\begin{QSP}%OK

Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes suivant toutes la loi $\mathcal{N}(0,1)$.\\
On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul :
$$ Y_n=\frac 1n\sum_{k=1}^n\sqrt kX_k$$
Montrer que la suite $(Y_n)_{n\geq 1}$ converge en loi vers une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e} dont on pr\'{e}cisera une densit\'{e}.
\end{QSP}


\begin{QSP}%OK

Soit $(\sigma_n)$ une suite de r\'{e}els strictement positifs.\\
On consid\`{e}re une suite $(X_n)$ de variables al\'{e}atoires telles que, pour tout entier naturel $n$, $X_n$ suit la loi normale $\mathcal{N}(0,\sigma_n^2)$ et $X$ une variable al\'{e}atoire suivant la loi $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$, ($\sigma>0$).\\
Montrer que:
$$X_n\stackrel{L}{\rightarrow}\mathcal{N}(0,\sigma^2)\Longleftrightarrow \lim_{n\to +\infty}\sigma_n=\sigma$$
\end{QSP}

\begin{QSP}%OK

D\'{e}terminer $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{(n-1)!}\int_{n+\sqrt{n}}^{+\infty} x^{n-1}e^{-x} dx$.

\end{QSP}


\begin{QSP}%OK

Soit $X$ une variable al\'{e}atoire r\'{e}elle d\'{e}finie sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega, \mathcal{A}, \P)$ et suivant la loi exponentielle de param\`{e}tre $\lambda>0$.


Reconna\^{\i}tre la loi de $Y=\lfloor X \rfloor +1$. En d\'{e}duire $\E\left(\lfloor X\rfloor \right)$ et $V\left(\lfloor X\rfloor \right)$.
\end{QSP}


\begin{QSP}%OK

Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $\R$ dans $\R$. Pour tout $f\in E$, on pose:
$$T(f)(x)= \frac 12 \int_{x-1}^{x+1} f(t) dt$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$.
\item D\'{e}terminer $\Ker T$.
\end{enumerate}
\end{QSP}

\begin{QSP}%modifi\'e

Soit $\in \NN^*$. Soit l'ensemble $\mathcal{N}=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), M^n=0\}$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ inclus dans $\mathcal{N}$.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les matrices sym\'{e}triques qui appartiennent \`{a} $\mathcal{N}$ ?
\item En d\'eduire que $\mbox{dim}(F) \leq \dfrac{n(n-1)}{2}$.
\end{enumerate}
\end{QSP}


\begin{QSP}%OK

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\tr(A) \not=0$ et soit  $f: M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto M-\tr(M) A$.\\
 \`A quelles conditions sur $A$ l'application $f$ est-elle bijective?

\end{QSP}



\begin{QSP}

Soit $A$  une matrice de $\mathcal{M}_2(\R)$. On pose $C(A)=\{M\in \mathcal{M}_2(\R)\, / AM=MA\}$.

\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier rapidement que $C(A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\R)$.
\item D\'{e}terminer
$$\max_{A\in \mathcal{M}_2(\R)}\dim C(A)\mbox{ et } \min_{A\in \mathcal{M}_2(\R)}\dim C(A)$$

\end{enumerate}
\end{QSP}


\begin{QSP} %OK Analyse/proba

Soit $X$ une variable al\'{e}atoire suivant la loi normale ${\cal N}(0,1)$. On note $\Phi$ sa fonction de r\'{e}partition.

Existence et calcul de $\dis \int_0^{+\infty} (1-\Phi(t)) dt$.

\end{QSP}




\begin{QSP} %OK

Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $\R$ \`{a} valeurs r\'{e}elles. Soit $U$ l'application d\'{e}finie sur $E$ par:
$$\forall\,f\in E,\,\,\forall \,x\in \R,\,\,U(f)(x)= \int_0^x \cos(t) f(x-t) dt$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $U$ est un endomorphisme de $E$.
\item Montrer que $U(f)$ est d\'{e}rivable sur $\R$ et calculer sa d\'{e}riv\'{e}e.
\end{enumerate}
\end{QSP}


%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "escp-annales"
%%% End:
