ est sym\'{e}trique. Ainsi,
$$
 P(T_k - T_n \geq 0) = P(T_n - T_k \leq 0)
$$
Comme $T_n - T_k$ est \`{a} densit\'{e}, alors $P(T_n - T_k = 0) = 0$ et $P(T_n - T_k \leq 0) + P(T_n - T_k \geq 0) = 1$. Ainsi, $P(T_n-T_k \geq 0) = \frac{1}{2}$.
\medskip


5. a)  Si $\omega \in [\dis\max_{1\leq i \leq n} T_i > x]$, alors il existe $i \in \[1,n\]$ tel que $T_i(\omega) > x$. En notant $i_0$ le plus petit de ces entiers,
$$
(T_1(\omega) \leq x) \cap \cdots \cap (T_{i_0-1}(\omega) \leq x) \cap (T_{i_0} > x)
$$
Ainsi, $\omega \in C$ et $B\subset C$.
\par

R\'{e}ciproquement, si $\omega \in C$, il existe $k \in \[1,n\]$ tel que $\omega \in A_k$ et alors $T_k(\omega) > x$. Ainsi, $\omega \in B$.

Finalement, $B = C$.



\smallskip

b)  Si $\omega \in D$, alors $\omega \in A_k$ et $T_k(\omega) > x$. Ainsi, $T_n(\omega) \geq T_k(\omega) > x$ et $\omega\in E$.

L'inclusion r\'{e}ciproque est fausse car on peut avoir $T_k = 2 x$ et alors $T_n - T_k \leq 0$.

Finalement, $D \subset E$.

\medskip


6.a)b) Comme $B \subset C$, et les $(A_k)$ sont deux \`{a} deux disjoints, alors
$$
P(\max_{1\leq i \leq n} (T_i > x)) = \sum_{k=1}^n P(A_k)
$$
Ainsi, comme $P(T_n - T_k \geq 0) = 1/2$,

$$\eqalign{
\frac{1}{2} P(\max_{1\leq i \leq n} (T_i >x)) &= \sum_{k=1}^n P(A_k) P(T_n-T_k \geq 0)\cr
&= \sum_{k=1}^n P(A_k\cap T_n-T_k \geq 0),\, \hbox{ par ind\'{e}pendance (lemme des coalitions)}\cr
&\leq \sum_{k=1}^n P((T_n >x) \cap A_k)\cr
&\leq P(T_n > x),
}$$

car $\dis\bigcup_{k=1}^n A_k \subset \Omega$ est une r\'{e}union disjointe.

\end{sol}


\begin{exo}
%Sujet 54. Probas


Soit $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite de variables al\'{e}atoires d\'{e}finies sur un m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$ telles que, pour tout entier $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 1:

\smallskip

\quad $\bullet$ $X_n$ est \`{a} valeurs dans $\{0,\dis\frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n-1}{n}\}$;


\smallskip

\quad $\bullet$ $\forall\, k\in\[0,n-1\],\,\,\,P(X_n = \dis\frac{k}{n}) = \alpha_n \left(e^{\frac{k}{n}} - 1\right)$, o\`{u} $\alpha_n = \frac{\dis 1}{\dis\sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{k/n}-1\right)}$.
\smallskip



\medskip


1.  D\'{e}terminer $\dis\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n\alpha_n}$. En d\'{e}duire un \'{e}quivalent de $\alpha_n$.

\medskip

2.   On note $F_n$ la fonction de r\'{e}partition de $X_n$.

Montrer que, pour tout $x\in [0,1[$,  $F_n(x)=\alpha_n \bigg[\dis\frac{e^{\frac{\lfloor{n x}\rfloor+1}{n}} - 1}{e^{1/n}-1} - \left(\lfloor{nx}\rfloor + 1\right)\bigg]$.

\medskip

3. Montrer que la suite $(X_n)_n$ converge en loi vers une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e} $X$ que l'on pr\'{e}cisera.

\medskip

4.  Soit $f$ une fonction continue sur $\R$.

a)  D\'{e}terminer la limite en loi de la suite $\big(f(X_n)\big)_n$.
\smallskip


b)  La suite $\big(E(f(X_n))\big)_n$
 admet-elle une limite lorsque $n$ tend vers l'infini ?

%

\end{exo}

\begin{sol}


1. La fonction exponentielle \'{e}tant continue sur $[0, 1]$, d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de convergence des sommes de Riemann, on a:
$$
\frac{1}{n\alpha_n} = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \left(e^{k/n}-1\right) \to \int_0^1 (e^x - 1) dx = e - 2.
$$
Ainsi, $\alpha_n \sim \dis\frac{1}{n(e-2)}$.

\medskip
2.  Si $x < 0$, alors $F_n(x) = 0$ et si $x \geq 1$, alors $F_n(x) = 1$. Ensuite, si $x \in [0,1[$;
$$\eqalign{
F_n(x)&= \alpha_n \dis\sum_{k/\frac{k}{n}\leq x}P(X_n=k/n)\cr
&= \alpha_n \sum_{j=0}^{\lfloor nx \rfloor} \left(e^{j/n} - 1\right) \cr
&= \alpha_n \left[\frac{e^{(k+1)/n}-1}{e^{1/n}-1} - (k+1)\right] \cr
&= \alpha_n \left[\frac{e^{\frac{\lfloor{n x} \rfloor+1}{n}} - 1}{e^{1/n}-1} - \left(\lfloor{nx}\rfloor + 1\right)\right].
}$$

\medskip

3. D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, si $x < 0$, alors $\dis\lim_{n\to+\infty} F_n(x) = 0$; si $x > 1$, alors $\dis\lim_{n\to+\infty} F_n(x) = 1$ et si $x \in [0,1]$, en utilisant les \'{e}quivalents classiques, on a
$$
\lim_{n\to+\infty} F_n(x) = \frac{1}{(e-2)} \left[e^x - 1 - x\right] = \int_0^x \frac{e^t-1}{e-2} dt,
$$
qui est bien une fonction continue sur $\R$.

Ainsi, $(X_n)_n$ converge en loi vers une variable al\'{e}atoire $X$ dont une densit\'{e} vaut $g : t \mapsto \dis\frac{e^t-1}{e - 2} {\bf 1}_{[0,1]}$.

\medskip
4.a) Le cours assure que $(f(X_n))_n$ converge en loi vers $f(X)$.
\smallskip

b) On revient alors \`{a} la d\'{e}finition:
$$
E(f(X_n)) = \alpha_n \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \left(e^{k/n} - 1\right) \sim \frac{1}{e-2} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \left(e^{k/n} - 1\right)
$$
Ainsi, d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de convergence des sommes de Riemann, $(E(f(X_n)))_n$ converge vers
$$\frac{1}{e-2} \dis\int_0^1 f(t) (e^t - 1) dt$$ (qui vaut par ailleurs $E\big(f(X)\big)$).

\end{sol}



\begin{exo}
%Sujet 04. Probas

Soit $X$ et $Y$ deux  variables al\'{e}atoires d\'{e}finies sur le m\^{e}me espace probabilis\'{e} $\left( \Omega, {\cal A}, P \right)$ et \`{a} valeurs dans $\N^{\ast}$.

Soit  $p\in ]0,1[$. On pose $q=1-p$ et on suppose que:
\medskip

$$
\forall \,(m,n)\in (\N^*)^2,\,\,\left\{
\matrix{
P(X=m)&=&\alpha\, m\, q^{m-1}\cr
P_{[X=m]}(Y=n)&=&   \cases{\dis\frac{1}{m} &{ si } $1\leq n \leq m$\cr\cr
                            0 & sinon}
}
\right.
$$
\smallskip


o\`{u} $\alpha$ est un r\'{e}el strictement positif que l'on d\'{e}terminera par la suite.

\bigskip

1.a) D\'{e}terminer la loi conjointe du couple $(X,Y)$ en fonction de
$\alpha$ et $q$.

\bigskip
b)  En d\'{e}duire la loi de la variable al\'{e}atoire $Y$. Trouver la valeur de $\alpha$ et reconna\^{\i}tre cette loi.

\bigskip
2. Soient $(m,n) \in \left( \N^{\ast}\right)^2$. D\'{e}terminer
$P_{[Y=n]}(X=m)$.

\bigskip
3. Pour tout $n\in \N^{\ast}$, on pose: $B_n=\left[ Y=n\right]$.
\medskip

a) Justifier l'existence de l'esp\'{e}rance conditionnelle $E(X \mid B_n)$ et la calculer. En d\'{e}duire  l'existence de l'esp\'{e}rance de $X$ et la d\'{e}terminer.

\bigskip
b)  On consid\`{e}re la variable al\'{e}atoire $Z=X+XY$. Montrer que l'esp\'{e}rance conditionnelle $E(Z \mid B_n)$ existe et la calculer. En d\'{e}duire que $Z$ admet une esp\'{e}rance et d\'{e}terminer $E(Z)$.

%\bigskip
%6).  Pour $m \in \N^{\ast}$, on pose $A_m=[X=m] $. En calculant l'esp\'{e}rance de la variable al\'{e}atoire $XY$ \`{a} l'aide des esp\'{e}rances conditionnelles $E( Y \mid A_m)$, exprimer $E(XY)$ en fonction de $p$ et de certains moments de $Y$. En d\'{e}duire la valeur de $E(Y^3)$.

%

\end{exo}

\begin{sol}




1.a)  Avec la formule des probabilit\'{e}s conditionnelles, il vient:

$P(X=m \cap Y=n)=P_{[X=m]}(Y=n) P(X=m)$, d'o\`{u} $P(X=m \cap Y=n)=\dis\frac{1}{m}\alpha m q^{m-1}=\alpha q^{m-1}$ si $ n\in \[1,m\]$ et $P(X=m \cap Y=n)=0$ dans le cas contraire.

\bigskip
b)  On a:
$$
P(Y=j)=\sum_{i=1}^{+ \infty}P(X=i \cap Y=j)=\sum_{i=j}^{+ \infty}P(X=i \cap Y=j)
=\alpha \sum_{i=j}^{+ \infty}q^{i-1}=\alpha \frac{q^{j-1}}{p}.
$$
On doit donc avoir $1=\dis\sum_{j=1}^{+ \infty}\alpha \frac{q^{j-1}}{p}$, d'o\`{u} $\alpha=p^2$.
Donc, $Y$ suit une loi g\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tre $p$.

\bigskip
2.  Avec la formule des probabilit\'{e}s conditionnelles, on obtient:

$P_{[Y=n]}(X=m) = pq^{m-n}$ si $m\geq n$ et $P_{[Y=n]}(X=m)=0$ sinon.

\bigskip
3.a)  Il est clair que l'esp\'{e}rance conditionnelle $E(X \mid B_n)$ existe puisque la s\'{e}rie associ\'{e}e est \`{a} termes positifs et est convergente d'apr\`{e}s les crit\`{e}res usuels. On a donc:

$$E(X \mid B_n)=\dis\sum_{m=n}^{+ \infty}mpq^{m-n}=
\sum_{k=1}^{+ \infty}(k-1+n)pq^{k-1}=\sum_{k=1}^{+ \infty}kpq^{k-1}+(n-1)\sum_{k=1}^{+ \infty}pq^{k-1}=E(Y)+n-1=\frac{1}{p}+n-1$$

en reconnaissant l'esp\'{e}rance et la somme des probabilit\'{e}s d'une loi g\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tre $p$ . Comme la s\'{e}rie \`{a} termes positifs
$\dis \sum E(X \mid B_n)P(B_n) $ est convergente, la variable al\'{e}atoire $X$ admet une esp\'{e}rance et avec la formule de l'esp\'{e}rance totale il vient:
$$E(X)=\sum_{n=1}^{+\infty} E(X \mid B_n)P(B_n)=
\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{p}+n-1\right)pq^{n-1}
=\frac{1}{p}- 1+ E(Y)=\frac{2-p}{p} $$

\bigskip

b)  Posons $g(x,y)=x+xy$ et $I=\left( \N^{\ast}\right)^2$. La s\'{e}rie
$\dis \sum_{(i,j) \in I  } g(i,j) P_{B_n}(X=i \cap Y=j)$ est \`{a} termes positifs et converge; par suite l'esp\'{e}rance conditionnelle $E\left( Z \mid B_n\right) $ existe. De plus, la formule de transfert pour une fonction d'un couple de variable al\'{e}atoires discr\`{e}tes nous conduit \`{a}:
$$\eqalign{
E(Z\mid B_n)&=E(X\mid B_n)+E(XY\mid B_n)=E(X\mid B_n)+nE(X\mid B_n)\cr
&=(n+1)E(X\mid B_n)=(n+1)\left( \frac{1}{p}+n-1\right)=\frac{(n+1)}{p}+n^2-1
}$$

Comme la s\'{e}rie \`{a} termes positifs $\dis \sum \left( \frac{(n+1)}{p}+n^2-1\right)P(B_n)$ converge, on voit avec le th\'{e}or\`{e}me de l'esp\'{e}rance totale que l'esp\'{e}rance de $Z$ existe et que:
$$\eqalign{
E(Z)&=\dis \sum_{n=1}^{+ \infty} \left( \frac{(n+1)}{p}+n^2-1\right)
pq^{n-1}=\frac{1}{p}E(Y)+ \left(\frac{1}{p} -1 \right) +E(Y^2)\cr
&=\frac{1}{p}E(Y)+ \left(\frac{1}{p} -1 \right)+V(Y) +E(Y)^2\cr
&=\frac{2}{p^2}+\frac{1}{p} -1 +\frac{q}{p^2}=\frac{3}{p^2}-1
}$$

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 19. Probas

On consid\`{e}re une variable al\'{e}atoire r\'{e}elle discr\`{e}te $X$ d\'{e}finie sur un espace probabilis\'{e} $\left( \Omega, {\cal A}, P \right)$ et une fonction $f$ qui est convexe et continue sur $\R$.

 \bigskip
On admet que pour tout $n$-uplet $(x_1, \cdots, x_n)$ ($n\geq 2$) de r\'{e}els et tout $n$-uplet $(t_1, \cdots, t_n)$ de r\'{e}els positifs tels que $\dis \sum_{k=1}^{n}t_k=1$, la fonction $f$ v\'{e}rifie :
$$
f(t_1 x_1+ \cdots +t_nx_n) \leq t_1f(x_1)+ \cdots+ t_n f(x_n)
$$
\bigskip


1. On suppose dans cette question que la variable al\'{e}atoire $X$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs.

Montrer que $f(E(X))\leq E(f(X))$.

\medskip
2. On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral et on pose:  $X(\Omega)= \{ (x_k)_{k \geq 1}\}$. On suppose que les variables al\'{e}atoires $X$ et $f(X)$ admettent une esp\'{e}rance.

Pour $ n \in \N^{\ast}$, soit l'\'{e}v\'{e}nement  $A_n=(X=x_1)\cup (X=x_2)\cup\ldots\cup (X=x_n)$. On note $X_n$ la variable al\'{e}atoire ${\bf 1}_{A_n}X$, o\`{u} ${\bf 1}_{A_n}$ d\'{e}signe la variable al\'{e}atoire indicatrice de $A_n$.

\smallskip

a) \'Etudier la convergence des suites $(E(X_n))_n$ et $(E(f(X_n))_n$.
\smallskip

b) En d\'{e}duire que $f(E(X))\leq E(f(X))$.
\medskip

3.  On consid\`{e}re  $n$ variables al\'{e}atoires discr\`{e}tes $X_1$, ..., $X_n$ ($n\geq 2$) qui admettent toutes une esp\'{e}rance. On suppose que les esp\'{e}rances des variables $\e^{tX_k}$ existent pour tout r\'{e}el positif $t$ et qu'il existe un r\'{e}el $\alpha>0$ tel que pour tout r\'{e}el $t\geq 0$, on a  $ E(\e^{tX_k}) \leq \e^{\alpha t^2}$.

On pose $Y=\max(X_1, \cdots ,X_n)$.
\smallskip

a) Montrer que $Y$ admet une esp\'{e}rance.
\smallskip

b) Pour tout $t \geq 0$, justifier l'in\'{e}galit\'{e} $ \e^{tY} \leq \dis \sum_{k=1}^{n} \e^{tX_k}$.
\smallskip

c) Soit $t\geq 0$. Montrer que $ \e^{tE(Y)} \leq n \e^{\alpha t^2}$. En d\'{e}duire que
$E(Y) \leq 2\sqrt{\alpha \ln(n)}$.

\end{exo}

\begin{sol}



%1) Pour $n=1$ c'est toujours trivialement vrai. Pour $n=2$, cette in\'{e}galit\'{e} rel\`{e}ve du cours sur les fonctions convexes. Supposons maintenant que cette in\'{e}galit\'{e} est vraie au rang $n\geq 2$. Soient $(x_1, \cdots, x_{n+1})$ un $(n+1)$-uplet de r\'{e}els et
%$(t_1, \cdots, t_{n+1})$ un $(n+1)$-uplet de r\'{e}els positifs tels que
%$\sum_{k=1}^{n+1}t_k=1$. On peut d\'{e}j\`{a} supposer que tous les $t_k$ sont strictement positifs.  En utilisant l'in\'{e}galit\'{e} au rang $2$ (cours) et l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence, il vient
%\begin{align*}
%&f(t_1 x_1+ \cdots +t_{n+1}x_{n+1})\\
%&=f\left( t_1 x_1+\left(\sum_{k=2}^{n+1}t_k \right)\left(\frac{t_2}{\left(\sum_{k=2}^{n+1}t_k \right)}x_2+\cdots+
%\frac{t_{n+1}}{\left(\sum_{k=2}^{n+1}t_k \right)}x_{n+1} \right)\right) \\
%&\leq t_1 f(x_1)+\left(\sum_{k=2}^{n+1}t_k \right)
%f\left( \frac{t_2}{\left(\sum_{k=2}^{n+1}t_k \right)}x_2+\cdots+
%\frac{t_{n+1}}{\left(\sum_{k=2}^{n+1}t_k \right)}x_{n+1}\right)\\
%&\leq t_1f(x_1)+ \cdots+ t_{n+1}f(x_{n+1}).
%\end{align*}


1.  Ici $X(\Omega)$ est de la forme $\left\lbrace x_1,\cdots,x_n \right\rbrace $. En posant $t_k=P(X=x_k)\geq 0$, on a bien $\dis \sum_{k=1}^{n}t_k=1$ et la relation de convexit\'{e} de $f$  admise implique que:
$$f(E(X))=f(t_1 x_1+ \cdots +t_nx_n) \leq t_1f(x_1)+ \cdots+ t_n f(x_n)
=E(f(X))$$

(la derni\`{e}re \'{e}galit\'{e} provient du th\'{e}or\`{e}me de transfert).

\bigskip
2.  a) Comme $X_n(\Omega)=
\left\lbrace 0, x_1, \cdots, x_n \right\rbrace $, on voit que:
$$E(X_n)=\sum_{k=1}^{n}x_kP(X=x_k)\longrightarrow
\sum_{k=1}^{+\infty}x_kP(X=x_k)=E(X)$$

 Comme $P\left( \overline{A_n} \right)\longrightarrow 0$, on obtient, avec le th\'{e}or\`{e}me du transfert,
$$E(f(X_n))=f(0)P\left( \overline{A_n} \right)+\sum_{k=1}^{n}f(x_k)P(X=x_k)\longrightarrow
\sum_{k=1}^{+\infty}f(x_k)P(X=x_k)=E(f(X))$$

\smallskip

b) Comme $X_n$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs, avec la question 1, il vient
$f(E(X_n))\leq E(f(X_n))$. La continuit\'{e} de $f$ et la question pr\'{e}c\'{e}dente nous permettent d'obtenir
$f(E(X))\leq E(f(X))$ par passage \`{a} la limite.

\bigskip
3.  a) Les variables $X_k$ admettant des esp\'{e}rances, on a
$0\leq \vert Y \vert \leq \vert X_1\vert+\cdots +\vert X_n \vert$. La variable al\'{e}atoire $Y$ admet donc une esp\'{e}rance par domination.

\smallskip

b) Si $\omega \in \Omega$, on observe que $ \e^{tY(\omega)}$ est l'un des
$ \e^{tX_k(\omega)}$, il est donc inf\'{e}rieur \`{a} la somme de termes positifs
$ \dis\sum_{k=1}^{n} \e^{tX_k(\omega)}$.

\smallskip

c) On d\'{e}duit facilement de l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente que l'esp\'{e}rance de la variable al\'{e}atoire  positive
$ \e^{tY}$ existe pour tout $t>0$. On est donc en position pour appliquer l'in\'{e}galit\'{e}
obtenue en 2. b). On choisit la fonction $f_{t}$ en posant $f_{t}(x)=\e^{tx}$ qui est convexe sur
$\R$. On obtient alors $\e^{tE(Y)}\leq E(\e^{tY})$, puis $\e^{tE(Y)}\leq n \e^{\alpha t^2}$ avec
la question 3. b) et les donn\'{e}es. On en d\'{e}duit que $\dis E(Y) \leq \frac{\ln(n)}{t}+\alpha t$ pour tout $t>0$. On \'{e}tudie la fonction $g$ de $t$, correspondant au membre de droite, sur $]0, +\infty[$. On voit qu'elle admet un minimum global au point
$ t_0 =\dis \sqrt{ \frac{\ln(n)}{\alpha} } $. L'in\'{e}galit\'{e} $E(Y) \leq g(t_0)$ permet de conclure.

\end{sol}



\begin{exo}
%Sujet 31. Probas

Toutes les variables al\'{e}atoires de cet exercice sont d\'{e}finies sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$.
\smallskip

Soit $z_1$ et $z_2$ deux r\'{e}els distincts strictement positifs. Soit $Z$ une variable al\'{e}atoire  dont la loi est donn\'{e}e par :
$$ Z(\Omega)=\{z_1,z_2\}\hbox{ et } P([Z=z_1])=p_1,\quad P([Z=z_2])=p_2$$
o\`{u} : $ 0<p_1<1,\quad 0<p_2<1,\quad p_1+p_2=1,\quad E(Z)=1$.  On pose $V(Z)=\rho^2$, avec $\rho>0$.
\medskip


Soit $\alpha$ un param\`{e}tre strictement positif inconnu que l'on d\'{e}sire estimer. Soit $N$  une variable al\'{e}atoire \`{a} valeurs dans $\N$, telle que la loi conditionnelle de $N$ sachant $[Z=z_1]$ est la loi Poisson de param\`{e}tre $\alpha z_1$ et la loi conditionnelle de $N$ sachant $[Z=z_2]$ est la loi de Poisson de param\`{e}tre $\alpha z_2$.

On suppose que les param\`{e}tres $z_1,\ z_2,\ p_1,\ p_2$ sont connus.

\medskip


On consid\`{e}re un \'{e}chantillon  $(N_1,\ldots, N_n)$ de $n$ variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes suivant toutes la m\^{e}me loi que $N$ et on pose : $ \overline{N}_n=\dis\frac 1n \sum_{k=1}^nN_k$

On note $\Phi$  la fonction de r\'{e}partition de la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite et  on prendra $\Phi(1,96)=0,975$.

\bigskip
1. a)  Donner la loi de $N$.
\smallskip

b) Calculer $E(N)$.
\smallskip

c)  V\'{e}rifier que $V(N)=\alpha+\alpha^2\rho^2$.

2. a)  Justifier que, pour $n$ assez grand, on a : $ P\left(\alpha \in\left[\overline{N}_n-1,96\sqrt{\dis\frac{V(N)}n},\overline{N}_n+1,96\sqrt{\dis\frac{V(N)}n}\right]\right)\geq 0,95$.

\smallskip
b) Pourquoi l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente ne suffit-elle  pas \`{a} d\'{e}terminer un intervalle de confiance pour $\alpha$ ?
\medskip

3. a)  Montrer que si une suite  de variables al\'{e}atoires $(W_n)_{n\in\N^*}$ converge en probabilit\'{e} vers une variable al\'{e}atoire $W$, alors la suite  $\displaystyle (W_n+\frac1n)_{n\in\N^*}$ converge \'{e}galement en probabilit\'{e} vers $W$.
\smallskip

b) Justifier que la suite $\dis \left(\sqrt{\frac{V(N)}{\dis\frac 1 n +\overline{N}_n(1+\rho^2\overline{N}_n)}}\right)_{n\in\N^*}$ converge en probabilit\'{e} vers la variable al\'{e}atoire certaine \'{e}gale \`{a} $1$.

\smallskip
c) On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul : $ T_n=\dis\sqrt{\frac n{\dis\frac1n+\overline{N}_n(1+\rho^2\overline{N}_n)}}\times\big(\overline{N}_n-\alpha\big)$.


\'Etablir que la suite $(T_n)_{n\in\N^*}$ converge en loi vers une variable al\'{e}atoire de loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite.
\smallskip

d) En d\'{e}duire que l'intervalle $I$ suivant est, pour $n$ assez grand, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 pour $\alpha$ :
$$ I=\left[\overline{N}_n-1,96\sqrt{\frac1{n^2}+\frac{\overline{N}_n(1+\rho^2\overline{N}_n)}n},\overline{N}_n+1,96\sqrt{\frac1{n^2}+\frac{\overline{N}_n(1+\rho^2\overline{N}_n)}n}\ \right]$$


%

\end{exo}

\begin{sol}



 1. a) En utilisant la formule des probabilit\'{e}s totales et le syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $\{[Z=z_1],[Z=z_2]\}$, on a : $P(N=k)=P_{[Z=z_1]}\big([N=k]\big)P([Z=z_1])+P_{[Z=z_2]}\big([N=k]\big)P([Z=z_2])$.

Soit ici : $P([N=k])=\dis\frac{e^{-z_1\alpha}(z_1\alpha)^k}{k!}p_1+\dis\frac{e^{-z_2\alpha}(z_2\alpha)^k}{k!}p_2$.

\smallskip

b)  On utilise la formule de l'esp\'{e}rance totale (on constate que toutes les s\'{e}ries manipul\'{e}es sont convergentes ). 	On a : $ E(N)=E\big(N/[Z=z_1]\big)P([Z=z_1])+E\big(N/[Z=z_2]\big)P([Z=z_2])$.
	
Or les lois conditionnelles de $N$ sachant $z_1$ et $z_2$ sont des lois de Poisson de param\`{e}tres respectifs $\alpha z_1$ et $\alpha z_2$. 	On a donc : $ E\big(N/[R=z_i]\big)=\alpha z_i$. 	
D'o\`{u} : $ E(N)=\alpha z_1p_1+\alpha z_2p_2=\alpha(z_1p_1+z_2p_2)=\alpha E(Z)=\alpha$.

\smallskip

c)  De m\^{e}me : $ E(N^2)=E\big(N^2/[Z=z_1]\big)P([Z=z_1])+E\big(N^2/[Z=z_2]\big)P([Z=z_2])$.

		Or, $E\big(N^2/[Z=z_i]\big)$ est le moment d'ordre 2 d'une loi de Poisson de param\`{e}tre $\alpha z_i$, d'o\`{u} : $E\big(N^2/[Z=z_i]\big)=\alpha z_i+\alpha^2 z_i^2$ et
$ E(N^2)=(\alpha z_1+\alpha^2z_1^2)p_1+(\alpha z_2+\alpha^2z_2^2)p_2=\alpha+\alpha^2E(Z^2)$.
En conclusion : $ V(N)=\alpha +\alpha^2\rho^2$.

\medskip

2. a)  On applique \`{a} la variable $\overline{N}_n$ le th\'{e}or\`{e}me  limite central : $ \dis\frac{\overline{N}_n-\alpha}{\sqrt{\frac{V(N)}n}}\buildrel{L}\over {\rightarrow}{\cal N}(0,1)$.
	
En supposant que, pour $n$ assez grand, on puisse approcher le loi pr\'{e}c\'{e}dente par la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite, on obtient bien :
	$ P\left(\alpha \in\left[\overline{N}_n-1,96\sqrt{\frac{V(N)}n},\overline{N}_n+1,96\sqrt{\frac{V(N)}n}\right]\right)\geq 0,95$.
\smallskip

b)  Comme les bornes de l'intervalle d\'{e}pendent de $V(N)$, qui d\'{e}pend de $\alpha$, l'intervalle pr\'{e}c\'{e}dent n'est pas un intervalle de confiance pour $\alpha$.
\medskip

3. a)  On \'{e}crit : $\dis |W_n+\frac 1 n-W|\le |W_n-W|+\frac 1n$.
On en d\'{e}duit que, pour tout r\'{e}el $\varepsilon>0$ :
$$\big[|W_n+\frac1n-W|\geq\varepsilon\big]\subset \big[|W_n-W|\geq\frac\varepsilon2\big]\cup [\frac1n\geq\frac\varepsilon2]$$

En utilisant la croissance de la probabilit\'{e} et le fait que $P(A\cup B)\leq P(A)+P(B)$, on a donc :
$$P\Big(\big[|W_n+\frac1n-W|\geq\varepsilon\big]\Big)\leq P\Big(\big[|W_n-W|\geq\frac\varepsilon2\big]\Big)+P([\frac1n\geq\frac\varepsilon2])$$

Or, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $P([\dis\frac1n\geq\frac\varepsilon2])=0$.
Pour $n\geq n_0$, on a donc :
$$P\Big(\big[|W_n+\frac1n-W|>\varepsilon\big]\Big)\leq P\Big(\big[|W_n-W|>\frac\varepsilon2\big]\Big)$$
Enfin, comme $\dis \lim_{n\to +\infty}P\Big(\big[|W_n-W|\geq\frac\varepsilon2\big]\Big)=0$, on a bien : $\dis\lim_{n\to +\infty}P\Big(\big[|W_n+\frac1n-W|\geq\varepsilon\big]\Big)=0$.
\smallskip

b) En appliquant la loi faible des grands nombres, on a :
$ \overline{N}_n\buildrel{P}\over {\rightarrow}\alpha$.
                              On a alors successivement :

$\bullet$ par continuit\'{e} : $   \overline{N}_n(1+\rho^2\overline{N}_n)\buildrel{P}\over {\rightarrow}\alpha(1+\alpha\rho^2)$;

$\bullet$ gr\^{a}ce au r\'{e}sultat d\'{e}montr\'{e} \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente : $ \dis \frac1n +\overline{N}_n(1+\rho^2\overline{N}_n)\buildrel{P}\over {\rightarrow}\alpha(1+\alpha\rho^2)$;

$\bullet$ puis par continuit\'{e} : $\left(\dis\sqrt{\frac{V(N)}{\frac 1 n +\overline{N}_n(1+\rho^2\overline{N}_n)}}\right)
\buildrel{P}\over {\rightarrow}\sqrt{\dis\frac{V(N)}{V(N)}}=1$.

\smallskip


c)  On \'{e}crit : $ T_n=\left(\dis\sqrt{\frac{V(N)}{\frac1n+\overline{N}_n(1+\rho^2\overline{N}_n)}}\right)\times \dis\frac{\overline{N}_n-\alpha}{\sqrt{\frac{V(N)}n}}$.
Dans le produit pr\'{e}c\'{e}dent, la premi\`{e}re des deux variables converge en probabilit\'{e} vers 1 et la seconde en loi vers une variable al\'{e}atoire qui suit la loi ${\cal N}(0,1)$.
Le th\'{e}or\`{e}me de Slutsky permet alors d'affirmer que le produit converge en loi vers une variable al\'{e}atoire qui suit la loi ${\cal N}(0,1)$. On a donc bien : $ T_n\buildrel{L}\over {\rightarrow}{\cal N}(0,1)$.

\smallskip

d) On construit alors un intervalle de confiance pour $\alpha$ au niveau de confiance  0.95 en supposant que $n$ est assez grand pour pouvoir approcher la loi de $T_n$ par une loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite.

$$\left[\overline{N}_n-1,96\sqrt{\frac1{n^2}+\frac{\overline{N}_n(1+\rho^2\overline{N}_n)}n},
\overline{N}_n-1,96\sqrt{\frac1{n^2}+\frac{\overline{N}_n(1+\rho^2\overline{N}_n)}n}\right]$$

\end{sol}






\begin{exo}
% Sujet 40. Probas

On rappelle que $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$.

Toutes les variables al\'{e}atoires de cet exercice sont d\'{e}finies sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A},P). $

Soit $r$ un entier naturel non nul.  Une variable al\'{e}atoire $X$ suit la loi de $\chi^2$ \`{a} $r$ degr\'{e}s de libert\'{e} si une densit\'{e} $f_X$ de $X$ est donn\'{e}e par:
$$f_X(x)= \cases{ 0 & si $x\leq 0$\cr\dis \frac{1}{\Gamma({r/2})\,2^{r/2}}\,\, x^{(r/2)-1} \,\e^{-x/2} & si $x>0$}$$

\medskip
1. Soit $X$ une variable al\'{e}atoire suivant la loi de $\chi^2$ \`{a} $r$ degr\'{e}s de libert\'{e}. On pose $\dis Z=\frac{X}{2}$ et $\dis \nu=\frac{r}{2}$.

a) D\'{e}terminer la loi de $Z$.
\smallskip

b) En d\'{e}duire l'esp\'{e}rance et la variance de $X$.

\medskip

2. a) Montrer que pour tout $\lambda >0$ et tout $n\in \N^*$, on a :
$$\e^\lambda=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\lambda^k}{k!}+ \int_0^{\lambda}\e^{\lambda-t} \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}dt$$

\smallskip
b) Soit $Y_\lambda$ une variable al\'{e}atoire suivant la loi de Poisson ${\cal P}(\lambda)$. Soit $X_{2n}$ une variable al\'{e}atoire suivant la loi de $\chi^2$ \`{a} $2n$ degr\'{e}s de libert\'{e}.

Montrer que $P(X_{2n}>2\lambda)= P(Y_\lambda<n)$.

\smallskip
c) \'Ecrire une fonction Scilab de param\`{e}tres $n$ entier et $x>0$ r\'{e}el qui retourne la valeur de $P(X_{2n}>x)$.

\medskip
3. Soit $k\in \N^*$ et $X_1, \ldots, X_k$ des variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes suivant toute la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite.
\smallskip

a) D\'{e}terminer la loi de $X_1^2$.
\smallskip

b) En d\'{e}duire la loi de $\dis \sum_{i=1}^k X_i^2$.

\smallskip
c) Soit $r$ et $s$ deux entiers v\'{e}rifiant $2<r<s$. Soit $T_r$ et $T_s$ deux variables al\'{e}atoires qui suivent respectivement la loi de $\chi^2$ \`{a} $r$ degr\'{e}s de libert\'{e} et la loi de $\chi^2$ \`{a} $s$ degr\'{e}s de libert\'{e}.

Tracer sur un m\^{e}me graphique l'allure des fonctions de r\'{e}partition de $T_r$ et $T_s$.



%

\end{exo}

\begin{sol}


1. a) On utilise la fonction de r\'{e}partition. On a:
$$\forall \,x\in\R,\,\,P(Z\leq x)= P(X\leq 2x)= F_X(2x)$$

Une densit\'{e} de $Z$ est donc:
$$f_Z(x)=\cases{ 0 & si $x\leq 0$\cr\dis\frac{2}{\Gamma(\nu)2^{\nu}}(2x)^{\nu-1}\e^{-x}= \frac{1}{\Gamma(\nu)}x^{\nu-1}\e^{-x} & sinon}$$

Ainsi $Z$ suit la loi $\gamma(\nu)$ ou encore la loi $\gamma(r/2)$.

\smallskip

b) Par le cours et les propri\'{e}t\'{e}s de l'esp\'{e}rance et de la variance, on a: $E(X)=2\nu=r$ et $V(X)=4\nu=2r$.


\medskip
2. a) Il s'agit de la formule de Taylor avec reste int\'{e}gral, int\'{e}grale dans laquelle on effectue le changement de variable $t\to \lambda-t$ (on peut \'{e}galement faire une int\'{e}gration par parties et une r\'{e}currence).

\smallskip
b) On a: $P(X_{2n}>2\lambda)=P(2Z>2\lambda)=P(Z>\lambda)$ o\`{u} $Z=\dis{1\over 2}X_{2n}\hookrightarrow \gamma(n)$.

Donc, $P(X_{2n}>2\lambda)=\dis{1\over \Gamma(n)}\int_{\lambda}^{+\infty}t^{n-1}\e^{-t}dt$.

Et $P(Y_\lambda <n)= \e^{-\lambda} \dis\sum_{k=0}^{n-1}  \frac{\lambda^k}{k!}=1-\int_{0}^{\lambda}\e^{-t} \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}dt =\dis{1\over \Gamma(n)}\int_{\lambda}^{+\infty}t^{n-1}\e^{-t}dt$, d'apr\`{e}s la question 2.a).

On a bien: $P(X_{2n}>2\lambda)= P(Y_\lambda<n)$.


\smallskip
c) Une proposition

{\tt\obeylines\obeyspaces
function res=P(n,x)

 lambda=x/2

 pois=exp(-lambda)

 res=pois

 for k=1: n-1

 \quad pois=pois*lambda/k

 \quad res=res+pois

 end

 endfunction
 }

\medskip
3. a) Avec la m\'{e}thode de la fonction de r\'{e}partition, on a $X_1^2(\Omega)=\R_+$ et pour $x\geq 0$:
$$F_{X_1^2}(x)=P(X_1^2\leq x)=P(-\sqrt{x} \leq X_1 \leq \sqrt{x})=F_{X_1}(\sqrt{x})-F_{X_1}(-\sqrt{x})$$

Une densit\'{e} est donc:
$$f_{X_1^2}(x)=\cases{ 0 & si $x\leq 0$\cr
\dis\frac{1}{\sqrt{x}}f_{X_1}(\sqrt{x})= \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} \e^{-x/2} & sinon}$$

Ainsi, pour $x\geq 0$, $f_{X_1^2}(x)= \dis\frac{1}{\Gamma(1/2)2^{1/2}}x^{(1/2)-1}\e^{-x/2}$. Donc, $X_1^2$ suit la loi de $\chi^2$ \`{a} $1$ degr\'{e} de libert\'{e}. Autrement dit, $Z_1=\dis{1\over 2}X_1^2\hookrightarrow \gamma(1/2)$.

\smallskip
b) Les variables al\'{e}atoires $X_1,X_2,\ldots,X_k$ sont ind\'{e}pendantes et de m\^{e}me loi de $\chi^2$ \`{a} $1$ degr\'{e} de libert\'{e}; donc,
$\dis \frac 12 \sum_{i=1}^k X_i^2 \hookrightarrow \gamma(k/2)$, c'est-\`{a}-dire que  $\dis \sum_{i=1}^k X_i^2$ suit la loi de $\chi^2$ \`{a} $k$ degr\'{e}s de libert\'{e}.

\smallskip
c) On a: $T_r=\dis\sum_{i=1}^rX_i^2$ et $T_s=\dis\sum_{i=1}^sX_i^2$ et puisque $r<s$, on a $T_r(\omega)\leq T_s(\omega)$. Par suite, pour tout $x$ r\'{e}el, on a $[T_s\leq x]\subset [T_r\leq x]$; donc, $F_{T_s}(x)\leq F_{T_r}(x)$. Bien entendu, si $x\leq 0$, on a $F_{T_s}(x)= F_{T_r}(x)=0$.

\end{sol}

\begin{exo}
%Sujet 07. Probas

Toutes les variables al\'{e}atoires de cet exercice sont d\'{e}finies sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$.
\medskip


1. Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $D=]0,1 [\times ]0,1 [$ par:
$$\forall \,(x,y)\in ]0,1 [\times ]0,1 [,\,\,f(x,y)= \frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}$$

a) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $D$.
\smallskip

b) D\'{e}terminer les \'{e}ventuels extremums locaux de $f$ sur $D$.

\medskip
2. Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\R$ par:
$$\forall \,t\in\R,\,\,g(t)=\cases{ 0 & si $t<2$\cr
\dis \frac{1}{\alpha\displaystyle \times\dis 3^t} & si $t\geq 2$
}$$

a) D\'{e}terminer le r\'{e}el $\alpha$ pour que $g$ soit une densit\'{e} d'une variable al\'{e}atoire $Y$.
\smallskip

b) D\'{e}terminer la loi de $Z= \lfloor Y \rfloor$.

\medskip

3. Une urne contient des boules blanches en proportion $b$, des boules vertes en proportion $v$ et des boules rouges en proportion $r$. On suppose $0<b<1,0<v<1,0<r<1$ et $b+v+r=1$.

\medskip
On effectue des tirages successifs d'une boule avec remise et on s'arr\^{e}te au premier changement de couleur.

On note $X$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de tirages effectu\'{e}s.
\smallskip

a) D\'{e}terminer la loi de $X$.

%Montrer que pour tout $k\in X(\Omega)$
%$$P(X=k)= b^{k-1}(1-b)+v^{k-1}(1-v)+r^{k-1}(1-r)$$

\smallskip

b) D\'{e}terminer l'esp\'{e}rance $E(X)$ de $X$.

 \medskip

c) Que peut-on d\'{e}duire de la question 1 pour $E(X)$ ?

\smallskip
d) Comparer la loi de $Z$ \`{a} celle de $X$ lorsque $b=v=r=1/3$.


%

\end{exo}

\begin{sol}


1. a) La fonction $f$ est de classe $C^1$ sur l'ouvert $D$ comme somme de fractions rationnelles dont le d\'{e}nominateur ne s'annule pas.

\smallskip
On calcule le gradient de $f$:
$$\nabla f(x,y)= \left( \frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{(x+y)^2 },  \frac{1}{(1-y)^2}-\frac{1}{(x+y)^2 }\right)$$
\smallskip

b) Les points critiques sont donn\'{e}s par: $\dis \left\{\matrix{(1-x)^2=(x+y)^2\cr
                                                           (1-y)^2=(x+y)^2}\right.$. Par positivit\'{e} de $x$ et $y$, il vient $x=y=1/3$.

Pour v\'{e}rifier si c'est un minimim ou pas, on utilise la Hessienne. Il vient
$$r=t=27/2, s=27/4 \Rightarrow s^2-rt<0$$

Ainsi, $(1/3,1/3)$ est un minimum local de $f$ sur $D$.

\medskip

2. a) La fonction $g$ est continue sur $\R\setminus\{2\}$. Elle est positive si $\alpha >0$ et
$$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) dt = \int_2^{+\infty} \frac{\e^{-t\ln 3}}{\alpha} dt=1 \Leftrightarrow \alpha = \frac{1}{9\ln 3}$$

\smallskip
b) On a $Z(\Omega)=\[2, +\infty\[$ et pour tout $k\geq 2$:
$$P(Z=k)= \int_k^{k+1} g(t) dt = \frac{2}{3^{k-1}}$$

\medskip
3. On a $X(\Omega)=\[2, +\infty\[$. Notons pour tout $i\geq 1$, $B_i$ (resp. $V_i$ et $R_i$) l'\'{e}v\'{e}nement \<< le $i$-i\`{e}me tirage a amen\'{e} une boule blanche (resp. verte ou rouge) \>>. Alors:

$$[X=k]= \left[\bigcap_{i=1}^{k-1} B_i \cap \overline{B_k}\right]\cup \left[\bigcap_{i=1}^{k-1} V_i \cap \overline{V_k}\right]
\cup \left[\bigcap_{i=1}^{k-1} R_i \cap \overline{R_k}\right]$$

Ces \'{e}v\'{e}nements sont disjoints. Par ind\'{e}pendance des tirages, il vient:
$$P(X=k)= b^{k-1}(1-b)+v^{k-1}(1-v)+r^{k-1}(1-r)$$

\smallskip

b) Le calcul de l'esp\'{e}rance de $X$ se fait en utilisant la d\'{e}riv\'{e}e de la s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique. Il vient:
$$\eqalign{
E(X)&=(1-b) \times \left(\frac{1}{(1-b)^2}-1\right)+(1-v) \times \left(\frac{1}{(1-v)^2}-1\right)+(1-r) \times \left(\frac{1}{(1-r)^2}-1\right)\cr
&= \frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-v}+\frac{1}{1-r}-2}$$

\smallskip

c) D'apr\`{e}s la question 1, $E(X)=f(b,r)-2$ (car $1-v=b+r$) et $E(X)$ est minimale pour $b=r=v=1/3$.

\smallskip

d) Lorsque $b=v=r=1/3$, la loi de $X$ est celle de $Z$.

\end{sol}



\begin{exo}
%Sujet 56. Probas.

Soit $f$ une application d\'{e}finie sur ${\R}$. On suppose qu'il existe un r\'{e}el $k$ v\'{e}rifiant $0<k<1$ tel que:

$$\forall\, (x,y)\in {\R}^2,\,\,|f(x)-f(y)|\leq k\,|x-y|\qquad (*)$$

\medskip

1. Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite d\'{e}finie par: $u_0=x\in \R$ et  $\forall \,n\geq 0,\,\, u_{n+1}=f(u_n)$.

\smallskip

a) Montrer que pour tout $n\geq 0$, on a $|u_{n+1}-u_n| \leq k^n|u_1-u_0|$.
\smallskip

b) En d\'{e}duire que la suite $(u_n)_n$ converge vers une limite $\lambda$ qui v\'{e}rifie $f(\lambda)=\lambda$ ($\lambda$ s'appelle un point fixe de $f$).

\smallskip

c)  Montrer que $f$ admet un unique point fixe.

\medskip
2. Soit $(T_n)_{n\in{\N}}$ une suite de variables al\'{e}atoires \`{a} densit\'{e} d\'{e}finies sur un m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega,{\cal A},P)$ telles que:

$$\forall\,n\in{\N},\,\,T_{n+1}=f(T_n)$$

\medskip

o\`{u} la fonction $f$ v\'{e}rifie la propri\'{e}t\'{e} $(*)$.



\medskip

Soit  $\lambda$ le point fixe de $f$ et $\varepsilon>0$.
\smallskip

a) Pour tout $n\in{\N}$, on pose: $A_n=[k^n|T_0-\lambda|>\varepsilon]$. Montrer que $\dis\lim_{n\to+\infty}P(A_n)=0$.
\smallskip

b) En d\'{e}duire que la suite $(T_n)_{n\in{\N}}$ converge en probabilit\'{e} vers la variable certaine \'{e}gale \`{a} $\lambda$.

\medskip
c)  Montrer que la suite $(T_n)_{n\in{\N}}$ converge en loi vers $\lambda$ (on pourra distinguer les valeurs de la variable $x\in\R$ selon que $x>\lambda$ ou $x<\lambda$).

\medskip
3. Soit $(T_n)_{n\in{\N}}$ la suite de variables al\'{e}atoires d\'{e}finie par $T_0$ et

$$\forall\,n\in{\N},\,\,\forall \, \omega\in\Omega,\,\,T_{n+1}(\omega)=\dis{1\over\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{T_n(\omega)}\exp\Big(\!\!-{\,\,t^2\over 2}\Big)\,\hbox{d}t\,.$$

\medskip
\'{E}tudier les convergences en probabilit\'{e} et en loi de la suite $(T_n)_{n\in{\bf N}}$.


%

\end{exo}

\begin{sol}


1.  a) Par r\'{e}currence, on montre que $|u_{n+1}-u_n|\leq k^n|u_1-u_0|$.
\smallskip

b) Comme $0<k<1$, la s\'{e}rie  $\dis\sum_n (u_{n+1}-u_n)$ est absolument convergente, donc convergente. Par t\'{e}lescopage, la suite $(u_n)_n$ admet une limite $\lambda$.

Ce r\'{e}el v\'{e}rifie $f(\lambda)=\lambda$ par continuit\'{e} de $f$ (d'apr\`{e}s $(*)$) car $\dis \lim_{n\to +\infty} u_n=
\lim_{n\to +\infty} u_{n+1}=\lambda$.

\smallskip

c) Soit $\lambda$ et  $\lambda'$ deux r\'{e}els distincts tels que $f(\lambda)=\lambda$ et $f(\lambda')=\lambda'$. On a $|f(\lambda)-f(\lambda')|=|\lambda-\lambda'|\leq k\,|\lambda-\lambda'|$ si
et seulement si $k\geq 1$, ce qui contredit l'hypoth\`{e}se $0<k<1$. Donc, $\lambda$ est unique.

\medskip
2.a) On a $P(A_n)=P(k^n|T_0-\lambda|>\varepsilon)=1-F_{T_0}\Big(\lambda+\dis{\varepsilon\over \,\,k^n}\Big)+F_{T_0}\Big(\lambda-\dis{\varepsilon\over \,\,k^n}\Big)$, en notant $F_{T_0}$ la fonction de

\smallskip
r\'{e}partition de $T_0$. Or, $\dis\lim_{n\to\,+\infty}\dis{\varepsilon\over \,\,k^n}=+\infty$ ($0<k<1$), d'o\`{u} $\dis\lim_{n\to\,+\infty}F_{T_0}\Big(\lambda+\dis{\varepsilon\over \,\,k^n}\Big)=1$ et $\dis\lim_{n\to\,+\infty}F_{T_0}\Big(\lambda-\dis{\varepsilon\over \,\,k^n}\Big)=0$.

\smallskip
Par suite, $\dis\lim_{n\to\,+\infty}P(k^n|T_0-\lambda|>\varepsilon)=\lim_{n\to\,+\infty}P(A_n)=1-1+0=0$.

\medskip
b) Soit $\lambda$ l'unique solution de l'\'{e}quation $f(x)=x$. On a: $|T_{n+1}(\omega)-\lambda|=|f\big(T_n(\omega)\big)-f(\lambda)|\leq k\,|T_n(\omega)-\lambda|$.

\medskip
Par suite, $|T_n(\omega)-\lambda|\leq k^n|T_0(\omega)-\lambda|$ et donc $[\,|T_n-\lambda|>\varepsilon\,]\subset [\,k^n|T_0-\lambda|>\varepsilon\,]=A_n$.
\medskip

Il en r\'{e}sulte que $0\leq P(|T_n-\lambda|>\varepsilon)\leq P(A_n)$ et puisque $\dis\lim_{n\to\,+\infty}P(A_n)=0$, on a $\dis\lim_{n\to\,+\infty}P(|T_n-\lambda|>\varepsilon)=0$.

\smallskip
Finalement, la suite $(T_n)_{n\in{\bf N}}$ converge en probabilit\'{e} vers la variable certaine \'{e}gale \`{a} $\lambda$.

\smallskip

c) $\bullet$  Si $x>\lambda$, on pose $x=\lambda+\varepsilon$ avec $\varepsilon>0$.
\medskip

On a $1\geq P(T_n\leq x)=P(T_n\leq \lambda+\varepsilon)=P(T_n-\lambda\leq \varepsilon)\geq P(|T_n-\lambda|\leq\varepsilon)$. Or, la suite $(T_n)_{n\in{\bf N}}$ converge en
probabilit\'{e} vers $\lambda$, donc $\dis\lim_{n\to\,+\infty}P(|T_n-\lambda|\leq\varepsilon)=1$ et par suite, $\dis\lim_{n\to\,+\infty}P(T_n\leq x)=1$.

\medskip

$\bullet$  Si $x<\lambda$, on pose $x=\lambda-\varepsilon$ avec $\varepsilon>0$.

\medskip
On a $0\leq P(T_n\leq x)=P(\lambda-T_n\geq \varepsilon)=1-P(\lambda-T_n\leq \varepsilon)\leq1-P(|\lambda-T_n|\leq\varepsilon)$. La convergence en probabilit\'{e}
de la suite $(T_n)_{n\in{\bf N}}$ vers $\lambda$ se traduit par l'\'{e}galit\'{e} $\dis\lim_{n\to\,+\infty}P(|\lambda-T_n|\leq\varepsilon)=1$. Par suite, $\dis\lim_{n\to\,+\infty}P(T_n\leq x)=0$.

\medskip
Il est inutile d'\'{e}tudier le cas $x=\lambda$ car c'est un point de discontinuit\'{e} de la fonction de r\'{e}partition de la variable certaine $\lambda$.



\medskip

$\bullet$ Bilan: en notant $F_{T_n}$ la fonction de r\'{e}partition de $T_n$, on a: $\forall\,x\in{\bf R},\,\,\dis\lim_{n\to\,+\infty}F_{T_n}(x)=\cases{1& si $x>\lambda$\cr 0& si $x<\lambda$}\,.$

\smallskip
Donc, la suite $(T_n)_{n\in{\bf N}}$ converge en loi vers la variable certaine $\lambda$.

\medskip
3. Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur ${\bf R}$ par $f:x\longmapsto \dis{1\over\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x}\exp\Big(\!\!-{\,\,t^2\over 2}\Big)\,\hbox{d}t.$ En notant $\Phi$ la fonction de r\'{e}partition
de la loi ${\cal N}(0,1)$, on a: $\forall \,x\in{\bf R},\,\,f(x)=\Phi(x)-\dis{1\over 2}\,\cdot$ Les propri\'{e}t\'{e}s de $\Phi$ permettent de dire que $f$ est de
classe $C^{\infty}$ sur ${\R}$ et strictement croissante. En particulier, $f'(x)=\dis{1\over\sqrt{2\pi}}\exp\Big(\!\!-{\,\,x^2\over 2}\Big)$.


Par suite, $\forall \,x\in{\bf R},\,\,|f'(x)|\leq \dis{1\over\sqrt{2\pi}}<1$ et l'unique solution de l'\'{e}quation $f(x)=x$ est $\lambda=0$.

L'in\'{e}galit\'{e} des accroissements finis permet d'\'{e}crire $\forall\, (x,y)\in {\bf R}^2,\,\,|f(x)-f(y)|\leq k\,|x-y|$ avec $k=\dis{1\over\sqrt{2\pi}}$ par
exemple. D'apr\`{e}s les questions 2. b) et 2. c), on peut  d\'{e}duire que la suite $(T_n)_{n\in{\bf N}}$ converge en loi et en probabilit\'{e} vers la variable certaine nulle.

\end{sol}


\begin{exo}
%Sujet 50. Probas

Dans cet exercice, toutes les variables al\'{e}atoires sont d\'{e}finies sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$.

\smallskip
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables al\'{e}atoires \`{a} densit\'{e}  ind\'{e}pendantes de m\^{e}me loi, positives telles que $E(X_1)=1$ et admettant une variance  non nulle.

Pour tout entier $n\geq 1$, on pose $\dis Y_n=\prod_{i=1}^n X_i$.


\medskip
1. a) Montrer que $E(\sqrt{X_1})$ existe et appartient \`{a} $]0,1[$.
\smallskip


b) Montrer  que $\dis \lim_{n\to +\infty}  \prod_{i=1}^n E(\sqrt{X_i})=0$.
\smallskip


c) Montrer que la suite $(Y_n)$ converge en  probabilit\'{e} vers $0$.

\medskip
2. On note ${\bf 1}_A$ la variable al\'{e}atoire indicatrice d'un \'{e}v\'{e}nement $A$.

Soit $X$ une variable al\'{e}atoire positive, \`{a} densit\'{e},  admettant un moment d'ordre $2$ non nul. Soit $\theta\in ]0,1[$.
\smallskip

a) Montrer que $E(X{\bf 1}_{[X\leq \theta E(X)]}) \leq \theta E(X)$.
\smallskip

b) Montrer que $E(X{\bf 1}_{[X\geq \theta E(X)]}) \leq \sqrt{E(X^2)}\sqrt{P(X\geq \theta E(X))}$.
\smallskip

c) En d\'{e}duire que $\dis P\big(X\geq \theta E(X)\big) \geq {(1-\theta)^2 \big(E(X)\big)^2\over E(X^2)}$.

\medskip
3. D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente que
$$P\left(\sqrt{Y_n} \geq {1\over 2} E(\sqrt{Y_n})\right) \geq {1\over 4} (E(\sqrt{X_1}))^{2n}$$
\medskip

4. Dans cette question, on suppose que  $E(\sqrt{X_1})\geq 1$ (et donc on ne suppose plus que $E(X_1)=1$). Montrer que la suite $(Y_n)$ ne converge pas en probabilit\'{e} vers $0$.

\end{exo}

\begin{sol}

1.  a) Comme $E(X_1)$ existe, la variable al\'{e}atoire $\sqrt{X_1}$ admet un moment d'ordre $2$, donc un moment d'ordre $1$. De plus, par l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz, $0 \leq E(\sqrt{X_1}) \leq E(X_1)^{1/2} =1$.
\smallskip

$\bullet\ $ Comme $\sqrt{X_1} \geq 0$, si $E(\sqrt{X_1})=0$, alors $X_1=0$ presque s\^{u}rement en contradiction avec $V(X_1) \neq 0$.

\par

$\bullet\ $ Si $E(\sqrt{X_1})=1$, comme $E(X_1)=1$, il vient $V(\sqrt{X_1})=0$ et $\sqrt{X_1}=1$ presque s\^{u}rement et $V(X_1)=0$.


\smallskip

b) Evident par la question pr\'{e}c\'{e}dente et l'ind\'{e}pendance des variables al\'{e}atoires en jeu.
\smallskip

c) Par l'in\'{e}galit\'{e} de Markov, pour tout $\varepsilon >0$, on a:


$$P(Y_n \geq \varepsilon)= P(\sqrt{Y_n} \geq \sqrt{\varepsilon}) \leq {E(\sqrt{Y_n}) \over \sqrt{\varepsilon}}={\dis\prod_{i=1}^nE(\sqrt{X_i}) \over \sqrt{\varepsilon}}\build{\longrightarrow}{n\to +\infty} 0 $$


\medskip
2. a) Comme $X$ est positive, on a : $X{\bf 1}_{[X\leq \theta E(X)]}\leq \theta E(X)$, puis l'on prend l'esp\'{e}rance.
%Cette in\'{e}galit\'{e} est \'{e}vidente. Par exemple dans le cas d'une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e}
%$$E(X{\bf 1}_{[X\leq \theta E(X)]})=\int_0^{\theta E(X)} t f(t) dt \leq \theta E(X)\int_0^{\theta E(X)}  f(t) dt \leq \theta E(X)$$

\medskip
b) On utilise l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy Schwarz, ce qui donne:
$$E(X{\bf 1}_{[X\geq \theta E(X)]}) \leq E(X^2)^{1/2} (E({\bf 1}^2_{[X\geq \theta E(X)]}))^{1/2}
=E(X^2)^{1/2} (P(X\geq \theta E(X)))^{1/2}$$

\medskip
c) Il reste \`{a} \'{e}crire que $E(X)= E(X{\bf 1}_{[X\leq \theta E(X)]})+E(X{\bf 1}_{[X\geq \theta E(X)]})$ et \`{a} utiliser les deux questions pr\'{e}c\'{e}dentes (In\'{e}galit\'{e} de Paley-Zigmund).

\medskip

3. On prend $X=\sqrt{Y_n}$ et $\theta=1/2$. Il vient :
$$P\left(\sqrt{Y_n} \geq {1\over 2} E(\sqrt{Y_n})\right) \geq {1\over 4} {(\dis\prod_{i=1}^n E(\sqrt{X_i}))^2\over 1}= {1\over 4} \prod_{i=1}^n (E(\sqrt{X_i}))^2= {1\over 4} (E(\sqrt{X_1}))^{2n} $$

\medskip
4. Si $E(\sqrt{X_1})\geq 1$, alors $E(\sqrt{Y_n})\geq 1$. Donc, d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente :
$$P(\sqrt{Y_n} \geq {1\over 2})\geq P(\sqrt{Y_n} \geq {1\over 2} E(\sqrt{Y_n}))\geq {1\over 4}.$$

Ainsi, pour $\varepsilon = \dis{1\over 2}>0$, la probabilit\'{e} $P(|\sqrt{Y_n}-0| \geq \epsilon)$ ne peut tendre vers $0$.

%On sait que la suite $a_n=\dis \left(\prod_{i=1}^n E(\sqrt{X_i})\right)$ ne tend pas vers $0$. Il existe $\delta >0$ et une suite extraite $(\varphi_n)$ tels que
% $a_{\varphi_n} \geq \delta$.

%   On a $P(\sqrt{Y_n} \geq \delta/2) \geq P(\sqrt{Y_n} \geq a_{\varphi_n}/2)$ (car $[\sqrt{Y_n} \geq a_{\varphi_n}/2]\subseteq [\sqrt{Y_n} \geq \delta/2]$), et la question pr\'{e}c\'{e}dente donne
% $$P(\sqrt{Y_n} \geq \delta) \geq  {\delta^2\over 4}$$

% Ainsi la suite $(\sqrt{Y_n})$ ne converge pas en probabilit\'{e} vers $0$, tout comme la suite $(Y_n)$.

\end{sol}



\begin{exo}
%Sujet 58. Probas

 Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables al\'{e}atoires  d\'{e}finies sur  un espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$ , ind\'{e}pendantes, de m\^{e}me loi et \`{a} valeurs dans $\N$.

Pour tout $n\in \N^*$ et pour tout $\omega \in \Omega$, on pose:
$$R_n(\omega)= \hbox{card} \{ X_1(\omega), X_2(\omega),\ldots, X_n(\omega)\}$$

On admet que $R_n$ est une variable al\'{e}atoire.

\medskip
1.a) Soit $a\in \N^*$. En s\'{e}parant les variables al\'{e}atoires $X_i$ telles que $X_i(\omega)< a$ de celles $X_j$ telles que $X_j(\omega)\geq a$, montrer que:
\smallskip
 $$R_n \leq a + \dis \sum_{i=1}^n {\bf 1}_{[X_i \geq a]}.$$

b) Montrer que $R_n$ admet une esp\'{e}rance.

\smallskip
c) D\'{e}duire du 1.a) que  $E(R_n)=o(n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

\medskip
On suppose d\'{e}sormais que $E(X_1)$ existe.

\smallskip
2. Montrer que  $P(X_1\geq m) =o\left( \dis{1\over m} \right)$ quand l'entier $m$ tend vers $+\infty$.

\medskip
3. Montrer que $E(R_n)= o(\sqrt{n})$ quand l'entier $n$ tend vers $+\infty$.

{\it Indication : pour $\varepsilon >0$ donn\'{e}, on pourra choisir $m=\lfloor \varepsilon \sqrt{n}\rfloor$.}

\end{exo}

\begin{sol}

1.a) Comme propos\'{e} par l'\'{e}nonc\'{e}, on \'{e}crit:
$$R_n(\omega)=\hbox{card} \left(\{X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega) \}\cap \[0,a\[\right)+\hbox{card} \left(\{X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega) \}\cap \[a,+\infty\[\right).$$

Ainsi:
$$R_n(\omega) \leq a + \hbox{card} \{ i\in \[1,n\] /  X_i(\omega) \geq a\}= a+ \sum_{i=1}^n {\bf 1}_{[X_i \geq a]}(\omega).$$

b) Comme $R_n$ est born\'{e}e (par $1$ et $n$) et qu'elle est positive, elle admet une esp\'{e}rance.

c)  Les questions pr\'{e}c\'{e}dentes donnent :
$$E(R_n) \leq a + \sum_{i=1}^n P([X_i \geq a]) = a+ n P(X_1\geq a)\quad (\star)$$

Ainsi : $0\leq \dis\frac{E(R_n)}n \leq \frac{a}n + P(X_1\geq a).$

Pour tout $\varepsilon >0$, en choisissant $a$ assez grand, on a $P(X_1\geq a)\leq \dis\frac{\epsilon}2$, et pour ce $a$ fix\'{e}, pour $n$ assez grand ($n\geq n_0$), on a $\dis\frac{a}n\leq \frac{\epsilon}2$. Ainsi :
$$\forall \varepsilon >0,\ \exists n_0\in \N,\ \forall n\in \N, n\geq n_0 \Longrightarrow \left|\dis\frac{E(R_n)}n\right|\leq \epsilon$$
c'est-\`{a}-dire : $\dis\lim_{n\to +\infty} \frac{E(R_n)}n=0.$


\medskip
2. On a :
$$mP(X_1\geq m)= m \sum_{k=m}^{+\infty} P(X_1=k) \leq \sum_{k=m}^{+\infty} k P(X_1=k)$$

qui repr\'{e}sente le reste d'une s\'{e}rie convergente et qui tend donc vers $0$.

{\it Remarque : } l'in\'{e}galit\'{e} de Markov ne donne que : $P(X_1\geq m) =O\left( \dis{1\over m} \right)$ ou $P(X_1\geq m) =o\left( \dis{1\over m^2} \right)$, et \`{a} condition qu'il existe un moment d'ordre $2$.

\medskip
3. On sait que $E(X_1)$ existe. On choisit $m=\lfloor \varepsilon \sqrt{n}\rfloor$ et on reprend l'in\'{e}galit\'{e} $(\star)$ avec $a=m$.

$$0\leq E(R_n) \leq  m+ n P(X_n\geq m)= \lfloor \varepsilon \sqrt{n}\rfloor+n\, o\left( {1\over \lfloor \varepsilon \sqrt{n}\rfloor}\right) = \lfloor \varepsilon \sqrt{n}\rfloor+o(\sqrt{n}).$$
En effet, par encadrement, on a facilement : $\lfloor \varepsilon \sqrt{n}\rfloor\sim \varepsilon \sqrt{n}$.

Pour $n$ assez grand, on a $o(\sqrt{n})\leq \varepsilon \sqrt{n}$. On a donc :
$$\forall \varepsilon >0,\ \exists n_0\in \N,\ \forall n\in \N, n\geq n_0 \Longrightarrow \left|E(R_n)\right|\leq 2\epsilon \sqrt{n} $$
c'est-\`{a}-dire : $E(R_n)= o(\sqrt{n})$.

\end{sol}





\begin{exo}
%{\bf Exercice 20}


Toutes les variables al\'{e}atoires de cet exercice sont d\'{e}finies sur un m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A},P)$.

Pour toute partie finie $S$ de $\N$, on note $|S|$ ou $\hbox{card}(S)$ son cardinal.

Soit un entier $m\geq 2$ et  $(X_n)_n$ une suite de variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes suivant toutes la loi uniforme discr\`{e}te sur $\[1,m\]$.

Pour tout $n\geq 1$, on note $U_n$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de valeurs distinctes prises par les variables $X_1, \ldots, X_n$, c'est \`{a} dire:
$$\forall \omega \in \Omega, U_n(\omega)=\hbox{card}(\{X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega)\})$$

\medskip

1. a) Pr\'{e}ciser $U_n(\Omega)$ en fonction de $n$ et $m$.
\smallskip

b) Calculer la probabilit\'{e} $P(U_n=1)$.
\smallskip

c) Calculer la probabilit\'{e} $P(U_n=n)$ en fonction de $n$ et $m$.

\medskip

2. Expliquer ce qu'affiche le script Scilab suivant:

\medskip

{\tt\obeylines\obeyspaces
1.  m=100

2.  n=50

3.  x=grand(1,n,'uin',1,m)

4.  T=[]

5.  for k=1: n

6.   \quad   z=members(x(k),T) // {\it z est un entier donnant le nombre de fois o\`{u} x(k) est dans T}

7.    \quad  if z==0 then

8.    \qquad      T=[T,x(k)]

9.   \quad   end

10. end

11. disp(gsort(T,'lc','i')) // {\it gsort permet de trier un vecteur}
}

\bigskip

3. a)  Montrer que $P([X_1 \neq X_n] \cap [X_2 \neq X_n]\cap \cdots \cap [X_{n-1} \neq X_n])=\dis \left({m-1\over m}\right)^{n-1}$.

\smallskip

b) On d\'{e}signe par ${\cal P}$ l'ensemble des parties non vides de $\[1,m\]$.
Pour $S\in {\cal P}$, on pose:
$$A_S=\{ \omega \in \Omega / \{X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega)\}=S\}$$

\smallskip

Montrer que:
$$\dis P([X_1 \neq X_n] \cap [X_2 \neq X_n]\cap \cdots \cap [X_{n-1} \neq X_n])=\sum_{S\in {\cal P}} P(A_S) \left( {m-|S|\over m}\right)$$


\medskip
4. a) En d\'{e}duire une expression de $E(U_{n-1})$ en fonction de $n$ et $m$.
\smallskip

b) D\'{e}terminer $\dis \lim_{n\to +\infty} E(U_n)$. Expliquer le r\'{e}sultat.
\smallskip

c) D\'{e}terminer $\dis \lim_{m\to +\infty} E(U_n)$. Expliquer le r\'{e}sultat.

\end{exo}

\begin{sol}


1. a) $U_n(\Omega)=\[1,\min(n,m)\]$.
\smallskip

b) On a : $[U_n=1]=\dis \bigcup_{k=1}^m ([X_1=k]\cap \cdots \cap [X_n=k])$. Par incompatibilit\'{e} puis par ind\'{e}pendance des $(X_i)$, on en d\'{e}duit : $P(U_n=1)= \dis m\left( {1\over m} \right)^n$.


c) $\bullet\ $ si $n>m$, l'\'{e}v\'{e}nement $[U_n=n]$ est impossible, donc $\dis P(U_n=n)=0$.

\par
$\bullet\ $ si $n\leq m$, l'\'{e}v\'{e}nement $[U_n=n]$ correspond \`{a} tirer $n$ valeurs distinctes parmi les $m$ valeurs propos\'{e}es. Ainsi de mani\`{e}re analogue au 1.b), on a : $\dis P(U_n=n)={m\choose n} \left({1\over m}\right)^n$.

\smallskip

2. Ce script simule le tirage de $X_1,\dots,X_n$ et renvoie la liste des valeurs prises par $U_n$, sans r\'{e}p\'{e}tition (la boucle permet d'ajouter au vecteur $T$ une valeurs qui n'appara\^{\i}t pas auparavant dans $T$), tri\'{e}es par ordre croissant.

\smallskip

3. a) Appliquons la formule des probabilit\'{e}s totales avec le syst\`eme complet $(X_n=a)_{a\in \[1,m\]}$ :
$$\eqalign{
P(X_1\not=X_n,\ldots,X_{n-1}\not=X_n)&= \sum_{a=1}^{m} P\Big((X_1\not=X_n,\ldots,X_{n-1}\not=X_n)\Big/X_n=a\Big)P(X_n=a)\cr
&= \sum_{a=1}^{m} P(X_1\not=a,\ldots,X_{n-1}\not=a)P(X_n=a) \ \hbox{ (ind\'{e}pendance)}\cr
&=\sum_{a=1}^{m} \Big(\frac{m-1}{m}\Big)^{n-1}\times \frac{1}{m}=\Big(\frac{m-1}{m}\Big)^{n-1}
}$$


\smallskip

b) On a $(X_1\not=X_n,\ldots,X_{n-1}\not=X_n)=\dis \bigcup_{S\in {\cal P}}
\Big(\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}=S\Big)\cap (X_n\notin S)$ (r\'eunion disjointe). Donc,
$$\eqalign{
P(X_1\not=X_n,\ldots,X_{n-1}\not=X_n)&=\sum_{S\in{\cal P}}P\Big((\{X_1,\ldots,X_{n-1}=S)\cap (X_n\notin S)\Big)\cr
&= \sum_{S\in {\cal P}} P\Big(\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}=S\Big)P\Big( (X_n\notin S)\Big) \ \hbox{(ind\'{e}pendance)}\cr
&= \sum_{S\in {\cal P}}P\Big(\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}=S\Big)\Big(\frac{m-|S|}{m}\Big)
}$$

\smallskip

4. a) On partitionne ${\cal P}$ en r\'{e}union disjointe de sous-ensembles de cardinal $k$.

 En remarquant que
$\dis \sum_{S\in {\cal P}, |S|=k} P(\{X_1, \ldots, X_{n-1}\}=S)=P(U_{n-1}=k)$, il vient:

$$\eqalign{
\sum_{S\in {\cal P}}
P\Big(\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}=S\Big)\Big(\frac{m-|S|}{m}\Big)&=
 \sum_{k=1}^{m} \sum_{S\in {\cal P}, |S|=k}
P\Big(\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}=S\Big)\Big(\frac{m-k}{m}\Big)\cr
&=\sum_{k=1}^{m}P(U_{n-1}=k)\Big(\frac{m-k}{m}\Big)=1-{1\over m}E(U_{n-1})
}$$


Ainsi, $\dis E(U_{n-1})=m (1-P(X_1\not=X_n,\ldots,X_{n-1}\not=X_n))=m\left(1-\left(1-\dis \frac{1}{m}\right)^{n-1}\right)$.

\smallskip

b) La suite $((1-\dis \frac{1}{m})^n)$ est g\'{e}om\'{e}trique de raison $q\in ]0,1[$ et  $\dis \lim_{n\to +\infty}E(U_{n})=m $.
Si $n$ est tr\`es grand par rapport \`a $m$, alors pour chaque valeur de
$\[1,m\]$ la famille des  $X_i$ prendra  toutes les valeurs de $\[1,m\]$ et on aura
$U_n=m$ presque s\^{u}rement \`a chaque tirage.

\smallskip


c) De l'\'equivalent $\dis 1-(1-x)^{\alpha} \build{\sim}{x\to 0}\alpha x$ , on d\'eduit que
$E(U_{n})\build{\sim}{m\to +\infty}m\times \dis \frac{n}{m}$. On en conclut: $\dis\lim_{m\to +\infty} E(U_{n})=n $.
Si $m$ est tr\`es grand face \`a $n$, les $X_1,\ldots,X_n$ se placeront sur $n$ valeurs du grand intervalle $\[1,m\]$ et ces valeurs seront presque s\^{u}rement deux \`{a} deux  distinctes.


\end{sol}




\begin{exo}
%\Sujet 10.  Probas

{\it On suppose que toutes les variables al\'{e}atoires de cet exercice sont  d\'{e}finies sur un espace probabilis\'{e} $\big(\Omega,{\cal A}, P\big)$}.
\medskip

{\it On rappelle} que la fonction $\Gamma$ est d\'{e}finie sur ${\R}_+^*$ par: $\forall\,x>0,\,\,\Gamma(x)=\dis\int_0^{+\infty}t^{x-1}\,\e^{-t}\,\hbox{d}t$.

\smallskip
{\it On admet sans d\'{e}monstration} que la fonction $\Gamma$ est de classe $C^{\infty}$ sur ${\R}_+^*$ et que pour tout $x>0$, on a $\Gamma^{\prime\prime}(x)>0$.

\medskip
Dans tout l'exercice, on note $X$ une variable al\'{e}atoire qui suit la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite.
\smallskip

On pose: $Y=|X|$ et $T=\sqrt{Y}=\sqrt{|X|}$.
\medskip


1.a) Montrer que la variable al\'{e}atoire $Y$ est \`{a} densit\'{e} et d\'{e}terminer une densit\'{e} $f_Y$ de $Y$.
\smallskip

b) Justifier que $Y$ admet une esp\'{e}rance et une variance que l'on calculera.

\medskip
2.a) Justifier que $T$ admet une esp\'{e}rance et une variance.
\smallskip

b) Calculer $E(T)$ \`{a} l'aide du th\'eor\`{e}me de transfert et du changement de variable $t=\dis{\,\,x^2\over 2}$.

Montrer que $V(T)=\dis\sqrt{2\over\pi}\Big(1-{1\over\sqrt{\pi}}\,\left(\Gamma\Big({3\over 4}\Big)\right)^2\Big)$.

3.a) \'{E}tablir l'existence et l'unicit\'{e} d'un r\'{e}el $\alpha\in\,]1,2\,[$ pour lequel on a $\Gamma^\prime(\alpha)=0$.

\smallskip
b) En d\'{e}duire le sens de variation de la fonction $\Gamma$ sur ${\R}_+^*$.
\smallskip

c) Justifier l'encadrement: $1<\Gamma\Big(\dis{3\over 4}\Big)<\pi^{\frac{1}{4}}$.
\medskip

4. Le programme {\it Scilab} suivant renvoie le r\'{e}el 1.2251307. Que repr\'{e}sente ce r\'{e}el ? Justifier votre r\'{e}ponse.



\medskip
\qquad {\tt n=100000}

\smallskip

\qquad {\tt S=sum((grand(1,n,'exp',1).\^{}(- 0.25)))/n}

%

\end{exo}

\begin{sol}

1.a) On a $Y(\Omega)={\R}_+$, donc $F_Y(x)=0$ si $x\leq 0$. De plus si $x>0$, en notant $\Phi$ la fonction de r\'{e}partition de la loi ${\cal N}(0,1)$, on a :
$$F_Y(x)=P(Y\leq x)=P(|X|\leq x)=P(-x\leq X\leq x)=\Phi(x)-\Phi(-x)=2\Phi(x)-1.$$

\smallskip

Ainsi $F_Y$ est continue sur $\R$ et de classe ${\cal C}^1$ au moins sur $\R^*$, donc $Y$ est \`{a} densit\'e et une densit\'e $f_Y$ est donn\'ee par $f_Y(x)=0$ si $x\leq 0$, et par  $f_Y(x)=\sqrt{\dis{2\over\pi}}\,\e^{-\frac{\,\,x^2}{2}}$ si $x>0$.

\smallskip

b) Pour tout $r\in{\N}$, l'existence de l'int\'{e}grale $\dis\int_0^{+\infty}x^r\e^{-\frac{\,\,x^2}{2}}\,\hbox{d}x$ est assur\'{e}e par le crit\`{e}re de Riemann

car $x^r\e^{-\frac{\,\,x^2}{2}}=o\Big(\dis{1\over x^2}\Big)$ quand $x$ tend vers $+\infty$. En particulier pour $r=1,2$, on a l'existence de $E(Y)$ et $V(Y)$.
\smallskip
On a: $E(Y)=\sqrt{\dis{2\over\pi}}\dis\int_0^{+\infty}x\,\e^{-\frac{\,\,x^2}{2}}\,\hbox{d}x=\sqrt{\dis{2\over\pi}}\,\dis\Big[-\e^{-\frac{\,\,x^2}{2}}\Big]_0^{+\infty}=\sqrt{\dis{2\over\pi}}\,\cdot$

\smallskip
D'autre part, $V(Y)=E(Y^2)-\big(E(Y)\big)^2=E(X^2)-\big(E(Y)\big)^2=1-\dis{2\over\pi}={\pi-2\over \pi}\,\cdot$
\medskip

2.a) On a $T(\Omega)={\R}_+$. La variable al\'{e}atoire $T$ admet un moment d'ordre $2$, puisque $T^2=Y$ et que $E(Y)$ existe. Par suite, $T$ admet un moment d'ordre $1$.

\medskip

b) $E(T)=\sqrt{\dis{2\over\pi}}\dis\int_0^{+\infty}\sqrt{x}\,\e^{-\frac{\,\,x^2}{2}}\,\hbox{d}x$. Le changement de variable $t=\dis{\,\,x^2\over 2}\Longrightarrow x=2^{\frac{1}{2}}\,t^{\frac{1}{2}}\Longrightarrow \hbox{d}x=2^{-\frac{1}{2}}\,t^{-\frac{1}{2}}\,\hbox{d}t$.

\smallskip
Par suite, $E(T)=\dis{2^{\frac{1}{2}}\over \pi^{\frac{1}{2}}}\dis\int_0^{+\infty}2^{\frac{1}{4}}t^{\frac{1}{4}}2^{-\frac{1}{2}}\,t^{-\frac{1}{2}}\,\e^{-t}\,\hbox{d}t={2^{\frac{1}{4}}\over \pi^{\frac{1}{2}}}\dis\int_0^{+\infty}t^{-\frac{1}{4}}\,\e^{-t}\,\hbox{d}t=\dis{2^{\frac{1}{4}}\over \sqrt{\pi}}\,\scriptstyle \times\dis \Gamma\Big({3\over 4}\Big)$.

\smallskip

D'autre part, $V(T)=E(T^2)-\big(E(T)\big)^2=E(Y)-\big(E(T)\big)^2=\sqrt{\dis{2\over\pi}}-\dis{\sqrt{2}\over\pi}\,\Gamma^2\Big({3\over 4}\Big)=\sqrt{2\over\pi}\Big(1-{1\over\sqrt{\pi}}\,\Gamma^2\Big({3\over 4}\Big)\Big)$.

\medskip

3.a) La fonction $\Gamma$ est continue sur $[1,2]$ et d\'{e}rivable sur $]1,2[$. De plus, $\Gamma(1)=\Gamma(2)=1$, donc, d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de Rolle, il existe $\alpha\in\,]1,2\,[$ tel que  $\Gamma^\prime(\alpha)=0$.
\smallskip
Or, $\forall\,x>0,\,\,\Gamma^{\prime\prime}(x)>0$ ($\Gamma$ est convexe), donc la fonction $\Gamma^\prime$ est strictement croissante sur ${\R}_+^*$.
\smallskip

Puisqu'il existe $\alpha\in\,]1,2\,[$ tel que  $\Gamma^\prime(\alpha)=0$, la stricte croissance de $\Gamma^\prime\Longrightarrow \alpha$ est le seul point qui annule $\Gamma^\prime$.

\smallskip

b) Il en r\'{e}sulte que sur $]0,\alpha[$, on a $\Gamma^\prime(x)<0$ et $\Gamma$ d\'{e}croissante, et sur $]\alpha,+\infty[$, $\Gamma^\prime(x)>0$ et $\Gamma$ croissante.



\smallskip

c) $1<\alpha<2$ et $\dis{3\over 4}<1\Longrightarrow\Gamma\Big(\dis{3\over 4}\Big)>\Gamma(1)=1$. D'autre part, $V(T)>0\Longrightarrow \Gamma\Big(\dis{3\over 4}\Big)<\pi^{\frac{1}{4}}$, d'o\`{u} l'encadrement.

\smallskip

4. Le programme renvoie une valeur approch\'{e}e de $\Gamma\Big(\dis{3\over 4}\Big)=E(U^{-\frac{1}{4}})$ par une m\'{e}thode de Monte-Carlo.
\smallskip

Il s'agit de la moyenne de 100000 r\'{e}alisations de $U^{-\frac{1}{4}}$ o\`{u} $U$ est une variable al\'{e}atoire qui suit la loi exponentielle de param\`{e}tre 1.

\end{sol}


\begin{exo}
% sujet 22. Probas

1.	Soit $U$ une variable al\'{e}atoire de loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite. On pose $X=U^2$ et on admet que $X$ est une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e}.

\medskip

 a)	Montrer qu'une densit\'{e} de $X$ est la fonction $f_X$ d\'{e}finie par :
$$f_X (x)=\cases{ \dis {e^{-x/2}\over \sqrt{2\pi x}} & si $ x>0$\cr\cr
0 & si $x \leq 0$
}$$

%On dit que $X$ suit la loi $\chi_1^2$ (lire "khi" deux d'ordre 1) .

\medskip

 b)	Montrer que, pour tout $n\in \N$, la variable al\'{e}atoire $X$ poss\`{e}de un moment d'ordre $n$ que l'on notera $m_n$.

\smallskip

 c)	Pour tout $n\in \N$, d\'{e}terminer une relation entre $m_{n+1}$ et $m_n$. En d\'{e}duire la valeur de $m_n$ pour tout $n\in \N$.

\bigskip

2. a)     Montrer que $\dis \int_{-1}^1 {du \over \sqrt{1-u^2}}$ converge et la calculer (on posera le changement de variable $u=\cos v$).
\medskip


 b)	Soit $x$ un r\'{e}el strictement positif. D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente la valeur de $\dis \int_{0}^x {dt \over \sqrt{t(x-t)}}$.
\medskip


 c)	Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes de m\^{e}me loi que $X$. D\'{e}terminer la densit\'e de $S=X_1+X_2$.
\medskip

3. a) 	Montrer que, pour tout $n\in \N$, la variable al\'{e}atoire $S$ poss\`{e}de un moment d'ordre $n$, not\'{e}  $\mu_n$, que l'on calculera.

\smallskip

b)	\`{A} l'aide d'une seconde expression de $E(S^n)$ d\'{e}termin\'{e}e \`{a} partir de l'\'{e}galit\'{e} $S^n=(X_1+X_2)^n$, \'{e}tablir l'\'{e}galit\'{e} suivante :
$$\sum_{k=0}^n {2k\choose k} {2n-2k\choose n-k}= 4^n$$

\end{exo}

\begin{sol}

1. a)	La variable al\'{e}atoire $X$ est \`{a} valeurs positives, donc en notant $F_X$ sa fonction de r\'{e}partition, $F_X (x)=0$ si $x\leq 0$, par continuit\'{e} de cette fonction. Par ailleurs,
si $x> 0$, $F_X (x)=P(U^2\leq x)=P(-\sqrt{x}\leq U\leq \sqrt{x})=\Phi(\sqrt{x})-\Phi(-\sqrt{x})=2\Phi(\sqrt{x})-1$. On obtient :

$$f_X (x)=\cases{\dis{1\over \sqrt{x}} \Phi' (\sqrt{x})={e^{-x/2}\over \sqrt{2\pi x}} & si  $x>0$\cr
0 & si  $x\leq 0$}$$

 b)     Pour tout  $n\in \N^*$, $x \to x^nf_X(x)$ est nulle sur $\R_-$, continue sur $\R_+$ et est positive et n\'{e}gligeable devant $1/x^2$ au voisinage de $+\infty$.

 \smallskip
 Au voisinage de $0^+$, $f(x)$ est \'{e}quivalent \`{a} $\dis \frac{C}{\sqrt{x}}$ dont l'int\'{e}grale converge.
\medskip


 c)	Pour $A>0$ on note $m_n (A)=\dis \int_0^A x^n f_X(x) dx$. Une int\'{e}gration par parties puis en faisant tendre $A$ vers $+\infty$, il vient: $ m_{n+1}=(2n+1) m_n$.

\medskip

	On a $m_0=E(1)=1$. La r\'{e}currence pr\'{e}c\'{e}dente donne:
$$m_n= (2n-1) (2n-3) \cdots 1= {(2n)!\over 2^n n!}$$

\bigskip


2. a)	La fonction cosinus d\'{e}finit une bijection strictement d\'{e}croissante de classe $C^1$ de $]0,\pi[$ sur $]-1,1[$. L'int\'{e}grale donn\'{e}e et celle obtenue par changement de variable sont de m\^{e}me nature. Il vient:

$$\int_{-1}^1 {du \over \sqrt{1-u^2}}= \int_{0}^{\pi} {\sin v\, dv \over \sqrt{1-\cos^2v}}=\int_{0}^{\pi} dv=\pi$$

 b)    Le changement de variable  affine $u= \dis{2t\over x}-1$ donne:

$$\int_{0}^x {dt \over \sqrt{t(x-t)}}= \int_{-1}^1 {du \over \sqrt{1-u^2}}=\pi$$

\medskip


 c)  On effectue un produit de convolution :
$$f_S(x)= \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X_1}(t) f_{X_2}(x-t) dt = 0 \hbox{ si } x\leq 0$$

et pour $x>0$

$$f_S(x)= \int_0^x {e^{-t/2}\over \sqrt{2\pi t}} {e^{-(x-t)/2}\over \sqrt{2\pi(x-t)}}dt=
{e^{-x/2}\over 2\pi} \int_{0}^x {dt \over \sqrt{t(x-t)}}= {e^{-x/2}\over 2}$$


La fonction $f_S$ ainsi d\'{e}finie est une densit\'{e} de probabilit\'{e} de loi exponentielle ${\cal E}(1/2)$.
\medskip

3. a) Le changement de variable affine $x=2t$ donne :
$$\mu_n=\frac12 \dis\int_0^{+\infty} x^n e^{-x/2}~{\rm d}x=2^n \dis\int_0^{+\infty} t^n e^{-t}~{\rm d}t=2^n\Gamma(n+1)=2^nn!.$$
%On utilise les propri\'{e}t\'{e}s de la fonction $\Gamma$. Le changement de variable affine $x=2t$ dans l'int\'{e}grale convergente d\'{e}finissant $\Gamma(n+1)=n!$ donne: l'\'{e}galit\'{e} $\mu_n= E(S^n)= 2^nn!$.

\bigskip

b)	Par la formule du bin\^{o}me et en utilisant la lin\'{e}arit\'{e} de l'esp\'{e}rance et l'ind\'{e}pendance de $X_1$ et $X_2$ :
$$E((X_1+X_2 )^n )=\sum_{k=0}^n {n\choose k} E(X_1^k )E(X_2^{n-k})= \sum_{k=0}^n {n\choose k} {(2k)!\over (2^k k!)}  {(2n-2k)!\over 2^{n-k} (n-k)!} $$ soit
$$ 2^n n!={n!\over 2^n}  \sum_{k=0}^n {(2k)!\over (k!)^2} {(2n-2k)!\over  ((n-k)!)^2} $$

En simplifiant par $n!$ et en passant le $2^n$ de droite \`{a} gauche, on reconna\^{\i}t l'\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e.

\end{sol}





\begin{exo}
%Sujet 34. Probas

Soit $X$ et $Y$ deux variables al\'eatoires d\'efinies sur le m\^eme espace  probabilis\'e $(\Omega,{\cal A},P)$ et ind\'{e}pendantes. On suppose que $X$ suit la loi binomiale ${\cal B}(2,1/3)$ et $Y$ suit la loi uniforme sur le segment $[0,1]$.
 On pose :
$$Z=8(X+Y),\;\; W=12XY.$$

 \medskip

1. D\'eterminer $Z(\Omega)$ et $W(\Omega)$.
 \medskip

2. Calculer $P(Z\in \N)$ ainsi que  $P(W\in \N)$.
  \medskip

3.a) Montrer que $P(Z>W)=1.$
  \medskip

b) En d\'eduire une comparaison entre les fonctions de r\'epartition de $Z$ et de $W$ sans les calculer.
   \medskip

4.   D\'eterminer la fonction de r\'epartition de $Z$. Les variables al\'{e}atoires $Z$ et $W$ sont-elles \`a densit\'e ?
 \medskip

 5. Compl\'eter le programme Scilab ci-dessous pour v\'{e}rifier le r\'{e}sultat du calcul de $P(Z>W)$ effectu\'{e} dans la question 3.a) \`{a} l'aide du r\'{e}sultat de $N$ simulations de chacune des variables al\'{e}atoires $Z$ et $W$.
 {\tt\obeylines\obeyspaces
N=input('N');

x=grand(1,N,'bin',2,1/3);

y=grand(1,N,'unf',0,1);

z=....

w=....

.........

.........
 }

%

\end{exo}

\begin{sol}

1. On a  $Z(\Omega)=W(\Omega)=[0,24]$.
 \medskip

2. Soit $k$ un entier naturel. En utilisant le syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $[X=0],[X=1], [X=2]$, on aura:
$$\eqalign{
P(Z=k)&=P(Z=k,X=0)+P(Z=k,X=1)+P(Z=k,X=2)\cr
&=P(Y=k/8)\times P(X=0)+P(Y=k/8-1)\times P(X=1)+P(Y=k/8-2)\times P(X=2)}.$$

Or $Y$ est une variable \`a densit\'e; on en d\'eduit que $P(Z=k)=0$ et $P(Z\in \N)=\dis \sum_{k=0}^{+\infty} P(Z=k)=0$.
\smallskip

De m\^eme,  $P(W\in \N)=P(W=0)=P(X=0)=4/9$.
  \medskip

3. a) On a:
$$\eqalign{
P(Z>W)&=P\big((Z>W)\cap (X=0)\big)+P\big((Z>W)\cap (X=1)\big)+P\big((Z>W)\cap (X=2)\big)\cr
&=P(8Y>0) P(X=0)+P(8(Y+1) > 12 Y) P(X=1)+P(8(Y+2)>24 Y ) P(X=2)\cr
&=P(Y>0)\times P(X=0)+P(2 >  Y)\times P(X=1)+P(1>Y )\times P(X=2)\cr
&=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)=1
}$$
Ainsi, $P(Z>W)=1$.
  \medskip

b) On en d\'eduit l'in\'egalit\'e presque partout : $Z>W$. Ainsi, pour tout $x$ r\'eel, on a presque s\^{u}rement
l'inclusion $[W\geq x]\subset [Z\geq x].$

Donc, $\forall x\in \R$, $P(W\geq x) \leq P(Z\geq x)$, ce qui entra\^{\i}ne que $F_Z(x) \leq F_W(x)$.



   \medskip

4.   Soit $x$ un r\'eel, on a :
$$\eqalign{
P(Z\leq x)&=P\big((Z\leq x)\cap (X=0)\big)+P\big((Z\leq x)\cap (X=1)\big)+P\big((Z\leq x)\cap (X=2)\big)\cr
&=P(Y\leq x/8)P(X=0)+P(Y\leq x/8-1)P(X=1)+P(Y\leq x/8-2)P(X=2)}$$

En conclusion :

$$\forall x\in \R, \;\;P(Z\leq x)= \cases{0 &si  $\;\; x<0$ \cr x /18 &si  $\;\;x\in [0,16[$ \cr
x/72+2/3 & si $\;\;x\in [16,24[$ \cr 1 &si  $\;\;x\geq 24$ \cr}$$

  \medskip

 La fonction de r\'epartition de $Z$ est continue sur $\R$, de classe $C^1$ sur $\R\setminus \{0,16,24\}$. On en conclut que $Z$ est une variable al\'{e}atoire \`a densit\'e.
 Par contre $W$ n'est pas \`a densit\'e puisque $P(W=0)=4/9\not=0$.




 \medskip

 5. On  propose un script pour calculer la fr\'equence not\'ee $f$ o\`u $Z>W$.

 {\tt\obeylines
N=input('N');

x=grand(1,N,'bin',2,1/3);y=grand(1,N,'unf',0,1);

z=8*(x+y)

w=12 *x.*y

a=find(z>w)

f=length(a)/N // (ou f=mean(a))

disp(f)
 }


Si on ne conna\^{\i}t pas la fonction {\tt find}, on peut \'{e}galement faire une boucle.

\end{sol}

\begin{exo}
% Sujet 52. Probas


Deux amis $A$ et $B$ peuvent se donner rendez-vous  dans trois lieux possibles num\'{e}rot\'{e}s $0,1$ et $2$. Chacun choisit un endroit au hasard. S'ils ne se retrouvent pas, ils recommencent en choisissant de nouveau un des trois lieux et ainsi de suite. Tous les choix sont ind\'ependants. On note $T$ le nombre d'\'etapes qu'il faut pour que les amis se  retrouvent. On mod\'elise cette situation en consid\'erant deux suites  $(X_n)_{n\geq 1}$ et $(Y_n)_{n\geq 1}$ de variables al\'eatoires d\'efinies sur le m\^eme espace probabilis\'e $(\Omega,{\cal A},P)$, ind\'ependantes et de m\^eme loi uniforme sur $\{0,1,2\}$.

Pour chaque $n\geq 1$, $X_n$ (resp. $Y_n$) repr\'{e}sente le choix de $A$ (resp. de $B$) \`{a} la $n$-i\`{e}me \'{e}tape.

\smallskip

Soit $T$  la variable al\'{e}atoire d\'{e}finie par:
$$\forall \omega\in \Omega,\;\;T(\omega)=\cases{
\hfill\quad 0 \hfill\quad &   si $ \forall n\in \N^*,\;\; X_n(\omega)\not= Y_n(\omega)$\cr
\min\{n\in \N^* \hbox{ tels que }  X_n(\omega)=Y_n(\omega)\} & sinon\hfill\quad
}$$


On note $F$ l'\'{e}v\'{e}nement : \<<les deux amis se rencontrent en un nombre fini d'\'etapes\>>.
 	
 \medskip

1.  D\'eterminer la loi de $T$ et en d\'eduire l'esp\'erance et la variance de $T$.
  \medskip

2. Montrer que $F$ est un \'{e}v\'{e}nement  quasi certain.
 \medskip

3.  Soit $p$ un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a 3. On g\'en\'eralise maintenant la situation pr\'ec\'edente : les deux amis peuvent se donner rendez-vous dans $p$ lieux possibles.
 On note $T_p$ le nombre d'\'etapes qu'il faut pour se retrouver.
\medskip

a) Mod\'eliser cette situation.
 \medskip

 b) Montrer que  l'\'{e}v\'{e}nement : \<<les deux amis se rencontrent en un nombre fini d'\'etapes\>> est quasi certain.
 \medskip

 c) On ne suppose plus que l'entier $p$ est fix\'{e}. \'Etudier la convergence en loi de la suite $(T_p/p)_p$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$.
  \medskip

 d) Compl\'eter le script Scilab ci-dessous pour simuler la variable al\'{e}atoire $T_p$.

  {\tt\obeylines
p=input('p');

X=grand(1,1,'uin',0,p-1);

Y=

n=

while

\quad n=

\quad X=

\quad Y=

end

disp(n)
 }

%

\end{exo}

\begin{sol}


1. Soit $n$ un entier naturel non nul. On a:  $P(T=n)=P(X_1\not=Y_1,\cdots,X_{n-1}\not= Y_{n-1},X_n=Y_n)$.
Par ind\'ependance des variables al\'{e}atoires, on obtient:
$$P(T=n)=P(X_1\not=Y_1)\cdots P(X_{n-1}\not= Y_{n-1})P(X_n=Y_n),$$
Les variables al\'eatoires suivant la m\^eme loi, on note $a=P(X_1=Y_1)$ et on a:

$$P(T=n)=a(1-a)^{n-1}.$$

Par ailleurs:
$$a=P(X_1=0,Y_1=0)+P(X_1=1,Y_1=1)+P(X_1=2,Y_1=2)=1/3.$$
Par cons\'equent, $T$ suit la loi g\'eom\'etrique de param\`etre $1/3$. Donc $E(T)=3$ et $V(T)=6$.

  \medskip

2. On a $P(F)=P(T\not= 0)=1$, donc $F$ est un \'{e}v\'{e}nement  quasi certain.
 \medskip

3. a) On mod\'elise cette situation  en consid\'erant deux suites  $(X_n)_{n\geq 1}$ et $(Y_n)_{n\geq 1}$ de variables al\'ealtoires d\'efinies sur le m\^eme espace  probabilis\'e $(\Omega,{\cal A},P)$, ind\'ependantes et de m\^eme loi uniforme sur $\[0,p-1\]$. On note $T_p$ la variable al\'{e}atoire d\'{e}finie par:
$$\forall \omega\in \Omega,\;\;T_p(\omega)=\cases{
\hfill\quad 0\hfill\quad &  si $ \forall n\in \N^*,\;\; X_n(\omega)\not= Y_n(\omega)$\cr
\min\{n\in \N^* \hbox{ tels que }  X_n(\omega)=Y_n(\omega)\} & sinon\hfill\quad
}$$

 \medskip

 b)  On note $F_p$ l'\'{e}v\'{e}nement : \<<les deux individus se rencontrent en un nombre fini d'\'etapes\>>.

 Soit $n$ un entier naturel non nul. On a: $P(T_p=n)=P(X_1\not=Y_1,\cdots,X_{n-1}\not= Y_{n-1},X_n=Y_n)$.


Par ind\'ependance des variables al\'{e}atoires, on obtient:
$$P(T_p=n)=P(X_1\not=Y_1)\cdots P(X_{n-1}\not= Y_{n-1})P(X_n=Y_n),$$
Les variables al\'eatoires suivant la m\^eme loi, on note $a_p=P(X_1=Y_1)$ et on a:

$$P(T_p=n)=a_p(1-a_p)^{n-1}.$$
Par ailleurs:
$$a_p=P(X_1=0,Y_1=0)+P(X_1=1,Y_1=1)+\cdots P(X_1=p-1,Y_1=p-1)=1/p.$$
Par cons\'equent, $T_p$ suit une loi g\'eom\'etrique de param\`etre $1/p$.
 \medskip

 c) Soit $x>0$, on a
 $$P\left({T_p\over p} \leq x\right)=1-P(T_p> px)=1-(1-1/p)^{\lfloor px\rfloor}$$
 $$=1-\hbox{exp}(\lfloor px\rfloor \ln(1-1/p))$$
Or
$$\frac{px-1}{p} < \frac{\lfloor px\rfloor}{p}\leq x\Rightarrow \lim_{p\to +\infty} \lfloor px \rfloor \ln \left( 1 - \frac{1}{p}\right)=-x$$

On en d\'eduit que la limite de $P(T_p/p \leq x)$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$ est $1-e^{-x}$.
On conclut que la suite $(T_p/p)_p$ converge en loi vers une loi exponentielle de param\`etre 1.
\medskip

 d)  On propose

  {\tt\obeylines
p=input('p');

X=grand(1,1,'uin',0,p-1);

Y=grand(1,1,'uin',0,p-1);

n=1

while X<> Y

\quad n=n+1

\quad X=grand(1,1,'uin',0,p-1);

\quad Y=grand(1,1,'uin',0,p-1);

end

disp(n)
 }


\end{sol}







\begin{exo}
% Sujet 13. Probas

Les variables al\'{e}atoires introduites sont suppos\'{e}es d\'{e}finies sur un m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega,{\cal A},P)$.
\smallskip


Dans une urne sont plac\'{e}es deux boules, une noire N et une rouge R. On effectue une suite de tirages d'une boule au hasard selon les modalit\'{e}s suivantes :
	\par
	$\bullet\ $  si la boule tir\'{e}e est noire:  on ne la remet pas dans l'urne (et la boule rouge sera n\'{e}cessairement
	tir\'{e}e au prochain tirage),
\par
$\bullet\ $  si la boule tir\'{e}e est rouge: on remet l'urne dans l'\'{e}tat initial, avec 2 boules, la noire et la rouge.

\medskip

Pour $n\in\N^*$, on note: $N_n$ (respectivement $R_n$) l'\'{e}v\'{e}nement : \<<la $n$-i\`{e}me boule tir\'{e}e est noire (respectivement rouge)\>>.

\medskip

1.  \'{E}crire un script Scilab qui mod\'{e}lise le tirage des $r$ premi\`{e}res boules obtenues ($r\geq 1$).

\medskip

2. Pour $n \geq 1$, on pose $a_n=P(N_n)$ et $b_n=P(R_n)$.
   \smallskip

   a) Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
   \smallskip

   b) En d\'{e}duire que $\dis b_{n+2}=\frac{1}{2}b_{n+1} + \frac{1}{2}b_{n}$ ainsi que les expressions
   de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.

   \medskip

3.   On note $X$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au rang de la premi\`{e}re boule noire
tir\'{e}e. Quelle est la  loi de $X$ ? Calculer son esp\'{e}rance et sa variance.

\medskip

4. Soit $n$ un entier donn\'{e} sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 1. On note $Z$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de boules noires tir\'{e}es lors des $n$ tirages cons\'{e}cutifs.


a)  Calculer l'intervalle $\[m_n,M_n\]$ des valeurs prises par $Z$.
         Calculer ensuite $P(Z=m_n)$ et $P(Z=M_n)$.
\medskip

b) On note $b_{n,k}$ le nombre de tirages de $n$ boules dont exactement $k$
sont noires et se terminent par le tirage d'une boule rouge (l'\'{e}v\'{e}nement $R_n$ est r\'{e}alis\'{e}).

 Exprimer successivement la probabilit\'{e}
 $P(R_n  \cap (Z=k) )$ puis la probabilit\'{e} $P(R_n)$ en fonction des $b_{n,k}$.


%

\end{exo}

\begin{sol}

1. Une proposition :
\smallskip

{\tt\obeylines\obeyspaces
1. r=10

2. Y=[]  //(liste des r boules)

3. for i=1:r

4. \quad   if i>1 \& Y(i-1)=="N" then Y(i)="R"

5.  \qquad  else if grand(1,1,"uin",1,2)==1 then  Y(i)="N"

6.   \qquad     else Y(i)="R"

7.     \quad    end

8.   end

9. end
}
\medskip

2. a) On a avec un syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements \'{e}vident : $N_{n+1}=(N_n \cap N_{n+1}) \cup(R_n \cap N_{n+1})$, donc
     $a_{n+1}=0 + \dis \frac{1}{2}b_n$.


  De la m\^{e}me mani\`{e}re: $R_{n+1}=(N_n \cap R_{n+1}) \cup(R_n \cap R_{n+1})
     \Rightarrow b_{n+1}=1 a_n + \dis\frac{1}{2}b_n$.

   \smallskip

   b)   Ainsi  $ \dis b_{n+2}=a_{n+1}+ \dis\frac{1}{2}b_{n+1}= \dis\frac{1}{2}b_n + \dis\frac{1}{2}b_{n+1} $, qui est une suite lin\'{e}aire d'ordre $2$. L'\'{e}quation caract\'{e}ristique est  $\dis\alpha^{2} - \frac{1}{2}\alpha - \frac{1}{2}=0$. Les racines sont 	
 $1$ et $-\dis\frac{1}{2}$ d'o\`{u}: $b_n=K_1 + K_2 (-\dis\frac{1}{2})^n$.

	On d\'{e}termine les deux constantes $K_1$ et $K_2$ en prenant $n=1$ et $n=2$ et en calculant $b_1,b_2$. Apr\`{e}s calculs
$	K_1=\dis\frac{2}{3}$ et $K_2=\dis\frac{1}{3}$ et
$$\left\{\matrix{
b_n=\dis\frac{2}{3} + \dis\frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n=1-a_n\cr
a_n=\dis\frac{1}{3} - \dis\frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n}\right.$$

\medskip


3. On a  $X(\Omega)=\N^{*}$. L'\'{e}v\'{e}nement  \<<tirer une premi\`{e}re boule noire au $n$-\`{e}me tirage\>> correspond \`{a} la suite:
$R_1R_2\cdots R_{n-1}N_n$ En utilisant les probabilit\'{e}s compos\'{e}es, on obtient:


$$P(X=n)=P(R_1)P_{R_1}(R_2)\cdots P_{R_1\cap R_2\cap\ldots\cap R_{n-1}}(N_n)=\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

Ainsi, $X$ suit  une loi g\'{e}om\'{e}trique ${\cal G}(\frac{1}{2})$ d'o\`{u}  $E(X)=V(X)=2$.

\medskip
4.a) On a  $Z(\Omega)=\[m_n=0, M_n=\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor\]$.

L'\'{e}v\'{e}nement  $(Z=0)$ est \'{e}gal \`{a} l'\'{e}v\'{e}nement $(R_1R_2\cdots R_n)$. Donc $P(Z=0)=\bigg(\dis\frac{1}{2}\bigg)^n$.
\smallskip

$\bullet\ $ si $n=2p+1$ est impair, on a $ M_n=p+1$ pour $[Z=N_1R_2N_3\cdots R_{2p}N_{2p+1}] $ et $P(Z=M_n)=\bigg(\dis\frac{1}{2}\bigg)^{M_n}$.

\par
$\bullet\ $ si $n=2p$ est  pair, alors $M_n=p $ et on diff\'{e}rencie les tirages selon la couleur de la derni\`{e}re boule:
\smallskip

$\qquad \diamondsuit$  un seul finit par une rouge: $N_1R_2\cdots N_{2p-1}R_{2p}$,
\smallskip

$\qquad \diamondsuit$  $p$ finissent par une noire: un est altern\'{e} et les $p-1$ autres contiennent 2 Rouge contigu\"{e}s:
$$\eqalign{
(R_1N_2R_3N_4\cdots & R_{2p-1}N_{2p})
		  \cup(N_1{\bf R_2R_3}N_4R_5\cdots R_{2p-1}N_{2p})\cr
&\cup(N_1R_2N_3{\bf R_4R_5}N_6\cdots R_{2p-1}N_{2p})
		  \cup\cdots \cup(N_1R_2N_3\cdots {\bf R_{2p-2}R_{2p-1}}N_{2p})}$$


D'o\`{u}: $\dis P(Z=M_n)=\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{p} + p \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{p+1}
					  = \bigg(2+ \frac {n}{2}\bigg)\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{p+1} $
\medskip

b) On a  $\dis P([Z=k] \cap R_n)=b_{n,k}\times \bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{k}\times 1^k.\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{n-2k}=
b_{n,k}\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{n-k}$,
car tous les tirages finissant par une boule rouge ont tous la m\^{e}me probabilit\'{e}. Donc:
$$ R_n=\bigcup_{k=m_n}^{M_n}(R_n \cap [Z=k]) \Rightarrow  P(R_n)=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n+1}{2})\rfloor} b_{n,k}.\bigg(\frac{1}{2}\bigg)^{n-k}$$

\end{sol}


\begin{exo}
%Sujet 25. Probas


1.   On consid\`{e}re deux variables al\'{e}atoires $Y$ et $Z$ ind\'{e}pendantes d\'{e}finies sur le m\^{e}me espace probabilis\'{e} $ (\Omega,{\cal  A}, P)$.  On suppose que $Y$ suit la loi exponentielle de param\`{e}tre  $\lambda >0$ et que $Z$ suit la loi exponentielle de param\`{e}tre  $\mu >0$.
\smallskip

a)  Donner une densit\'{e} de $-Y$.
\smallskip

b) Donner une densit\'{e} de $Z-Y$.
\smallskip

c) D\'{e}terminer la probabilit\'{e} $P(Y\leq Z)$.

\medskip

2.  Pour $n\in \N^*$, on consid\`{e}re  des variables al\'{e}atoires $X_1, \ldots X_n$  d\'{e}finies sur $ (\Omega. {\cal  A}, P)$, ind\'{e}pendantes,  telles que pour tout $i\in \[1,n\]$, $X_i$ suit la loi exponentielle de param\`{e}tre $\lambda_i>0$.

    On pose $M_n= \min(X_1, X_2, \ldots, X_n)$.
\medskip

a)  Montrer que $M_n$ est une variable al\'{e}atoire.
\smallskip

b)  D\'{e}terminer la loi de $M_n$.

  \medskip

3.a)  D\'{e}duire des questions pr\'{e}c\'{e}dentes la valeur de $P(X_i=M_n)$, pour tout $i\in \[1,n\]$.

\smallskip
b) Pour $i\in\[1,n\]$ donn\'{e}, la variable al\'{e}atoire $X_i-M_n$ est-elle \`{a} densit\'{e}?


\medskip

4.  On consid\`{e}re le script Scilab suivant :

{\tt \obeylines\obeyspaces

n=input('entrer une valeur de n : ')

c=0

for k=1:10 000

\hskip 1cm     X=[]

 \hskip 1cm   for i=1:n

 \hskip 2cm       X=[X,grand(1,1,'exp',1/i)]

\hskip 1cm    end

\hskip 1cm    m=min(X)

\hskip 1cm    if X(1)==m then c=c+1
\hskip 2cm    end

\hskip 1cm  end

disp(c/10000)
}


De quelle valeur le r\'{e}el affich\'{e} est-il proche ?

\end{exo}

\begin{sol}


1. a)  On a $-Y(\Omega)=\R^-$ et par le cours, une densit\'{e} de $-Y$ est $f_Y(-x)$. Soit:
$$f_{-Y}(x)=\cases{ 0 & si $x\geq 0$\cr
 \lambda e^{\lambda x} &si  $x< 0$
}$$

\smallskip

b)  On effectue un produit de convolution. L'int\'{e}grale $\dis \int_{-\infty}^{+\infty} f_Z(t) f_{-Y}(x-t) dt$ sera une densit\'{e} de $Z-Y$ si cette int\'{e}grale converge.

\smallskip

  Or $f_Z(t) \neq 0 \Leftrightarrow t\geq 0$ et $f_{-Y}(x-t)< 0 \Leftrightarrow x-t\leq 0$. Ce qui donne :

\par $\bullet\ $ si $x\leq 0$:
$$f_{Z-Y}(x)=\int_0^{+\infty} f_Z(t) f_{-Y}(x-t) dt =\int_0^{+\infty} \mu e^{-\mu t} \lambda e^{\lambda(x-t)} dt=\lambda \mu e^{\lambda x} \int_0^{+\infty}e^{-(\lambda+\mu)t} dt= \frac{\lambda \mu}{\lambda+\mu} e^{\lambda x}$$

\par $\bullet\ $ si $x\geq 0$:
$$f_{Z-Y}(x)= \int_x^{+\infty} \mu e^{-\mu t} \lambda e^{\lambda(x-t)} dt= \lambda \mu e^{\lambda x} \int_x^{+\infty}e^{-(\lambda+\mu)t} dt= \frac{\lambda \mu}{\lambda+\mu} e^{-\mu x}$$

\smallskip

c) On a
$P(Y\leq Z)= P(Z-Y \geq 0)= \dis \int_0^{+\infty} f_{Z-Y}(t) dt= \frac{\lambda}{\lambda +\mu}$.

\medskip

2. a) L'\'{e}v\'{e}nement $(M_n \geq x)$ est \'{e}gal \`{a} $\dis \bigcap_{i=1}^n [X_i \geq x]$ qui appartient \`{a} la tribu ${\cal A}$.
\smallskip

b)  Par ind\'{e}pendance, on a:
$$P(M_n \geq x) = \prod_{i=1}^n P(X_i \geq x)= \prod_{i=1}^n e^{-\lambda_i x}= e^{-(\lambda_1+\cdots +\lambda_n) x}$$

Ainsi,
$M_n$ suit la loi exponentielle de param\`{e}tre $\dis \sum_{i=1}^n \lambda_i$.

\smallskip

3.a)  On a l'\'{e}galit\'{e} des \'{e}v\'{e}nements $[X_i = M_n]$ et $[X_i \leq \min(X_1, \ldots, X_{i-1},X_{i+1}, \ldots, X_n)]$. Or la loi de $\min(X_1, \ldots, X_{i-1},X_{i+1}, \ldots, X_n)$ est la loi exponentielle de param\`{e}tre $\sum_{j\neq i} \lambda_j$. Donc, d'apr\`{e}s 1.c):

    $$P(X_i=M_n)=\frac{\lambda_i}{\dis\sum_{j=1}^n \lambda_j}$$
\smallskip

b) La variable al\'{e}atoire $X_i-M_n$ n'est pas \`{a} densit\'{e} car $P(X_i-M_n=0)\neq 0$.


\medskip

4.  La variable c contient le nombre de fois, sur les 10000 exp\'{e}riences r\'{e}alis\'{e}es, o\`{u} on a pris la plus petite valeur parmi les variables $X_1, \ldots, X_n$, c'est-\`{a}-dire le nombre de fois o\`{u} l'\'{e}v\'{e}nement $[X_1=M_n]$ est r\'{e}alis\'{e}. En divisant par 10000, la variable $c/10000$ contient donc une valeur approch\'{e}e de la probabilit\'{e} de cet \'{e}v\'{e}nement, c'est-\`{a}-dire, d'apr\`{e}s la question 3, une valeur approch\'{e}e de $\dis \frac{1}{\dis\sum_{i=1}^n i}= \frac{2}{n(n+1)}$.

\end{sol}


\begin{exo}
% Sujet 37. Probas


 Toutes les variables al\'{e}atoires de cet exercice sont d\'{e}finies sur un m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$.

Soit $X$ une variable al\'{e}atoire \`{a} valeurs dans $\N$. Pour tout $n \in \N$, on pose $\, p_n = P(X=n) \,$.                                                         \smallskip

On appelle {\sl fonction g\'{e}n\'{e}ratrice} de $X$ la fonction d'une variable r\'{e}elle $t$
d\'{e}finie par :
$$ G_X(t) = \E\bigl( t^X \bigr) = \sum_{n=0}^{+\infty} p_n\,{t}^n.$$

\medskip
1. a)  Justifier que la fonction $G_X$ est d\'{e}finie pour tout $t \in [\,0,1]$.
\smallskip

Soit $r\in \N^*$. On admet que si la s\'{e}rie $\dis \sum_{n\geq r} p_n\scriptstyle\times\dis n(n-1) \cdots (n-r+1) t^{n-r}$  converge en un
point $t_0 \in [\,0,1]$, alors $G_X$ est d\'{e}rivable $r$ fois sur $[0,t_0]$ et l'on a
$$\sum_{n=r}^{+\infty} p_n \scriptstyle\times\dis n(n-1) \cdots (n-r+1) t_0^{n-r}= G_X^{(r)}(t_0)$$

o\`{u} $G_X^{(r)}(t_0)$ repr\'{e}sente la d\'{e}riv\'{e}e $r$-i\`{e}me de $G_X$ en $t_0$.
\smallskip

b)   Montrer que $X$ admet une esp\'{e}rance $E(X)$ si et seulement si la s\'{e}rie d\'{e}riv\'{e}e terme \`{a} terme $\dis\sum_{n}np_nt^{n-1}$ converge pour $\, t = 1 \,$. Exprimer $E(X)$ en fonction de $G_X$.
\medskip

2. a)   D\'{e}terminer la fonction g\'{e}n\'{e}ratrice $G_Z$ d'une variable al\'{e}atoire $Z$ suivant
une loi g\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tre $p \in \left]\, 0,1 \right[$.
\smallskip

b)   Retrouver \`{a} l'aide de $G_Z$ la valeur de l'esp\'{e}rance de~$Z$.
\smallskip

c)  Pour tout $r \in \N$ et tout $x \in \left[ \,0,1 \right[$, d\'eterminer la valeur de
la somme:
$$ \Sigma_r(x) = \sum_{k=r}^{+\infty} {k\choose r}\,x^{k-r}.$$

\medskip

3.   On consid\`{e}re un sch\'{e}ma de Bernoulli de probabilit\'{e} de succ\`{e}s
$\, p \in \left] 0,1 \right[ $, et le jeu suivant (en notant $S$ pour succ\`{e}s,
$E$ pour \'{e}chec et $\, q = 1-p \,$).
\smallskip

On mise une somme~$M$. On r\'{e}alise les \'{e}preuves de Bernoulli ind\'{e}pendantes
successives et on gagne une somme (en Euros) $R$ \'{e}gale  \`{a} la longueur de la
premi\`{e}re s\'{e}quence oppos\'{e}e au premier r\'{e}sultat s'il y en a une, et z\'{e}ro sinon;
par exemple si les r\'{e}sultats des premi\`{e}res \'{e}preuves sont $\, SSSEEEEESS \dots \,$,
le premier r\'{e}sultat est un succ\`{e}s, donc $R$ vaut la longueur de la premi\`{e}re
s\'{e}quence d'\'{e}checs cons\'{e}cutifs, soit ici $\, R = 5 \,$.

\medskip

a)   D\'{e}terminer la loi de~$R$.
\smallskip

b)   On cherche la mise minimale $M_0$ pour que le casino organisateur du jeu ne
perde pas d'argent en moyenne. D\'{e}terminer la fonction g\'{e}n\'{e}ratrice de $R$,
calculer l'esp\'{e}rance de~$R$ et conclure.
\smallskip

c)   Retrouver ce r\'{e}sultat en calculant directement l'esp\'{e}rance de~$R$

%

\end{exo}

\begin{sol}

1. a)   Pour tout $t \in [0,1]$ et $n \in \N$, on a
$0 \leq p_n\,t^n \leq p_n$, terme g\'{e}n\'{e}ral d'une s\'{e}rie convergente (vers~$1$),
donc $\dis \sum_{n \geq 0} p_n\,t^n$ converge pour tout $t \in [0,1]$.

\smallskip

b) La variable  $X$ admet une esp\'{e}rance si et seulement si la s\'{e}rie $\dis \sum_{n \geq 0} n\,p_n$ converge
(absolument) si et seulement si la s\'{e}rie d\'{e}riv\'{e}e terme \`{a} terme
$\dis \sum_{n \geq 0} n\,p_n\,t^{n-1}$ converge en $t_0=1$, et on a alors
$E(X) = G'_X(1)$.

\medskip

2. a)   Si $Z \hookrightarrow {\cal G}(p)$, on a pour $|t| < \dis\frac 1q $, donc au moins sur
$[-1,1]$:
$$ G_Z(t) = \sum_{k=1}^{+\infty} p\,q^{k-1}\,t^k = p\,t \sum_{k=1}^{+\infty}
   (q\,t)^{k-1} = \frac{p\,t}{1-q\,t}  $$

   \smallskip

b) On a alors:
$$ G'_Z(t) = \frac{p}{(1-q\,t)^2} \Rightarrow G'_Z(1) = \frac{p}{(1-q)^2}
   \quad\hbox{\rm soit}\quad  E(Z) = \frac 1p  $$
\smallskip

c)   En d\'{e}rivant terme \`{a} terme $r$ fois la s\'{e}rie de somme $G_Z(t)$, on trouve
$$ \sum_{k \geq r} \big[ p\,q^{k-1}\,t^k \big]^{(r)} =
   p\,q^{r-1}\, \sum_{k \geq r} k\,(k-1)\dots(k-r+1)\,(q\,t)^{k-r} $$
qui converge pour $t \in \left[ 0,1/q \right[$ car
$$ 0 \leq  k\,(k-1)\dots(k-r+1)\,(q\,t)^{k-r} \sim k^r\,(q\,t)^{k-r}
  = o \big( 1/k^2 \big) $$

par croissances compar\'{e}es. Alors (par r\'{e}currence), on a:
$$ \eqalign{
   G_Z^{(r)}(t) &= \left[ \frac{p}{(1-q\,t)^2} \right]^{(r-1)} =
      \frac{r!\,p\,q^{r-1}}{(1-q\,t)^{r+1}}   \cr
   &= p\,q^{r-1}\, \sum_{k=r}^{+\infty} \Bigl[ k\,(k-1)\dots(k-r+1)\,(q\,t)^{k-r}
      \Bigr] =  r!\,p\,q^{r-1}\, \sum_{k=r}^{+\infty} {k\choose r}\,(q\,t)^{k-r}
} $$

soit, en posant $x=q\,t \in \left[ 0,1 \right[$,
$$ \Sigma_r(x) = \frac{1}{(1-x)^{r+1}}  $$

\medskip

3. a)   On a $\, R(\Omega) = \N \,$; en notant $L$ la longueur de la premi\`{e}re s\'{e}quence
(qui peut \^{e}tre constitu\'{e}e de succ\`{e}s ou d'\'{e}checs), pour $\, n \in \N^* \,$,
on a \`{a} l'aide du syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $\{L=k,\,k\in\N^*\}$ :
$$ P(R=n) = \sum_{k=1}^{+\infty} P\Bigl( (R=n) \cap (L=k) \Bigr) =
   \sum_{k=1}^{+\infty} \Bigl[ p^k\,q^n\,p + q^k\,p^n\,q \Bigr] =
   \frac{q^n\,p^2}{1-p} + \frac{p^n\,q^2}{1-q} =  p^2\,q^{n-1}+ q^2\,p^{n-1} $$

De plus, $R=0$ si et seulement si  on n'obtient que des succ\`{e}s ou que des \'{e}checs, \'{e}v\'{e}nements de
probabilit\'{e} nulle (par limite monotone), donc  $\, P(R=0) = 0 \,$.

\smallskip

b) $\bullet$   Pour $\, t \in [-1,1] \,$ (au moins),
$$ G_R(t) = E\bigl( t^R \bigr) = \sum_{n=1}^{+\infty} \Bigl[ P(R=n)\,t^n \Bigr]
   = \sum_{n=1}^{+\infty} \Bigl[ p^2\,q^{n-1}\,t^n + q^2\,p^{n-1}\,t^n \Bigr]
   = \frac{p^2\,t}{1-q\,t} + \frac{q^2\,t}{1-p\,t}  $$

$\bullet$   La fonction $G_R$ d\'{e}rivable en~$1$ car $\, 0 < p,q < 1 \,$, et
$$ E(R) = G_R'(1) = \left[ \frac{p^2}{1-q\,t} + \frac{p^2\,q\,t}{(1-q\,t)^2}
   + \frac{q^2}{1-p\,t} + \frac{q^2\,p\,t}{(1-p\,t)^2} \right]_{t=1} =  p+q+q+p = 2 $$
donc  $E(R) = 2$ et la mise minimale est $M_0 = 2$.

\smallskip
c)   Par d\'{e}rivation d'une s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique convergente, on obtient:
$$ \sum_{n=1}^{+\infty} \bigl[ n\,p^2q^{n-1} \bigr] = \frac{p^2}{(1-q)^2} = 1  $$
d'o\`{u} $\, M_0 = E(R) = 2 \,$.

\end{sol}



\begin{exo}
% Sujet 16. Probas


Toutes les variables al\'{e}atoires de cet exercice sont d\'{e}finies sur un espace probabilis\'{e}  $(\Omega,{\cal A},P)$.

\smallskip


1.  a) Soit $a$ et $b$ deux r\'{e}els tels que $a< b$. Soit un r\'{e}el $s\geq 0$. Montrer que:
$$\forall\,t\in [a,b],\,\,\e^{st} \leq\frac{b-t}{b-a} \e^{sa}+ \frac{t-a}{b-a}\e^{sb}$$

\smallskip
b) Soit  $X$ une variable al\'{e}atoire \`{a} valeurs dans $[a,b]$ telle que $E[X] = 0$.
Montrer  pour tout $s\geq 0$, l'existence de $E(\e^{sX})$ et que l'on a:
$$
\forall \,s \geq 0,\,\, E(\e^{sX}) \leq \frac{b}{b-a} \e^{sa} - \frac{a}{b-a} \e^{sb}=f(s)
$$

\smallskip
c)  On pose $g=\ln\circ f$. Montrer que $g$ est bien d\'{e}finie.

\smallskip
d) Montrer que $\forall \,s \geq 0,\,\,\dis g(s) =\int_0^s (s-u)\,g''(u) du$.
\smallskip

e) En d\'{e}duire que:
$$
\forall \,s \geq 0,\,\,E(\e^{sX}) \leq \exp \left( \frac{s^2 (b-a)^2}{8} \right).
$$

\medskip

2.  Soit $(a_1, \ldots, a_n,b_1, \ldots , b_n)$ des r\'{e}els tels que pour tout $i\in \[1,n\], a_i<b_i$. Soit $X_1, \dots, X_n$ des variables al\'{e}atoires mutuellement ind\'{e}pendantes telles que, pour tout $i \in \[ 1,n\]$,  $X_i(\Omega)= [a_i,b_i]$.

On pose: $S_n = X_1 + \dots + X_n$.

a) Montrer que le r\'{e}sultat de la question 1. e) reste valide si $X$ admet une esp\'{e}rance non nulle.
\smallskip

b) Montrer que, pour tout $t \geq 0$, on a :
$$
P(S_n - E(S_n) \geq t)
\leq \exp \left( - \frac{2 t^2}{\dis\sum_{i=1}^n (b_i-a_i)^2} \right).
$$

%

\end{exo}

\begin{sol}

1. a)  Par convexit\'{e} de la fonction $t \in [a,b] \mapsto \e^{st}$, on a:

$$
\e^{st} \leq \frac{b-t}{b-a} \e^{sa} + \frac{t-a}{b-a} \e^{sb}
$$

\smallskip
b) $E(\e^{sX})$ existe car $\e^{sX}$ est born\'{e}e. En passant \`{a} l'esp\'{e}rance,
$$
E(\e^{sX})\leq \frac{b}{b-a} \e^{sa} + \frac{-a}{b-a} \e^{sb},
$$
car $E(X)= 0$.

\smallskip
c) Notons  $g(s) = \ln\bigg(\dis\frac{b}{b-a} \e^{sa} + \frac{-a}{b-a} \e^{sb}\bigg)$. La fonction $g$ est bien d\'{e}finie sur $[a,b]$ continue et de classe $C^{\infty}$ sur $]a,b[$.

\smallskip
d)  On calcule les d\'{e}riv\'{e}es :
$$
g'(s) = \frac{ab (\e^{sa} - \e^{sb})}{b \e^{sa} - a \e^{sb}}
\quad \hbox{et} \quad
g''(s) = -ab \frac{(b-a)^2 \e^{s(a+b)}}{(b \e^{sa} - a \e^{sb})^2}.
$$
Or, par la formule de Taylor avec reste int\'{e}gral, on a:
$$
g(s) = g(0) + g'(0) s + \int_0^s (s-u) g''(u)  du.
$$
Remarquons alors que $g(0) = g'(0) = 0$. On obtient ainsi le r\'{e}sultat annonc\'{e}.

\smallskip
e) On a:

$$
g''(u) = -(b-a)^2 \frac{ab \e^{u(a+b)}}{(b \e^{ua} - a \e^{ub})^2}
= +(b-a)^2 \frac{xy}{(x+y)^2}=(b-a)^2 \left( \frac{x}{x+y}\right)\left( 1-\frac{x}{x+y}\right)\leq \frac{(b-a)^2}{4}
$$
avec $x = b \e^{ua} \geq 0$ et $y = - a \e^{ub} \geq 0$ (en effet on a $a \leq 0 \leq b$ car $E[X] = 0$).
Donc :
$$
|g(s)| \leq \int_0^s |g''(u) (s-u)| du \leq \frac{(b-a)^2 s^2}{8},
$$
ce qui donne le r\'{e}sultat souhait\'{e}.
\medskip

2.a)b)  On va utiliser une m\'{e}thode assez classique en probabilit\'{e} : on passe \`{a} l'exponentielle avec un facteur $s$ de chaque c\^{o}t\'{e} dans la probabilit\'{e}, puis on applique l'in\'{e}galit\'{e} de Markov et enfin on optimise en $s$.


Commen\c{c}ons par remarquer qu'on peut remplacer $X_i$ par $\tilde{X}_i = X_i - E[X_i]$, ce qui change $a_i$ et $b_i$ en $\tilde{a}_i = a_i - E[X_i]$ et $\tilde{b}_i = b_i - E[X_i]$ mais on a toujours $b_i-a_i = \tilde{b}_i-\tilde{a}_i$ : cela montre que l'on peut supposer sans perte de g\'{e}n\'{e}ralit\'{e} que $E[X_i] = 0$.
Pour $s \geq 0$, on a, par l'in\'{e}galit\'{e} de Markov:
$$
P(S_n \geq t)
= P(\e^{s S_n} \geq \e^{st})
\leq \frac{E(\e^{s S_n})}{\e^{st}}
$$

On a alors, par ind\'{e}pendance et en appliquant la question 1:
$$
E(\e^{s S_n}) = \prod_{i=1}^n E(\e^{s X_i})
\leq \prod_{i=1}^n \exp \left( \frac{s^2 (b_i - a_i)^2}{8} \right)
$$

On a donc montr\'{e} que:
$$
P(S_n \geq t)
\leq \exp \left( -st + \frac{s^2}{8} \sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2 \right).
$$
Finalement, on cherche la valeur de $s$ qui minimise cette expression et c'est :
$$
s = \frac{4 t}{\dis\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2},
$$
qui donne le r\'{e}sultat.
\end{sol}

% %%%%%%%%%%%

\chapter{Option BL}

\begin{exo}

Soit $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $2$ et $E=\R_n[X]$ l'espace vectoriel des polyn\^{o}mes r\'{e}els de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n$.

Soit $u$ l'application d\'{e}finie sur $E$ par:
$$\forall \,P\in E,\,\,u(P)(X)= XP(X+1)-(X-1)P(X)$$

\smallskip

1.a) Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$.

\medskip
b) \'Ecrire la matrice associ\'{e}e \`{a} $u$ dans la base canonique de $E$.

\smallskip
2.a) D\'{e}terminer les valeurs propres de $u$.
\smallskip

b) L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable ? Est-il inversible ?

\medskip
3. Soit $k\in \[1,n\]$ et  $P_k$ un polyn\^{o}me de degr\'{e} $k$ qui est vecteur propre de $u$.

a) Montrer que $0$ est racine de $P_k$.

\smallskip
b) D\'{e}terminer toutes les racines de $P_k$. En d\'{e}duire la forme de $P_k$.
\smallskip

c) D\'{e}terminer une base de vecteurs propres de $u$.


\end{exo}


\begin{sol}

1.a) L'application $u$ est manifestement lin\'{e}aire. On doit seulement v\'{e}rifier le degr\'{e} de $u(P)$.

Or $u(X^k)= X(X+1)^k-(X-1)X^k= X^{k+1}+kX^k +\cdots -X^{k+1}+X^k=(k+1)X^k + \cdots$
 ce qui montre que $\deg(u(X^k)= k$, ceci pour tout $k\in \[0,n\]$.

 \medskip
b) Soit $k\in \[0,n\]$. On a $u(1)= 1$ et pour $k\geq 1$, on a:
 $$u(X^k)= X(X+1)^k-(X-1)X^k= (k+1)X^k + \sum_{j=0}^{k-2} {k\choose j} X^{j+1}$$

 La matrice associ\'{e}e \`{a} $u$ est triangulaire sup\'{e}rieure avec $1,2, \ldots, n+1$ sur sa diagonale.

\smallskip
2.a)b)  L'endomorphisme $u$ admet $n+1$ valeurs propres distinctes. Il est diagonalisable et inversible puisque $0$ n'est pas valeur propre de $u$.

\medskip

3. a) On a vu que $u(1)=1$. La constante $P=1$ est vecteur propre de $u$ associ\'{e} \`{a} la valeur propre $1$.

\smallskip
 Soit $P_k$ de degr\'{e} $k\geq 1$, polyn\^{o}me propre. Il est associ\'{e} \`{a} la valeur propre $k+1$.
 Donc $XP_k(X+1)-(X-1)P_k(X)= (k+1) P_k(X)$. En \'{e}valuant en 0, il vient:
 $P_k(0)= (k+1)P_k(0) \Rightarrow P_k(0)=0$.

 \par
b) En \'{e}valuant en $-1$, il vient: $-P_k(0)+2P_k(-1)= (k+1) P_k(-1) \Rightarrow P_k(-1)=0$.

 On montre ainsi de suite que $0,-1, \ldots, -k+1$ sont des racines de $P_k$.

 \smallskip
 c) Comme $\deg(P_k)=k$, on a $P_k=\lambda_k \dis \prod_{j=0}^{k-1} (X+j)$.

\end{sol}

\begin{exo}

Soient $f$ et $g$ les fonctions d\'{e}finies par :
$$\forall x\in ]0,1[\cup]1,+\infty[,\ f(x)=\dis{\ln x\over 1-x} \ \hbox{ et } \forall\,x\in]0,+\infty[,\,\,\ g(x)=\dis{x\over {\rm{e}}^x-1}.$$

\medskip
1. a)  Montrer que $f$ se prolonge par continuit\'{e} en $1$ et que $g$ se prolonge par continuit\'{e} en $0$.
\medskip

Dans la suite, on d\'{e}signe par $f$ et $g$ les prolongements ainsi obtenus.
\smallskip

b) Montrer que : $\forall x\geq 0$, on a $\ 0\leq g(x)\leq 1$.
\medskip

2. On pose $L(x)=\displaystyle\int_1^x f(t)~{\rm d}t$.

a)  Montrer que $L$ est d\'{e}finie et d\'{e}rivable sur $]0,+\infty[$.
\smallskip

b) Montrer que $L$ est d\'{e}finie et continue en $0$.
\medskip

3. a) \`{A} l'aide du changement de variable $x=-\ln t$, montrer que $L(0)=\displaystyle\int_0^{+\infty} g(x)~{\rm d}x$.
\smallskip

b)  Pour tout entier $k \geq 1$, montrer la convergence de l'int\'{e}grale $\displaystyle\int_0^{+\infty} x{\rm{e}}^{-kx}~{\rm d}x$ et la calculer.
\smallskip

c)  Pour tout $n\in \N^*$, on admet la convergence de l'int\'{e}grale $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} {x{\e}^{-(n+1)x}\over 1-{\rm{e}}^{-x}}~{\rm d}x$.

Montrer que : $L(0)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \int_0^{+\infty} x{\rm{e}}^{-kx}~{\rm d}x + \displaystyle\int_{0}^{+\infty} {x{\rm{e}}^{-(n+1)x}\over 1-{\rm{e}}^{-x}}~{\rm d}x$.

\smallskip


d)  En admettant que $\dis\lim_{n\to +\infty} \int_{0}^{+\infty} {x{\rm{e}}^{-(n+1)x}\over1-{\rm{e}}^{-x}}~{\rm d}x=0$ et que $\dis\sum_{n=1}^{+\infty} {1\over k^2}=\dis{\pi^2\over 6}$, donner la valeur de $L(0)$.

\end{exo}

\begin{sol}

1. a)  Soit $x$ au voisinage de $1$. On pose $x=1-h$ et  $\ln x =\ln(1-h)$. On sait que $\dis \lim_{h\to 0} \frac{\ln(1-h)}{-h}=1$. Ainsi $\dis \lim_{x\to 1} \frac{\ln(x)}{x-1}=-1$. La fonction $f$ se prolonge par continuit\'{e} en $1$ par $f(1)=1$.

De la m\^{e}me fa\c{c}on,  $\dis \lim_{x\to 0}\frac{{\rm{e}}^{x}-1}{x}=1$. La fonction $g$ se prolonge par continuit\'{e} en $0$ par $g(0)=1$.
\smallskip

b) Comme ${\rm{e}}^{x}\geq 1$ pour $x\geq 0$, on obtient  $g(x)\geq 0$.

En \'{e}tudiant la fonction $x\mapsto {\rm{e}}^{x}-x-1$ (croissante sur $\R_+$ et nulle en $0$), on obtient  $g(x)\leq 1$.
\medskip

2. a)  La fonction $f$ est continue sur $]0,+\infty[$, donc le th\'{e}or\`{e}me fondamental du calcul int\'{e}gral indique que $L$ est d\'{e}finie et d\'{e}rivable (de d\'{e}riv\'{e}e $f$) sur $]0,+\infty[$.
\smallskip

b)  La fonction $f$ est continue sur $]0,1]$ donc la convergence de l'int\'{e}grale $L(0)$ ne pose probl\`{e}me qu'en $0$. Comme $\dis \lim_{t\to 0} t^{1/2} f(t) =0$, on a $|f(t)|\leq \dis \frac{1}{t^{1/2}}$ au voisinage de $0$. On conclut par la convergence des int\'{e}grales de Riemann.


\medskip

3. a) Par changement de variable $x=-\ln t$ (que l'on fera bien s\^{u}r sur un segment), on a :
$$\int_1^0 f(t)~{\rm d}t=\int_{+\infty}^0 \dis{\ln\left({{\rm{e}}^{-x}}\right)\over
1-{\rm{e}}^{-x}} (-{\rm{e}}^{-x})~{\rm d}x=\int_0^{+\infty} g(x)~{\rm d}x.$$
\smallskip


b)  Par int\'{e}gration par parties sur un segment $[0,X]$ puis en passant \`{a} la limite quand $X$ tend vers $+\infty$, on trouve :
$$\displaystyle\int_0^{+\infty} x{\rm{e}}^{-kx}~{\rm d}x=\dis{1\over k^2}.$$

\smallskip

c)  Pour tout $x>0$, par somme des termes d'une suite g\'{e}om\'{e}trique de raison diff\'{e}rente de $1$, on a :
$$ x\sum_{k=1}^n {\rm{e}}^{-kx}=x\dis{\e^{-x}-\e^{-(n+1)x}\over1-{\rm{e}}^{-x}}= g(x)-\dis{x{\rm{e}}^{-(n+1)x}\over 1-{\rm{e}}^{-x}}.$$
D'o\`{u} le r\'{e}sultat voulu en int\'{e}grant entre $0$ et $+\infty$, par lin\'{e}arit\'{e} de l'int\'{e}gration (tout converge).


\smallskip

d)  En passant \`{a} la limite quand $n$ tend vers $+\infty$, comme "tout converge", on obtient :
$L(0)=\dis{\pi^2\over 6}$

\end{sol}

\begin{exo}
On effectue une suite de tirages au hasard dans une urne, qui contient initialement une boule blanche et une boule noire, de la mani\`{e}re suivante :
\par
$\bullet\ $  \`{a} chaque tirage d'une boule blanche, on replace cette boule dans l'urne, puis l'on rajoute des boules blanches jusqu'\`{a} avoir multipli\'{e} par deux le nombre de boules blanches dans l'urne ;
\par
$\bullet\ $ si l'on tire la boule noire, on arr\^{e}te les tirages.
\medskip

Ainsi, le nombre de boules blanches dans l'urne est multipli\'{e} par deux \`{a} chaque \'{e}tape (sauf la derni\`{e}re). On admet que l'exp\'{e}rience al\'{e}atoire est mod\'{e}lis\'{e}e par un espace probabilis\'{e} $(\Omega,{\cal A},P)$. Pour tout $n\in \N^*$, on note $B_n$ l'\'{e}v\'{e}nement \<<les $n$ premiers lancers ne donnent que des boules blanches\>>, et l'on pose $u_n=P(B_n)$.
\medskip

1.  Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
\medskip

2. Pour tout $n\in \N^*$, montrer que : $P(B_n)=\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} {2^k\over 1+2^k}$.
\medskip

3.  On note $B$ l'\'{e}v\'{e}nement \<<les tirages  ne s'arr\^{e}tent jamais\>>.
\medskip

a)  Exprimer $B$ en fonction  des $B_n$.

 On admet que : $P(B)=\displaystyle \lim_{n\to +\infty} u_n$.
\smallskip

b) Pour tout $n\in \N^*$, montrer que : $-\ln(u_n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \ln\left(1+2^{-k}\right)$.
\smallskip

c)  Montrer la convergence de la s\'{e}rie $\displaystyle \sum_{k\geq 0} \ln\left(1+2^{-k}\right)$.
\smallskip

d)  En d\'{e}duire que $P(B)\neq 0$.

\end{exo}

\begin{sol}

1.  Il est clair que $B_{n+1}\subset B_n$, donc par croissance de la probabilit\'{e}, la suite $(u_n)$ est d\'{e}croissante. Comme cette suite est minor\'{e}e par $0$, elle converge, d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me de la limite monotone.
\medskip

2.  D'apr\`{e}s la formule des probabilit\'{e}s compos\'{e}es, on a :
$$\eqalign{
P(B_n)&=P_{B_{n-1}\cap \cdots\cap B_1}(B_n)\times P_{B_{n-2}\cap \cdots\cap B_1}(B_{n-1})\times \cdots \times P_{B_1}(B_2)\times P(B_1)\cr
&= P_{B_{n-1}}(B_n)\times P_{B_{n-2}}(B_{n-1}) \times \cdots \times P_{B_1}(B_2)\times P(B_1)\cr
&= \dis{2^{n-1}\over 1+2^{n-1}}\times \dis{2^{n-2}\over 1+2^{n-2}}\times \cdots \times \dis{2\over 1+2}\times \dis{1\over 1+1}\cr
&=\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} \dis{2^k\over 1+2^k},
}$$

puisqu'au $n$-i\`{e}me tirage l'urne comporte $2^{n-1}$ boules blanches et une noire.
\medskip

3. a) On a : $B=\displaystyle \bigcap_{n=1}^{+\infty} B_n$.
\smallskip

%Comme la suite $(B_n)$ est d\'{e}croissante pour l'inclusion, par continuit\'{e} d\'{e}croissante, on a :
 On admet que $\dis P(B)=\lim_{n\to +\infty} P(B_n)$.

\smallskip

b)  D'apr\`{e}s la question 2, on a :
$$-\ln(u_n)=-\sum_{k=0}^n \ln\left(\dis{2^k\over 1+2^k}\right)=\sum_{k=0}^n \ln\left(\dis{1+2^k\over 2^k}\right)=\sum_{k=0}^n \ln\left(1+2^{-k}\right).$$
\smallskip

c)  L'in\'{e}galit\'{e} classique : $\forall x>-1,\ \ln(1+x)\leq x$,
donne : $0\leq \ln\left(1+2^{-k}\right)\leq 2^{-k}$.

Comme la s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique $\dis\sum_{k\geq 0} 2^{-k}$ converge, par th\'{e}or\`{e}me de comparaison, il en est de m\^{e}me de la s\'{e}rie $\displaystyle \sum_{k\geq 0} \ln\left(1+2^{-k}\right)$.
\smallskip

d)  D'apr\`{e}s les deux questions pr\'{e}c\'{e}dentes, on a :
$$\displaystyle \dis\lim_{n\to +\infty} \prod_{k=0}^n \dis{2^k\over 1+2^k}=\exp\left(\sum_{k= 0}^{+\infty} \ln\left((1+2^{-k}\right)\right) =\ell>0.$$
D'apr\`{e}s les questions 2 et 3.a), on a donc : $P(B)=\ell>0$.

\end{sol}

\begin{exo}

%Dans tout l'exercice, on note $a$ et $b$ deux r\'{e}els tels que  $a<b$.

\smallskip

1.  Soit $h$ et $k$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ et \`{a} valeurs r\'{e}elles.

a)  En consid\'{e}rant pour tout r\'{e}el $x$ l'int\'{e}grale $\dis \int_a^b (x h(t)+k(t))^2 dt$,  \'{e}tablir l'in\'{e}galit\'{e} suivante :
$$\left( \int_a^b h(t) k(t) dt \right)^2 \leq \int_a^b \big(h(t)\big)^2 dt\times\int_a^b\big(k(t)\big)^2 dt$$

\smallskip

b) \`{A} quelle condition n\'{e}cessaire et suffisante cette in\'{e}galit\'{e} est-elle une \'{e}galit\'{e} ?

\medskip

2. a)   On consid\`{e}re une fonction $f$ de classe  $C^1$ sur $[a,b]$  et \`{a} valeurs dans $\R$. \'Etablir l'in\'{e}galit\'{e} suivante:
    $$\forall\,x\in [a,b],\,\,(f(x)-f(a))^2 \leq (x-a)\int_a^x \big(f'(t)\big)^2 dt$$

  b)  En d\'{e}duire l'in\'{e}galit\'{e}:

$$\dis\int_a^b\big(f(x)-f(a)\big)^2dx\leq {(b-a)^2\over 2}\int_a^b \big(f'(t)\big)^2 dt $$

3. a)  Utiliser la question pr\'{e}c\'{e}dente pour trouver un majorant de $\dis\int_0^1\big(\ln(1+x)\big)^2 dx$.
\smallskip

b)   Calculer $\displaystyle\int_0^1 (\ln(1+x))^2 dx$ et v\'{e}rifier la majoration pr\'{e}c\'{e}dente (on donne $\ln 2\approx 0.69$).
\medskip

4. On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral.

Quelles sont les fonctions pour lesquelles l'in\'{e}galit\'{e} obtenue \`{a} la question 2.b) est une \'{e}galit\'{e}?

\end{exo}

\begin{sol}


1. a)  On d\'{e}veloppe l'int\'{e}grale positive et on obtient un trin\^{o}me du second degr\'{e} en $x$, dont le discriminant $\Delta$ est n\'{e}gatif ou nul, puisque le trin\^{o}me reste positif pour tout r\'{e}el $x$ (int\'{e}grale sur $[a,b]$ d'une fonction continue positive).
\smallskip

b)   Il y a \'{e}galit\'{e} si, et seulement si, le discriminant est nul, c'est-\`{a}-dire si, et seulement si, il existe $x_0$ tel que   $\displaystyle \int_{a}^{b} (x_0h(t)+k(t) )^2 dt=0$. La fonction en jeu \'{e}tant continue et positive, cela entra\^{\i}ne qu'elle est identiquement nulle et donc que la famille des deux fonctions $(h,k)$ est  li\'{e}e.


\medskip
2. a)   Si $x=a$, l'in\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e est \'{e}vidente. Or, $f$ \'{e}tant de classe $C^1$ sur $\R$, on peut \'{e}crire
$$f(x)-f(a) =\int_a^x f'(t) dt$$

puis on peut appliquer  l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente aux fonctions $h : t \to f'(t)$ et $k : t \to 1$. On en d\'{e}duit  l'in\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e.

\smallskip

b)   Comme $f'^2$ est positive, on peut \'{e}largir  l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente, soit:

$$(f(x)-f(a))^2 \leq (x-a)\int_a^b f'^2(t) dt$$

Il reste \`{a} int\'{e}grer cette  in\'{e}galit\'{e} sur l'intervalle $[a,b]$.

\medskip

3. a) On choisit $a=0, b=1$ et $f : x \to \ln(1+x)$ qui est bien $C^1$ sur $[0,1]$. La question 2. b) donne alors
 $$\int_0^1 (\ln(1+x))^2 dx \leq \frac 1 2 \int_0^1 \frac{dt}{(1+t)^2} = \frac 1 4$$

\smallskip
b)  On fait une int\'{e}gration par parties avec des fonctions $C^1$. Il vient:

$$\int_0^1 (\ln(1+x))^2 dx= \left[ (1+x) \ln^2(1+x)\right]_0^1-2\int_0^1 \ln(1+x) dx= 2\ln^2 2 -2\int_0^1 \ln(1+x) dx$$

Or
$$\int_0^1 \ln(1+x) dx= \int_1^2 \ln (t) dt = \left[ t\ln (t)-t\right]_1^2=2\ln 2-1$$

Finalement $\displaystyle \int_0^1 (\ln(1+x))^2 dx=2(\ln2-1)^2<\frac 1 4$, car $\ln 2 \approx 0.69$

\medskip

4.   La seule fa\c{c}on d'avoir l'\'{e}galit\'{e}, c'est d'\^{e}tre dans le cas d'\'{e}galit\'{e} de la premi\`{e}re question, ce qui donne  $f(x)= mx+p$ (avec l'argument de continuit\'{e} de $f'$ qui permet de passer de $f'^2$  \`{a} $f'$ ). On trouve ensuite, en rempla\c{c}ant dans l'in\'{e}galit\'{e} de 2. b), qu'il faut (et c'est bien s\^{u}r suffisant) que $m=0$. Conclusion: seules les fonctions constantes donnent l'\'{e}galit\'{e}.

\end{sol}

\begin{exo}

 On pose pour tout $x$  r\'{e}el: $\dis f(x)= \int_0^1 \frac{\e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}dt$.
\smallskip

{\it On rappelle} que pour tout $t$ r\'{e}el, la d\'{e}riv\'{e}e de $t\longmapsto \hbox{Arctan}(t)$ est $t\longmapsto\dis{1\over 1+t^2}$.
\smallskip

1.  Pour tout r\'{e}el $t\in[0,1]$, on consid\`{e}re la fonction $g_t$ d\'{e}finie par:
 $$\forall \,x\in\R,\,\,g_t(x)= \e^{-x(1+t^2)}$$

 \par
 a)  Montrer que $\forall x \in [-\ln 2, \ln 2], |e^x-1| \leq 2|x|$.
 \smallskip


 b)  En d\'{e}duire que la fonction $f$ est continue sur $\R$ (on pourra \'{e}tudier la limite de $f(x+h)-f(x)$ lorsque $h$ tend vers  $0$).

\smallskip

c)  Montrer que pour tout $x>0$, on a:
 $$\e^{-2x} \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2} \leq f(x) \leq \e^{-x} \int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}$$

 En d\'{e}duire $\dis \lim_{x\to +\infty} f(x)$.

\medskip

 On admet dans la suite de l'exercice  que $f$ est d\'{e}rivable sur $\R$ et que pour tout $x$ r\'{e}el, on a:
 $$f'(x)= -\int_0^1 e^{-x(1+t^2)} dt$$
\smallskip

2.  Pour tout $x$ r\'{e}el, on pose $u(x)= f(x^2)$ et $\varphi(x)= u(x)+\left( \dis\int_0^x \e^{-t^2} dt \right)^2$.

 Montrer que la fonction $\varphi$ est constante sur $\R$ et d\'{e}terminer sa valeur.

\medskip

3.  En d\'{e}duire la valeur de $\dis \int_0^{+\infty} \e^{-t^2 } dt$.

\end{exo}
\begin{sol}

La fonction  $f$ est bien d\'{e}finie sur $\R$ car on int\`{e}gre une fonction continue sur le segment $[0,1]$.

1. a) Pour d\'{e}montrer ces in\'{e}galit\'{e}s, le plus simple est d'\'{e}tudier la fonction $x \to \e^x-1-2x$ sur $[-\ln 2, \ln 2]$.

\smallskip

b)  On \'{e}crit:
$$f(x+h)-f(x)= \int_0^1 \frac{\e^{-(x+h)(1+t^2)}}{1+t^2}dt-\int_0^1 \frac{\e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}dt
=\int_0^1 \frac{\e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\left( \e^{-h(1+t^2)}-1\right)dt$$

Comme $1+t^2 \in [1,2]$, pour $h$ assez petit ($|h|\leq \ln2/2$), on a $|h(1+t^2)|\leq \ln 2$ et en appliquant la question pr\'{e}c\'{e}dente, on a:
$$|f(x+h)-f(x)|\leq 2|h| \int_0^1 \e^{-x(1+t^2)} dt = C_x |h|$$

Ceci montre que $f$ est continue en $x$.
\smallskip

c)   On utilise encore $1+t^2 \in [1,2]$ donc pour $x>0$, $e^{-2x} \leq \e^{-x(1+t^2)} \leq e^{-x}$. On divise ensuite par une quantit\'{e} strictement positive, puis on utilise la croissance de l'int\'{e}grale.

    Ainsi $\dis\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.


\medskip
2. On calcule la d\'{e}riv\'{e}e de $\varphi$. D'abord celle de $u$:
$$u'(x)= 2xf'(x^2)=-2x\e^{-x^2} \int_0^1\e^{-x^2t^2} dt= -2\e^{-x^2} \int_0^x \e^{-v^2} dv$$

Donc,
$$\varphi'(x)= u'(x)+2\e^{-x^2} \int_0^x \e^{-t^2} dt=0$$

et $\varphi=C$. Comme $\varphi(0)=u(0)=f(0)=\pi/4$, il vient pour tout $x$ r\'{e}el $\varphi(x)=\dis \frac{\pi}{4}$.


\medskip
3. On fait tendre $x$ vers $+\infty$. On a $\dis \lim_{x\to +\infty} u(x)= \lim_{x\to +\infty} f(x)= 0$, donc,
$$\lim_{x\to +\infty} \left( \int_0^x \e^{-t^2} dt\right)^2= \frac{\pi}{4}$$

d'o\`{u} $\dis \left( \int_0^{+\infty} \e^{-t^2} dt\right)^2= \frac{\pi}{4}$. Par positivit\'{e} de l'int\'{e}grale, on obtient:
$$\int_0^{+\infty} \e^{-t^2} dt= \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

\end{sol}

\begin{exo}

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n= 2$. Un endomorphisme $f$ non nul de $E$ est dit {\sl nilpotent} s'il existe un entier $k$ tel que $f^k=0$.

\smallskip


Si $f$ est nilpotent, on appelle indice de nilpotence de $f$, le plus petit entier $p$ tel que $f^p=0$ (donc $f^{p-1} \neq 0$).
\smallskip


Une matrice de ${\cal M}_n(\R)$ est dite nilpotente si l'endomorphisme canoniquement associ\'{e} est nilpotent.
On d\'{e}finit de m\^{e}me son indice de nilpotence.
\medskip


1.   Dans cette question, on pose $\dis A =\pmatrix{ a & b \cr c & d}$ et on suppose que $A$ n'est pas la matrice nulle.


a)  Calculer $A^2-(a+d) A$ en fonction de $I_2$ o\`{u} $I_2$ d\'{e}signe la  matrice identit\'{e} de ${\cal M}_2(\R)$.

On suppose que $A$ est nilpotente.

\smallskip

b)  Montrer que $ad-bc=0$.
\smallskip

c)   Montrer que $a+d=0$.
\smallskip

d) D\'{e}terminer l'indice de nilpotence de $A$.

\medskip

2. Soit $f$ un endomorphisme de $E$.

a)  Montrer que si $\im (f) \subset \ker (f)$, alors $f^2=0$.
\smallskip

b)  \'Etudier la r\'{e}ciproque.
\smallskip

c)  Soit $f$ un endomorphisme nilpotent non nul de $E$. Donner la dimension de $\im(f)$ et celle de $\ker(f)$.

\medskip

3.  Dans cette question, on suppose que $f$ est un endomorphisme nilpotent
et qu'il existe  deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ non nuls et  nilpotents tels que $f= u\circ v$.

\smallskip

a)  Montrer que $\im (f)= \im (u)$ et que $\ker (v) = \ker (f)$.

\smallskip

b)  En d\'{e}duire que $\ker (u)= \im (v)$.
\smallskip

c) Que peut-on en  conclure?

\end{exo}

\begin{sol}



1. a)  Un calcul \'{e}l\'{e}mentaire donne $A^2-(a+d) A+ (ad-bc)I_2=0$.
\smallskip

b)  Si $ad-bc \neq 0$, la matrice $A$ est inversible car $A\times \dis\frac{1}{ad-bc}(A-(a+d)I_2)=I_2$. Or, si $A$ est nilpotente, si $p$ est son indice de nilpotence  et si $A^{-1}$ existe, alors:
    $$0= A^p \Rightarrow 0 = A^{-1} A^p= A^{p-1} $$
\smallskip

ce qui est absurde. Donc, $ad-bc=0$.

\smallskip
c)  On a donc $A^2= -(a+d) A$ et par r\'{e}currence, pour tout $n \geq 2, A^n= (-1)^{n+1} (a+d)^n A$. Si $a+d \neq 0$, alors, comme $A\neq 0$, pour tout $n\geq 1, A^n \neq 0$ en contradiction avec la nilpotence de $A$. Donc $a+d=0$.

\smallskip

d)  On a donc $A^2=0$ et $p\leq 2$. Mais $p\neq 1$ puisque $A\neq 0$. Donc $p=2$.

\medskip
2. a)  Comme $\im(f) \subset \ker (f)$, alors pour tout $x\in E, f(f(x))=0$, donc $f^2=0$.
\smallskip

b)  R\'{e}ciproquement si $f^2=0$, pour tout $x\in E, f(f(x))=0$ et $\im(f) \subset \ker (f)$.
\smallskip

c) Le th\'{e}or\`{e}me du rang entra\^{\i}ne que $\dim \im (f)= \dim \ker(f)$ et par les inclusions pr\'{e}c\'{e}dentes que $\ker(f)=\im(f)$. Chaque sous-espace est de dimension $1$.

\medskip

3.  Les trois endomorphismes $f,u$ et $v$ sont nilpotents sur un espace de dimension $2$. On a montr\'{e} dans les questions pr\'{e}c\'{e}dentes qu'alors $f^2=u^2=v^2=0$ et que $\im(f)=\ker(f)$, $\im(u)=\ker(u)$ et $\im(v)=\ker(v)$.
\smallskip

a)  Pour tout $x\in E$, $f(x)=u(v(x))$. Donc  $\im(f) \subset \im (u)$ et $\ker(v) \subset \ker(f)$.

 Aucun des trois endomorphismes n'\'{e}tant nul, on a \'{e}galit\'{e} dans les inclusions pr\'{e}c\'{e}dentes pour des raisons de dimension.

\smallskip

b)  Et comme $\im(f)=\ker(f)$, on a
$$\ker(v)=\im(v)=\ker(f)=\im(f)=\im(u)=\ker(u)$$

\smallskip

c)  Pour tout $x\in E$, $u(v(x))=0$ par la question pr\'{e}c\'{e}dente et donc $f$ est identiquement nul.

Il n'existe donc pas d'endomorphisme $u,$ nilpotent non nul tel que $f= u\circ v$.

\end{sol}

\begin{exo}

Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables al\'eatoires d\'{e}finies sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$,  ind\'ependantes suivant toutes la loi uniforme ${\cal U}(\[1,n\])$ o\`{u} $n$ est un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2.

On consid\`ere pour tout $\omega\in\Omega$,
$$
T_n(\omega) = \inf\{m\geq1/\{X_1(\omega),\dots, X_m(\omega)\}=\{1,2,\dots,n\}\},
$$

le plus petit entier $m$ tel que toutes les valeurs de 1 \`{a} $n$ sont apparues parmi $X_1(\omega),\dots, X_m(\omega)$.

\medskip
1.  Soit $k\in \[1,n\]$. On d\'{e}finit la variable al\'{e}atoire $\tau_k$ par:
$$\forall\,\omega\in\Omega,\,\,\dis \tau_k(\omega) = \inf\{{m\geq1}\ /\hbox{card}(\{X_1(\omega),\dots,X_m(\omega)\})=k\}$$

En particulier, $\tau_n=T_n$.

D\'{e}terminer, pour tout $k\in \[2,n\]$, la loi de $\tau_k-\tau_{k-1}$.

On admet que  les variables al\'{e}atoires  $(\tau_k-\tau_{k-1})_{2\leq k\leq n}$ sont ind\'ependantes.

\medskip
On suppose d\'{e}sormais que l'entier $n$ n'est plus fix\'{e}.

\medskip

2.  a) Calculer l'esp\'erance de $T_n$.
\smallskip

 On admet  qu'il existe une constante $\gamma>0$ telle que  :
$$\lim_{n\to +\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\dis\frac{1}{k}-\ln n\right)=\gamma$$
\smallskip


b) Calculer $\dis \lim_{n\to +\infty} \frac{E(T_n)}{n\ln n}$

\medskip

3.  Calculer la variance de $T_n$ et montrer qu'il existe un r\'{e}el strictement positif $a$ tel que $V(T_n)\leq an^2$.

\medskip
4.  Soit $\varepsilon >0$. Montrer que $\dis \lim_{n\to +\infty}P\left(\left|\frac{T_n}{n\ln n}-1\right|>\varepsilon\right)=0$.


\end{exo}
\begin{sol}


1.  On a $\tau_1=1$.
\par
On peut mod\'{e}liser notre probl\`{e}me (du collectionneur) de la mani\`{e}re suivante :

Une urne contient $n$ boules num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $n$. On en tire une avec remise et on note son num\'{e}ro.

La variable al\'{e}atoire  $(\tau_k-\tau_{k-1})$ repr\'{e}sente le temps d'attente pour obtenir un num\'{e}ro diff\'{e}rent des $(k-1)$ num\'{e}ros d\'{e}j\`{a} obtenus. Ainsi la loi de cette variable al\'{e}atoire est une loi g\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tre $1-(k-1)/n$ (temps d'attente du premier succ\`{e}s).

\medskip


2.  a) On a $T_n=\tau_1+\dis\sum_{k=2}^n(\tau_k-\tau_{k-1})$ et donc
$$
E(T_n)
 = 1+\sum_{k=2}^n E{(\tau_k-\tau_{k-1}})
= 1+\sum_{k=2}^n \frac{n}{n+1-k}
= 1+nH_{n-1}$$

 o\`u $H_n$ est la somme partielle de la s\'erie harmonique ; $\dis H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Or, on admet, on sait (ou on d\'{e}montre...) que
 $$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}= \ln n+ \gamma +o(1)$$

 o\`{u} $\gamma$ est la constante d'Euler.

 \smallskip

b) On a donc $\dis \lim_{n\to +\infty} \frac{E(T_n)}{n\ln n}=1$.
\medskip


3.  On a, par ind\'{e}pendance admise:
$$V(T_n)=\sum_{k=2}^n V(\tau_k-\tau_{k-1})
=\sum_{k=2}^n n \frac{k-1}{(n+1-k)^2}
= \sum_{i=1}^{n-1} n \frac{n-i}{i^2}
= n^2 \Biggl( \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i^2} \Biggr)
	- n \Biggl( \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i} \Biggr).
$$
On a donc $ V(T_n)\leq n^2 \dis\frac{\pi^2}{6}$.

\medskip

4.  Utilisons l'in\'{e}galit\'{e} de Bienaym\'{e}-Tchebychev. Pour $\varepsilon >0$, on a
$$
P\big({|T_n-E[T_n]|\geq\varepsilon n\log n}\big)
\leq\frac{{V}(T_n)}{(\varepsilon n\log n)^2}
\leq \frac{a}{\varepsilon^2\log(n)^2}
\dis\mathop{\to}_{n\to +\infty}0
$$

%Donc, $(T_n-E[T_n])/(n\log(n)) \to 0$ en probabilit\'e.
On utilise la question 2. b).
%Or $E(T_n)\sim n\log(n)$ quand $n\to\infty$,
Pour tout $\varepsilon>0$ on a $\{\vert T_n-n\log(n)\vert\geq2\varepsilon n\log(n)\}\subset\{\vert T_n-E(T_n)\vert\geq\varepsilon n\log(n)\}$ pour $n$ assez grand. Ceci  montre que
$$ \lim_{n\to +\infty}P\left(\left|\frac{T_n}{n\ln n}-1\right|>\varepsilon\right)=0$$

\end{sol}

\begin{exo}

Soient $N$ un entier naturel non nul et $(\Omega, {\cal F}, P)$ un espace probabilis\'{e}. On suppose que toutes les variables al\'{e}atoires sont d\'{e}finies sur $(\Omega, {\cal F}, P)$ et \`{a} valeurs dans $\[0,N\]$.

\medskip

Si $Z$ est une variable al\'{e}atoire \`{a} valeurs dans $\[0,N\]$, on pose:
$$
\forall \,s\in\R,\,\,G_Z(s) = E(s^Z)= \sum_{k=0}^N P(Z = k) s^k
$$

\medskip


1.   On suppose que $X$ suit une loi de Bernoulli de param\`{e}tre $p$ avec $0<p<1$. D\'{e}terminer $G_X$.

\medskip

2.  Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables al\'{e}atoires \`{a} valeurs dans $\[0,N\]$ et $G_X = G_Y$, alors $X$ et $Y$ suivent la  m\^{e}me loi.

\medskip

3. Soient $X$ et $Y$ deux variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes \`{a} valeurs dans $\[0,N\]$.

Exprimer $G_{X+Y}$ en fonction de $G_X$ et $G_Y$.

\medskip

4. D\'{e}terminer $G_Y$ lorsque $Y$ suit une loi binomiale de param\`{e}tres  $n$ et $p$.

\medskip


\medskip

5. Pour tout $n\in\N$, donner  le d\'{e}veloppement limit\'{e} \`{a} l'ordre $n$ en 0 de $x \mapsto (1 - x)^{-5}$ ( on exprimera les coefficients \`{a} l'aide des coefficients binomiaux).

\medskip

6.  Un \'{e}leveur poss\`{e}de $5$ lapines. Chacune des lapines engendre un nombre al\'{e}atoire de lapins. La lapine num\'{e}ro $i$ engendre $X_i$ lapins. On suppose que $X_1,\ldots,X_5$ sont des variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes et de m\^{e}me loi uniforme sur $\[1,7\]$. On note $Z$ le nombre total de lapereaux.

\smallskip

a) D\'{e}terminer une expression simple de $G_Z$.

\smallskip

b)  En d\'{e}duire la probabilit\'{e} que le nombre de lapereaux soit \'{e}gal \`{a} $20$.

\end{exo}
\begin{sol}


1.  Comme $X \sim {\cal B}(p)$, alors $G_X(s) = (1 - p) s^0 + p s^1 = p s + 1 - p$.

\medskip

2.  En utilisant la formule de Taylor polynomiale, pour tout entier $n \in \[0,N\]$,
$\displaystyle P(X = n) = \frac{G_X^{(n)}(0)}{n!}$.

Ainsi, si $G_X = G_Y$, les d\'{e}riv\'{e}es successives sont \'{e}gales et $X$ et $Y$ ont m\^{e}me loi.

\medskip

3.  D'apr\`{e}s l'ind\'{e}pendance, $P(X + Y = n) = \dis\sum_{k=0}^n P(X = k) P(Y = n- k)$. Alors,

$$\eqalign{
G_{X+Y}(s) &= \sum_{n=0}^{2N} \left(\sum_{k=0}^n P(X = k) P(Y = n-k)\right) s^n
= \sum_{n=0}^{2N} \sum_{k=0}^n \left(P(X = k) s^k\right) \left(P(Y = n-k) s^{n-k}\right) \cr
&= \left(\sum_{k=0}^N P(X = k) s^k\right) \cdot \left(\sum_{k=0}^N P(Y = k) s^k\right) = G_X(s) G_Y(s)
}$$

On peut \'{e}galement utiliser l'ind\'{e}pendance des fonctions $s^X$ et $s^Y$.

4. Comme $Y$ est binomiale, il existe $X_1,\ldots,X_n$ des variables al\'{e}atoires de loi de Bernoulli telles que $Y = \dis\sum_{i=1}^n X_i$. En utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente, $G_Y(s) = \dis\prod_{i=1}^n G_{X_i}(s) = (p s + 1 - p)^n$.

\medskip


5. D'apr\`{e}s les d\'{e}veloppements limit\'{e}s classiques,
$$\eqalign{
(1 - x)^{-5} &= 1 + \sum_{k=1}^n \frac{(-5) (-5-1) \cdots (-5-k+1)}{k!} x^k + o(x^n) \cr
&= 1 + \sum_{k=1}^n \frac{ (k+5-1)!}{4! k!} x^k + o(x^n) \cr
&= \sum_{k=0}^n  {k+4\choose k} x^k + o(x^n)
}$$


\medskip
6.  a) En utilisant l'ind\'{e}pendance des $(X_i)$ et les propri\'{e}t\'{e}s pr\'{e}c\'{e}dentes,
$$G_Z(x) = \left(\frac{x + \cdots + x^7}{7}\right)^5 = \frac{x^5}{7^5} (1-x^7)^5 (1-x)^{-5}$$

\smallskip

b) En utilisant la formule du bin\^{o}me et le d\'{e}veloppement limit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dent,
$$
G_Z(x) = \frac{x^5}{7^5} \left(\sum_{k=0}^5 (-1)^k {5\choose k} x^{7k}\right) \left(\sum_{k=0}^n  {k+4\choose k} x^k + o(x^n)\right).
$$
On recherche le coefficient de $x^{20}$ de $G_Z$ et on obtient, en n'oubliant pas le $x^5$ en facteur :
$$
\frac{ \dis{19\choose 15} -5 {12\choose 8} +5 {5\choose 2}}{7^5}
$$

\end{sol}

\begin{exo}

Toutes les variables al\'{e}atoires de cet exercice sont d\'{e}finies sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal F}, P)$.
\smallskip

Soit $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2  fix\'{e}. On consid\`{e}re une variable al\'{e}atoire $X_n$  telle que:
$$X_n(\Omega)=\N^* \,\,\hbox{et}\,\,\forall\, k \in \N^*,\,\, P(X_n=k)=a_{k-1}-a_k$$
 o\`{u} pour tout $k\in \N$,  $a_k=\dis 1-\left(1-\frac{1}{2^k}\right)^{n-1}$.
\medskip

1. a) Montrer que, pour tout $s$ fix\'{e} dans $\N^*$, la s\'{e}rie  $\dis\sum_k\left(\frac{1}{2^{s}}\right)^k$ est convergente.
\smallskip

b)  En d\'{e}duire que la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $a_k$ est convergente.
\smallskip

c)  Montrer que $X_n$ admet une esp\'{e}rance et que $E(X_n)=\dis\sum_{k=0}^{+\infty}a_k$.
\medskip

2. On admet  qu'il existe une constante $\gamma>0$ telle que  :
$$\lim_{n\to +\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\dis\frac{1}{k}-\ln n\right)=\gamma$$
\smallskip

a)  Soit $g_n$ la fonction d\'{e}finie sur $\R_+$ par $g_n(u)=\dis 1-\left(1-\frac{1}{2^u}\right)^{n-1}$. Montrer que pour tout $k \in \N^*$ :
$$a_k \leq \int_{k-1}^{k}g_n(u)du \leq a_{k-1}$$
\smallskip

b) En d\'{e}duire, pour tout entier $q\geq 2$,  un encadrement de $\dis \int_{0}^{q}g_n(u)du \quad (*)$.
\smallskip

c) Montrer que  pour tout $n$ de $\N^*$, $\dis \int_{0}^{+\infty}\big(1-(1-e^{-t})^n\big)dt$ converge. On note $I_n$ cette int\'{e}grale.

\smallskip

d) Pour tout $n$ de $\N^*$, calculer $I_{n+1}-I_n$. En d\'{e}duire que, pour tout $n$ de $\N^*$, $I_n=\dis\sum_{k=1}^{n}\dis\frac{1}{k}$.
\smallskip

e)  En effectuant le changement de variable, $t=u\ln2$ dans l'int\'{e}grale de l'encadrement $(*)$, montrer que:
$$E(X_n)-1 \leq \dis\frac{I_{n-1}}{\ln2} \leq E(X_n).$$
\smallskip

f)  Calculer $\dis \lim_{n\to +\infty} \frac{E(X_n)}{\ln n}$.

\end{exo}
\begin{sol}



1. a)  Soit $s \in \N^*$ fix\'{e}. On a: $0<\dis\frac{1}{2^s}<1$. Donc la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $(\dis\frac{1}{2^s})^k$ est une s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique convergente.
\smallskip

b) Soit $k \in \N$.
 $$a_k= 1-(1-\frac{1}{2^k})^{n-1}=1-\sum_{i=0}^{n-1}{n-1\choose i}(\frac{-1}{2^k})^i=\sum_{i=1}^{n-1}{n-1\choose i}(\frac{-1}{2^k})^i
 $$

 Ainsi, $a_k$ est la somme finie de termes g\'{e}n\'{e}raux de s\'{e}ries absolument convergentes et est le terme g\'{e}n\'{e}ral d'une telle s\'{e}rie.

 \medskip

 c)  Soit $q>1$. On a $\dis \sum_{k=1}^{q}k(a_{k-1}-a_k)=\sum_{k=1}^{q}((k-1)a_{k-1}-ka_k)+\sum_{k=1}^{q}a_{k-1}=-qa_q+\sum_{k=0}^{q-1}a_k$.

 On sait d\'{e}j\`{a} que $\sum\limits_{k \geq  0}a_k$ converge.

 De plus, $| qa_q |=\dis  \left| \sum_{i=1}^{n-1}{n-1\choose i}(-1)^i\dis\frac{q}{2^{qi}}\right| \leq   \sum_{i=1}^{n-1}{n-1\choose i}\frac{q}{2^{q}} \leq  2^{n-1}\frac{q}{2^{q}} $.

 Donc $\dis \lim_{q\to +\infty} qa_q=0$. La s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $k(a_{k-1}-a_k)$ est absolument convergente et de somme $\dis \sum_{k=0}^{+\infty}a_k$.
\medskip

2. a) On a $g_n'(u)=-\ln2 \times \Big(\dis\frac{1}{2}\Big)^u(n-1)(1-\Big(\dis\frac{1}{2}\Big)^u)^{n-2}<0$. Donc $g_n$ est strictement d\'{e}croissante sur $\R^+$. Le reste est classique.
\smallskip

b) On somme de $k=1$ \`{a} $k=q$ pour obtenir $\dis \sum_{k=1}^q a_k \leq \int_0^q g_n(u) du \leq \sum_{k=0}^{q-1} a_k$.

\smallskip

c)  Soit $n$ de $\N^*$. La fonction que l'on int\`{e}gre est continue sur $\R_+$.
% Au voisinage de $+\infty$, elle est \'{e}quivalente \`{a} $ne^{-t}$ dont l'int\'{e}grale converge.
On d\'{e}veloppe la puissance avec la formule du bin\^{o}me. Il vient
$$1-(1-e^{-t})^n= \sum_{k=1}^n (-1)^k{n\choose k} e^{-kt}$$
On obtient ainsi une somme finie de fonctions dont chacune admet une int\'{e}grale convergente.

\smallskip

d) Un calcul facile donne $ I_{n+1}-I_n=\dis\frac{1}{n+1}$. Donc
$$I_n=\sum_{k=1}^{n-1}(I_{k+1}-I_{k})+I_1=\sum_{k=1}^{n-1}\dis\frac{1}{k+1}+I_1=\sum_{k=0}^{n-1}\dis\frac{1}{k+1}$$
car  $I_1=1$.

\smallskip

e) On a:

$$\dis I=\int_{0}^{q}g_n(u)du=\int_{0}^{q} 1-(1-\dis\frac{1}{2^u})^{n-1}du=\int_{0}^{q}1-e^{(n-1)\ln(1-\frac{1}{2^u})}du.$$

On pose $t=u\ln2$. Donc $I=\dis\frac{1}{\ln 2}\int_{0}^{q\ln 2}1-(1-e^{-t})^{n-1}dt$.
On fait tendre $q$ vers $+\infty$ et on obtient, avec $a_0=1$ :

$$\sum_{k=1}^{+\infty}a_k \leq  \frac{I_{n-1}}{\ln 2}\leq  \sum_{k=0}^{+\infty}a_k \Leftrightarrow E(X_n)-a_0 \leq  \frac{I_{n-1}}{\ln 2}\leq  E(X_n) \Leftrightarrow 1 \leq  \frac{\ln 2\   E(X_n)}{I_{n-1}}\leq  1+\frac{\ln 2}{I_{n-1}}$$


Par le pr\'{e}ambule de la question 2,
$$\lim_{n\to +\infty} (I_{n-1}-\ln(n-1))=\gamma\ \hbox{ et } \ \lim_{n\to +\infty} \frac{\ln 2 E(X_n)}{I_{n-1}}=1$$
\smallskip

f) Finalement
$$\lim_{n\to +\infty} \frac{E(X_n)}{\ln n}= \frac{1}{\ln 2}$$

\end{sol}

\begin{exo}

Pour toute matrice $A\in {\cal M}_3(\R)$, on consid\`{e}re les ensembles suivants:
$$E_1(A)=\{M\in {\cal M}_3(\R) \hbox{ telles que } AM=M\}$$

$$E_2(A)=\{M\in {\cal M}_3(\R) \hbox{ telles que } A^2M=AM\}$$

\medskip
On note $I$ la matrice identit\'{e} de ${\cal M}_3(\R)$.

\medskip

1. Montrer que $E_1(A)$ et $E_2(A)$ sont des sous-espaces vectoriels de  ${\cal M}_3(\R)$.

\medskip

2. a) Montrer que si $A$ est inversible, alors $E_1(A)=E_2(A)$.

\smallskip

b) D\'{e}terminer $E_1(A)$ lorsque $A-I$ est inversible.

\medskip
3. On consid\`{e}re la matrice $C=\dis \pmatrix{ 3 & -2 &-1\cr 1 &0 & -1\cr 2 & -2 & 0}$.

\smallskip
a) D\'{e}terminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $C$.

\smallskip
b) Determiner une matrice inversible $P$ et une matrice  diagonale $D$ telles que $C=PDP^{-1}$ (les coefficients diagonaux de $D$ sont rang\'{e}s dans l'ordre croissant).

\smallskip

4. Soit $M\in {\cal M}_3(\R)$ et $N=P^{-1}M$.

a) Montrer que $M\in E_1(C)$ si et seulement si $N\in E_1(D)$.

\smallskip
b) D\'{e}terminer $E_1(D)$.
\smallskip

c) En d\'{e}duire la dimension de $E_1(C)$.

\end{exo}
\begin{sol}

1. Question \'{e}l\'{e}mentaire.
\medskip

2. a) On a l'inclusion $E_1(A)\subseteq E_2(A)$. Si $A$ est inversible, on multiplie par $A^{-1}$ \`{a} gauche pour obtenir l'inclusion r\'{e}ciproque

\smallskip
b) On remarque que $M\in E_1(A)\Longleftrightarrow (A-I)M=0$. Donc  $A-I$ inversible $\Longrightarrow E_1(A)=\{0\}$.

\medskip

3. a) Les valeurs propres de la matrice $C$ sont $0,1,2$ de vecteurs propres associ\'{e}s $\dis \pmatrix{1 \cr 1 \cr 1}, \pmatrix{1 \cr 1 \cr 0}$ et $\dis \pmatrix{1 \cr 0 \cr 1}$.

\smallskip

b) La matrice diagonale est $\dis \pmatrix{ 0 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0\cr 0 & 0& 2}$ et la matrice $P$ est constitu\'{e}e des vecteurs propres calcul\'{e}s pr\'{e}c\'{e}demment.

\medskip
4. a) On a:
$$CM=M \Leftrightarrow PDP^{-1}M=M \Leftrightarrow DP^{-1}M=P^{-1}M \Leftrightarrow DN=N$$

\smallskip
b) On pose:    $N=\dis \pmatrix{ a & b & c\cr a' & b' & c'\cr a'' & b''& c''}$.
On a alors:
$$DN=\pmatrix{ 0 & 0 & 0\cr a' & b' & c'\cr 2a'' & 2b''& 2c''}= \pmatrix{ a & b & c\cr a' & b' & c'\cr a'' & b''& c''}
\Leftrightarrow N= \pmatrix{ 0 & 0 & 0\cr a' & b' & c'\cr 0 & 0& 0}$$

On remarque que $E_1(D)$ est un espace de dimension $3$.

\smallskip

c) On v\'{e}rifie que l'application $M\to N=P^{-1}M$ est un isomorphisme de $E_1(C)$ sur $E_1(D)$ (c'est implicitement fait dans la question 4. a). Ainsi $\dim E_1(C)=3$.

\end{sol}

\begin{exo}

Toutes les variables al\'{e}atoires de cet exercice sont d\'{e}finies sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$.

%On note $X$  une variables al\'{e}atoire r\'{e}elle \`{a} valeurs dans $\N$.


Soit $X$ une variable al\'{e}atoire r\'{e}elle.
Pour $n\in \N^*$, on appelle moment d'ordre $n$ de $X$, le r\'{e}el $m_n(X)= E(X^n)$, lorsque ce r\'{e}el existe.

On note $M_X(t)=E(e^{tX})$ pour les r\'{e}els $t$ pour lesquels cette esp\'{e}rance existe.



\medskip

1. Soit $\lambda>0$.

a) D\'{e}terminer $M_X(t)$ lorsque $X$ suit la loi de Poisson de param\`{e}tre $\lambda$.
\medskip

b) Pour $n$ entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 1, soit $X_1, \ldots, X_n$, $n$ variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes, de m\^{e}me loi de Bernoulli de param\`{e}tre $\lambda/n$. On pose $S_n=\dis \sum_{i=1}^n X_i$.

 D\'{e}terminer $ M_{S_n}(t)$, puis  $\dis \lim_{n\to +\infty} M_{S_n}(t)$.
Que constate-t-on ?
\medskip

2. D\'{e}terminer $M_X(t)$ lorsque $X$ suit la loi normale ${\cal N}(0,1)$.

\medskip

3. a) Calculer $M_X(t)$ lorsque  $X$ suit la loi uniforme sur $[0,1]$.
\smallskip

b) Dans cette question, $X_n$ suit la loi uniforme sur $\[1,n\]$ et $Y_n=\dis {1\over n} X_n$ ($n\in\N^*)$.

D\'{e}terminer $M_{Y_n}(t)$, puis $\dis \lim_{n\to +\infty} M_{Y_n}(t)$. Que constate-t-on ?

\end{exo}
\begin{sol}


1. a) Utilisons les d\'{e}finitions donn\'{e}es. Pour tout r\'{e}el $t$, on a:
$$M_X(t)= E(e^{tX})= e^{-\lambda}\sum_{k\geq 0} e^{tk}{\lambda^k\over k!}=
e^{-\lambda}\sum_{k\geq 0} {(e^t\lambda)^k\over k!}= e^{-\lambda}\times e^{\lambda e^t}$$

\smallskip
b) On sait que $S_n$ suit la loi binomiale de param\`{e}tres $(n,\lambda/n)$. Ainsi:
$$M_{S_n}(t)=\sum_{k=0}^n e^{tk} {n\choose k}\left( {\lambda\over n}\right)^k \left( 1-{\lambda\over n}\right)^{n-k}= \left( {\lambda \over n} e^t +1-{\lambda \over n}\right)^n$$

Ainsi, en utilisant un DL de la fonction $\ln$ \`{a} l'ordre $1$, il vient:
$$M_{S_n}(t)=\hbox{exp}\left( n \ln \left( 1+{\lambda \over n} (e^t-1)\right)
\right) \build{\rightarrow} {n\to +\infty} e^{\lambda(e^t-1)}= M_X(t)$$

\medskip

2. On suppose que $X\hookrightarrow{\cal N}(0,1)$. Alors:
$$M_X(t)= {1\over \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{tx} e^{-t^2/2} dt=
e^{x^2/2} {1\over \sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}  e^{-(t-x)^2/2} dt= e^{x^2/2}$$

\medskip

3. a) Un calcul simple donne $\dis E(e^{tX})= \int_0^1 e^{tu} du= {e^t-1\over t}$ avec prolongement par continuit\'{e} en $0$.
\smallskip

b) De nouveau, comme $Y_n(\Omega)= \{1/n, 2/n, \ldots, n/n\}$, on a:
$$M_{Y_n}(t)= E(e^{X_n/n})= \sum_{k=1}^n e^{tk/n} P(X_n=k)={1\over n}\sum_{k=1}^n e^{tk/n}=
{1\over n}\ e^{t/n}\times {e^t-1\over e^{t/n}-1} \build{\rightarrow} {n\to +\infty}
{e^t-1\over t}=E(e^{tX})$$

\end{sol}

\begin{exo}

Toutes les variables al\'{e}atoires de cet exercice sont d\'{e}finies sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega, {\cal A}, P)$.
\medskip

1.  Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\R$ par $f(x)= e^{-x}e^{-e^{-x}}$. Montrer que $f$ est une densit\'{e} (on pourra utiliser le changement de variable $u=e^{-x}$).
%{\em Indication : on pensera au changement de variable $u=e^{-x}$.}
\medskip

2. Soit $X$ une variable al\'{e}atoire de densit\'{e} $f$.

a) D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $F$ de $X$.


\medskip
b) \`A l'aide d'un d\'{e}veloppement limit\'{e}, d\'{e}terminer un fonction $h$ telle :
$$\lim_{x\to +\infty} \frac{P(X\geq x)}{h(x)}=1.$$

\medskip
3. Soit $U$  une variable al\'{e}atoire suivant la loi uniforme sur $]0,1[$ et $V=-\ln(-\ln U)$.
\smallskip
D\'{e}terminer la loi de $V$.

\medskip

4. Soit $(Y_n)$ une suite de variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes de loi exponentielle de param\`{e}tre $1$. D\'{e}terminer pour tout $x\in \R_+$:
$$\lim_{n\to +\infty} P(\max(Y_1, \ldots, Y_n)-\ln n\leq x)$$

\end{exo}

\begin{sol}
1.) La fonction $f$ est continue sur $\R$ et positive. Par abus d'\'{e}criture, on a:
%De plus, le changement de variable $u=e^{-x}$ de classe $C^1$ et bijectif donne:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x}e^{-e^{-x}} dx= [e^{-e^{-x}}]_{-\infty}^{+\infty}=1.$$

On fera attention a effectuer le changement de variable sur une segment.
\medskip


2.a) On d\'{e}termine $F_X$ en int\'{e}grant $f$. Il vient $\forall\,x\in\R,\,\,F_X(x)= e^{-e^{-x}}$.


\medskip
b) Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $e^{-x}$ tend vers $0$. Le d\'{e}veloppement limit\'{e} de $e^u$ en 0 est $e^u= 1+u +o(u)$.

$$P(X\geq x)=1-F(x)= 1- e^{-e^{-x}}= 1-(1-e^{-x}+ o(e^{-x}))=e^{-x}+ o(e^{-x})$$

On pose donc $h(x)= e^{-x}$.

\medskip

3.  On utilise la m\'{e}thode de la fonction de r\'{e}partition. On a $V(\Omega)= \R$ et pour tout $x$ r\'{e}el, on a:

$$P(V\leq x)= P(-\ln(-\ln(U))\leq x)= P(-\ln(U) \geq e^{-x})= P(\ln(U) \leq -e^{-x})=P(U\leq e^{-e^{-x}})=F(x)$$

Ainsi, $V$ suit la loi de $X$.


\medskip

4. Calculons la loi de $Z_n=\max(Y_1, \ldots, Y_n)$ en utilisant la m\^{e}me m\'{e}thode. On a
$\dis [Z_n\leq x]=\bigcap_{i=1}^n [Y_i \leq x]$ et par ind\'{e}pendance, il vient:
$$P([Z_n\leq x])=\prod_{i=1}^n P(Y_i \leq x)= F_Y(x)^n=
\cases{ 0 & si $x<0$\cr
        (1-e^{-x})^n & si $x\geq 0$
        }$$

Ainsi, pour tout r\'{e}el $x$, pour $n$ assez grand tel qu $\ln n +x>0$, on a:
$$P(Z_n-\ln n \leq x)= P(Z_n\leq \ln n +x)= (1-e^{-\ln(n)-x})^n=\left( 1-{e^{-x}\over n}\right)^n$$

Un dernier d\'{e}veloppement limit\'{e} permet d'\'{e}crire:

$$\hbox{exp}\left(  n\ln \left( 1-{e^{-x}\over n}\right)\right)= \hbox{exp} \left( n\left(-{e^{-x}\over n}+o\left({1\over n}\right)\right)\right)  \to e^{-e^{-x}}$$

\end{sol}

\begin{exo}

 Deux urnes $U_1$ et $U_2$ contiennent {\sl \`{a} elles deux} $2$ boules indiscernables.
\`{A} chaque \'{e}tape, on choisit de mani\`{e}re \'{e}quiprobable un nombre de $\[1,2\]$.
\smallskip
\par
$\bullet\ $ Si ce nombre est inf\'{e}rieur ou \'{e}gal au nombre de boules contenues dans $U_1$, on prend une boule de $U_1$ que l'on met dans $U_2$.

\par
$\bullet\ $ Si ce nombre est strictement sup\'{e}rieur au nombre de boules contenues dans $U_1$, on prend une boule de $U_2$ que l'on met dans $U_1$.

\medskip
On suppose que l'exp\'{e}rience est mod\'{e}lis\'{e}e par  un espace probabilis\'{e} $(\Omega,{\cal A},P)$.
\medskip


Pour tout $p\in \N$, on note $Z_p$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de boules contenues dans $U_1$ \`{a} l'\'{e}tape $p$. Ainsi $Z_0$ est la variable  \'{e}gale au nombre de boules initialement contenues dans $U_1$, $Z_1$ est la variable  \'{e}gale au nombre de boules contenues dans $U_1$ apr\`{e}s une \'{e}tape, etc.

\bigskip
1.  On pose: $Y_p=\dis \pmatrix{ P(Z_p=0)\cr P(Z_p=1)\cr  P(Z_p=2)\cr}$. D\'{e}terminer une matrice $A\in {\cal M}_{3}(\R)$ telle que pour tout $p\in\N$, $Y_{p+1}= AY_p$.

\medskip

Soit $A$ la matrice de ${\cal M}_{3}(\R)$ d\'{e}finie par:
$$A= \pmatrix{
0 & {1\over 2} & 0 \cr
1 & 0 & 1\cr
0 & {1\over 2} & 0}$$


\medskip
2. Montrer que $1$ et $-1$ sont valeurs propres de $A$.
\medskip

3. D\'{e}terminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $A$.
 La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?

\medskip
4. On suppose $\dis Y_0=\pmatrix{ 1/4\cr 1/2\cr 1/4}$. Pour tout $k\in \[0,2\]$, \'{e}tudier l'existence d'une limite pour $P(Z_p=k)$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$.

\end{exo}
\begin{sol}

1. Supposons qu'\`{a} l'\'{e}tape $p$, $U_1$ contienne:

\par
$\bullet\ 0$ boule. \`{A} l'\'{e}tape suivante, $U_1$ contiendra une boule.

\par

$\bullet\ 1$ boule. Au vu de l'exp\'{e}rience , \`{a} l'\'{e}tape suivante $U_1$  contiendra $0$ boule avec la probabilit\'{e} $1/2$ et $2$ boules avec la probabilit\'{e} $1/2$, puisque la probabilit\'{e} de choisir $1$ est 1/2 tout comme la probabilit\'{e} de choisir $2$.

\par
$\bullet\ 2$ boules. \`{A} l'\'{e}tape suivante, $U_1$ contiendra une boule.
\bigskip

Appliquons  la formule des probabilit\'{e}s totales ; pour $k\in \[0,2\]$ :
$$P(Z_{p+1}=k)= P_{[Z_p=0]}(Z_{p+1}=k)P(Z_p=0)+P_{[Z_p=1]}(Z_{p+1}=k)P(Z_p=1)+P_{[Z_p=2]}(Z_{p+1}=k)P(Z_p=2)$$

Ainsi:
$$\pmatrix{ P(Z_{p+1}=0)\cr P(Z_{p+1}=1)\cr  P(Z_{p+1}=2)\cr}=
\pmatrix{
0 & {1\over 2} & 0 \cr
1 & 0 & 1\cr
0 & {1\over 2} & 0}\pmatrix{ P(Z_p=0)\cr P(Z_p=1)\cr  P(Z_p=2)\cr}$$



Ceci correspond \`{a} la matrice $A$ de la question suivante.
\medskip

 %La somme de chaque colonne de $A$ vaut $1$. Ainsi $1$ est valeur propre de ${}^t\!A$ et donc de $A$, puisque ces deux matrices ont les m\^{e}mes valeurs propres (\`{a} faire d\'{e}montrer au candidat si ce n'est pas imm\'{e}diat).

2. Par r\'{e}solution de syst\`{e}me lin\'{e}aire : $\pmatrix{ 1 \cr 2\cr 1}$ (resp. $\pmatrix{ -1 \cr 2\cr -1}$) est vecteur propre pour la valeur propre $1$ (resp. -1).

\medskip
3. Les lignes $L_1$ et $L_3$ de $A$ sont \'{e}gales, donc la matrice $A$ n'est pas inversible et $0$ est valeur propre de $A$.

%Enfin la trace est nulle, donc la derni\`{e}re valeur propre de $A$ est $-1$.
%pas de trace en BL
\medskip
Un calcul de vecteurs propres montre que $E_0 =\dis \Vect\pmatrix{ 1 \cr 0\cr -1}$.
%$E_1= \dis \Vect\pmatrix{ 1 \cr 2\cr 1}$ et $E_{-1}=\dis \Vect\pmatrix{ -1 \cr 2\cr -1}$.

Ainsi, la matrice $A$ est diagonalisable.
\medskip

4. Pour tout $p$ on a $Y_p=Y_0$, donc les suites \`{a} examiner sont constantes, donc convergentes.

\end{sol}

\begin{exo}

1. D\'{e}terminer les valeurs de $x$ r\'{e}el pour lesquelles la s\'{e}rie $\dis \sum_{n\geq 1} {e^{-nx}\over \sqrt{n}}$ converge.

\medskip

On note alors $\dis f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} {e^{-nx}\over \sqrt{n}}$. On admet que la fonction $f$ est continue sur son domaine de d\'{e}finition $D$.

\medskip

2. Montrer que la fonction $f$ est d\'{e}croissante sur $D$.

\medskip

3. D\'{e}terminer  $\dis \lim_{x\to +\infty} f(x)$.
\medskip

4. Montrer que $\dis \lim_{x\to 0^+} f(x)= +\infty$.
\medskip

5. a) Soit $ g : t \mapsto \dis \frac{e^{-xt}}{\sqrt{t}}$. Montrer que pour tout $k \in \N^*$ et tout   $t\in [k,k+1]$, on a :  $g(k+1) \leq g(t) \leq g(k)$.

\smallskip
b) En d\'{e}duire que :
$$\lim_{x\to +\infty} \frac 1 {f(x)}\times  \int_0^{+\infty} {e^{-xt} \over \sqrt{t} } {\rm d}t=1$$

\medskip

c) En d\'{e}duire que : $\dis \lim_{x\to +\infty} \dis f(x)\times \sqrt{x}= C$, o\`{u} $C$ est une constante r\'{e}elle strictement positive.

\end{exo}

\begin{sol}

1. Pour $x>0$ $\dis \lim_{n\to +\infty} n^2 {e^{-nx}\over \sqrt{n}}=0$ ; ceci montre que la s\'{e}rie converge.

Autre id\'{e}e : $0\leq \dis{e^{-nx}\over \sqrt{n}} \leq (e^{-x})^n$ et la s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique majorante converge.
\smallskip

Pour $x\leq 0$, $\dis \lim_{n\to +\infty} n {e^{-nx}\over \sqrt{n}}=+\infty$ ; ceci montre que la s\'{e}rie diverge.

Autre id\'{e}e : pour $x>0$ la s\'{e}rie diverge grossi\`{e}rement et pour $x=0$ c'est une s\'{e}rie de Riemann divergente.

\smallskip
Le domaine de d\'{e}finition de la fonction $f$ est donc $\R^{+*}$.

\medskip
2. De mani\`{e}re \'{e}vidente, pour tout $n\geq 1$, $x\leq y\Rightarrow  e^{-nx} \geq e^{-ny}$. Donc, par sommation de quantit\'{e}s positives, on obtient : $f(x) \geq f(y)$.


\medskip

3. Comme $n\geq 1$, on peut \'{e}crire: $0<f(x)= \dis\sum_{n=1}^{+\infty} {e^{-nx}\over \sqrt{n}} \leq  \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-nx}= {e^{-x}\over 1-e^{-x}}$.

Or $\dis \lim_{x\to +\infty} {e^{-x}\over 1-e^{-x}}=0$. Donc $\dis \lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.

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4. La limite en $0$ est finie ou vaut $+\infty$, car $f$ est d\'{e}croissante.

Or, comme tous les termes de la s\'{e}rie sont positifs, on a :
$f(x) \geq \dis  \sum_{n=1}^{N} {e^{-nx} \over \sqrt{n}}.$

Par l'absude si $f$ convergeait, en passant \`{a} la limite, on aurait :
$\forall N,\ \dis\lim_{x\to 0^+} f(x) \geq\dis  \sum_{n=1}^{N} {1 \over \sqrt{n}}.$

Ceci est absurde car les sommes partielles de la s\'{e}rie $\dis\sum {1 \over \sqrt{n}}$ divergent vers $+\infty$.

 Or, $\dis \lim_{x\to 0} g_N(x)= \sum_{n=1}^{N} {1 \over \sqrt{n}}$ qui est la somme partielle d'une s\'{e}rie divergente.



 Soit $A>0$. Il existe $N_0$ tel que pour tout $N\geq N_0$, $ \dis \sum_{n=1}^{N} {1 \over \sqrt{n}}>2A$ et donc un voisinage de $0$ tel que pour $x$ dans ce voisinage, $g_N(x)>A$. Donc, pour $x$ dans ce voisinage, $f(x) >A$, ce qui est la d\'{e}finition de $\dis \lim_{x\to 0} f(x)= +\infty$.


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5. a) Soit $x>0$ fix\'{e}. La fonction $g:t\mapsto \dis {e^{-xt}\over \sqrt{t}}$ est positive et d\'{e}croissante sur $\R^{+*}$. Donc si $t\in [k,k+1]$, $g(k+1) \leq g(t) \leq g(k)$.
Ainsi: $\dis\int_k^{k+1} g(k+1)dt  \leq \int_k^{k+1}g(t) dt  \leq \int_k^{k+1}g(k) dt$.
\smallskip


b) La s\'{e}rie $\dis\sum g(k)$ \'{e}tant convergente, toute comme l'int\'{e}grale $\dis \int_1^{+\infty} g(t) dt$, il vient:
$$\sum_{k=2}^{+\infty} g(k) \leq \int_1^{+\infty} g(t) dt \leq   \sum_{k=1}^{+\infty} g(k)$$

ou $\dis f(x)-e^{-x} \leq  \int_1^{+\infty} {e^{-xt} \over \sqrt{t} } dt \leq f(x)$.
 Par la question pr\'{e}c\'{e}dente, on obtient :

 $$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{\dis \int_1^{+\infty} {e^{-xt} \over \sqrt{t} } dt}=1=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{\dis \int_0^{+\infty} {e^{-xt} \over \sqrt{t} } dt} $$

 %un \'{e}quivalent de $f(x)$ en $x=0$ qui est $\dis \int_1^{+\infty} {e^{-xt} \over \sqrt{t} } dt $ ou $\dis \int_0^{+\infty} {e^{-xt} \over \sqrt{t} } dt$,
 par convergence de cette int\'{e}grale en $0$.


\smallskip

c) Le changement de variable $u=xt$ qui est lin\'{e}aire donne:

$$\int_0^{+\infty} {e^{-xt} \over \sqrt{t} } dt= {1\over \sqrt{x}} \int_0^{+\infty} {e^{-u} \over \sqrt{u} } du= {C\over\sqrt{x}}$$


\end{sol}


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\chapter{Exemples de questions courtes}

%10 QSP = 3 algebre + 3 analyse + 3 proba + 1 ?

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\medskip % Sujet 46
Soit l'application $\phi : {\cal M}_2(\R) \to {\cal M}_2(\R)$ qui, \`{a} toute matrice $\pmatrix{ a & b \cr c & d } \in {\cal M}_2(\R)$ associe la matrice $\pmatrix{ -a & c \cr b & -d }$.

1. $\phi$ est-elle diagonalisable ?

\medskip
2. D\'{e}terminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $\phi$.

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\medskip % Sujet 19
Soit un entier $n\geq 2$. Soit $A$ une matrice sym\'etrique de ${\cal M}_n(\R)$. On note $<\cdot,\cdot>$ le produit scalaire canonique sur ${\cal M}_{n,1}(\R)$. On suppose que $A$ est d\'efinie positive, ce qui signifie qu'elle v\'erifie la propri\'et\'e suivante :
$$\forall X\in {\cal M}_{n,1}(\R)\setminus \{0\},\;\;{}^t\!XAX >0.$$

1. Montrer qu'il existe une matrice $B$ de ${\cal M}_n(\R)$  sym\'etrique  d\'efinie  positive telle que $B^2 = A$.

2. En d\'eduire pour tout vecteur $X$ de  ${\cal M}_{n,1}(\R)$,
  l'in\'egalit\'e
$$||X||^4 \leq <X,AX>\times <X,A^{-1}X> .$$

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\medskip % Sujet 40
Soient $A$ et $B$ deux matrices sym\'{e}triques r\'{e}elles d'ordre $n$ telles que $A$ poss\`{e}de $n$ valeurs propres distinctes. On suppose que $A B = B A$ et que $A^5 = B^5$. Montrer que $A = B$.

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\medskip % Sujet
On consid\`{e}re l'espace euclidien $\R^n$ muni de son produit scalaire canonique, not\'{e} $\langle \ , \ \rangle$ et $u$ et $v$ deux vecteurs orthogonaux de normes 1.
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On note $f$ l'endomorphisme de $\R^n$ d\'{e}fini par :
$$ \forall x\in\R^n,\quad f(x)=\langle u,x\rangle v+\langle v,x\rangle u$$

On appelle trace de $f$ la trace de la matrice de $f$ dans une base quelconque.

Calculer $\tr(f)$.

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\medskip % Sujet
Soit $E=\R[X]$ et $N$ l'application d\'{e}finie sur $E$ par, pour tout $P\in E$
$$N(P)= \sum_{k=0}^{+\infty} |P^{(k)}(0)|$$

\smallskip
1. Montrer que $N(P)$ est bien d\'{e}fini.
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2. Montrer que $N(P)=0$ entra\^{\i}ne $P=0$.
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3. Soit $\Phi : E\to \R$ d\'{e}finie par $\Phi(P)=P(1)$.

Montrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que pour tout $P\in E$
$$|\Phi(P)| \leq C \times N(P)$$

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\medskip % Sujet
Soient $f \in \C^0(\R, \R)$ et $\ell \in \R$ tels que $\dis\lim_{x\to -\infty} f(x) = \ell$ et $\dis\int_0^{+\infty}|f(x)| dx$ converge. Soient $a>0$ et $b>0$.

\medskip
1. Montrer l'existence et calculer $\dis\lim_{u\to-\infty} \int_{u}^{+\infty} \left(f(a+x) - f(b+x)\right) dx$.

\medskip
2. En d\'eduire $\dis\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\e^x}{(1 + a \e^x) (1 + b \e^x)} dx$.

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\medskip % Sujet
Soit $\sigma >0$. Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables al\'eatoires positives, ind\'{e}pendantes et de m\^{e}me loi telles que :
$$\forall k\in\[1,n\],\ E(X_k)=1 \text{ et } V(X_k)=\sigma^2.$$

Pour tout $n\in \N^*$, on pose $S_n=\dis \sum_{k=1}^nX_k$ et $Z_n=\dis \frac2\sigma\big(\sqrt{S_n}-\sqrt n\big)$.

Montrer que la suite $(Z_n)$ converge en loi vers une variable al\'eatoire qui suit la loi ${\cal N}(0,1)$.


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\medskip % Sujet
On consid\`{e}re deux variables al\'{e}atoires $X,Y$ non nulles, d\'{e}finies sur le m\^{e}me espace probabilis\'{e}, admettant chacune un moment d'ordre $2$ . On note
$$M(X,Y)=\pmatrix{V(X)& \hbox{cov}(X,Y)\cr \hbox{cov}(X,Y) & V(Y)}$$

\medskip

1. Montrer que les valeurs propres de $M(X,Y)$ sont positives ou nulles.
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2. Que peut t-on dire de $X,Y$ si $M(X,Y)$ n'est pas inversible ?


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\medskip % Sujet

Soient $p\in ]0,1[$ et $n\in \N^*$. On pose $q=1-p$. Soient trois variables al\'{e}atoires $X,Y,Z$  d\'{e}finies sur un m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega,{\cal A},P)$ qui sont ind\'{e}pendantes, de lois respectives ${\cal B}(n,p)$, ${\cal B}(n,p)$ et ${\cal B}(n,q)$.

On d\'{e}finit la matrice al\'{e}atoire $M$ par :
$$\forall \omega\in \Omega,\ M(\omega)=\pmatrix{X(\omega)& Y(\omega) \cr 0 & Z(\omega)}$$

Calculer la probabilit\'{e} que la matrice $M$ soit diagonalisable.

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\medskip % Sujet

Soit $(\Omega, {\cal A},P)$ un espace probabilis\'{e}. Une famille d'\'{e}v\'{e}nements $(A_n)_{n\geq 1}$ est appel\'{e}e {\sl quasi-compl\`{e}te} si:

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$\bullet\ $ les \'{e}v\'{e}nements $(A_i)$ sont deux \`{a} deux incompatibles;
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$\bullet\ $ $\dis P\left( \bigcup_{n=1}^{+\infty} A_n\right)=1$.

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La formule des probabilit\'{e}s totales est-elle v\'{e}rifi\'{e}e par une famille quasi-compl\`{e}te d'\'{e}v\'{e}nements ?


\end{document}
