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%remise \`{a} z\'{e}ro du compteur dans chaque chapitre

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{\noindent {\large {\textsc{Sujet \arabic{chapter}.\arabic{numeroexo}}}}}\smallskip%
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}}%
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\newenvironment{sol}{%
\clearpage%\medskip
{\noindent {\large \textsc{Solution du sujet \arabic{chapter}.\arabic{numeroexo}}}\smallskip}}%
{
}

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\pagebreak[3]
%\bigskip\bigskip
{\noindent \large \bf \textsc{Question sans pr\'{e}paration \thenumeroexo}}\par \smallskip}%
{\medskip}

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\par\smallskip
{\large \noindent \textsc{Solution de la QSP.}}\par
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\makeatletter\@addtoreset{numeroexoBis}{chapter}\makeatother
% remise \`{a} z\'{e}ro du compteur dans chaque chapitre

\newenvironment{exoBis}{%
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{\clearpage
{\noindent {\large {\textsc{Sujet \arabic{chapter}.\arabic{numeroexo} au format de l'ann\'{e}e 2025}}}}\smallskip%
}}{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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%%%%
%style des chapitres
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\begin{document}

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{\begin{center}{\LARGE \bf
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 \end{center} \clearpage
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\clearpage
\thispagestyle{empty}
\

\clearpage

\chapter*{Avant-propos}

\input{Avant-propos}

\tableofcontents


\chapter{Analyse}


%=================================================================
% Analyse

\begin{exo}

      \themexo{Suite d\'{e}finie par r\'{e}currence}{suite, s\'{e}rie, calcul de somme}

\begin{enumerate}
\item   Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de nombres r\'{e}els strictement positifs.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la s\'{e}rie $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}} u_n$   diverge dans le cas o\`{u}  $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1$ \`{a} partir d'un certain rang,\\ c'est-\`{a}-dire que :
$$  \exists N\in \mathbb{N}, \quad \forall  n\geq N,\  \frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1.$$
 \item On suppose maintenant  que $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}$ existe et que  $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$. \'{E}tudier la convergence de la s\'{e}rie $\displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}} u_n$. \\
{\em (On pourra montrer  qu'il existe $N$, $\ell$ et $C>0$  ad\'{e}quatement choisis  tels que : $\forall n\geq N,\ u_n\leq C \, \ell^n$).}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
Soient $(a,b)\in (\mathbb{R}^*_{+})^2$.  Pour la suite de l'\'{e}nonc\'{e}, on d\'{e}finit la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$   par :
$$
u_0>0  \ \mbox{ et }  \ \forall n \in \mathbb{N}, \quad  \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+a}{n+b}.
$$
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}

\item V\'{e}rifier que $u_n>0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Puis \'{e}tudier la convergence  de la s\'{e}rie $ \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} u_n$  lorsque $b\leq a$.
\item On suppose que $b=a+1$. Que peut-on en d\'{e}duire sur la suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ d\'{e}finie par
$$v_n=(n+a) u_n, \  \ \forall n\in \mathbb{N}.$$
En d\'{e}duire la nature de la s\'{e}rie $\dsum_n u_n$.
\item \'{E}tudier la convergence  de la s\'{e}rie $ \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} u_n$  lorsque  $a<b\leq a+1$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Montrer que
$$
\forall n\in \mathbb{N}, \quad  \ (b-a-1) \quad   \Big( \sum_{k=0}^{n+1} u_k\Big)=(b-1) u_0-(n+a+1) u_{n+1}.
$$
\item Montrer que pour $a+1<b$, la s\'{e}rie  $\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} u_n$  est convergente.\smallskip
\item  Calculer $\displaystyle S=\sum_{n=0}^{+\infty} u_n$  lorsque  $a+1<b$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exoBis}

Soient $(a,b)\in (\mathbb{R}^*_{+})^2$.  On d\'{e}finit la suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$   par :
$$
u_0>0  \ \mbox{ et }  \ \forall n \in \mathbb{N}, \quad  \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+a}{n+b}.
$$
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}

\item V\'{e}rifier que $u_n>0$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.  \'Etudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
\item En d\'{e}duire la nature  de la s\'{e}rie $ \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} u_n$  lorsque $b\leq a$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On suppose que $b=a+1$. D\'{e}terminer  la nature de la s\'{e}rie $\dsum_n u_n$.
\item \'{E}tudier la convergence  de la s\'{e}rie $ \displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} u_n$  lorsque  $a<b\leq a+1$ (on pourra utiliser $v_n=(n+a)u_n$).
\end{enumerate}

\item On suppose que $a+1<b$.
\begin{enumerate}
\item
Exprimer $\dsum_{k=0}^{n+1} u_k$ en fonction de $a,b,u_0$ et $u_{n+1}$.

\item Montrer que  la s\'{e}rie  $\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} u_n$  est convergente  et d\'{e}terminer sa somme  $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoBis}


\begin{sol}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Si la s\'{e}rie \'{e}tait convergente $u_n$ tendrait vers $0$ lorsque $n\to +\infty$.\\ Or, par r\'{e}currence imm\'{e}diate on a $u_n\geq u_N>0$   pour tout $n\geq N$.\\  La suite $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ne peut donc pas converger vers $0$. La s\'{e}rie $\dsum_{n\in \mathbb{N}} u_n$ est donc divergente.

\item On note $\tilde{\ell}$ le r\'{e}el positif : $\tilde{\ell}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty} \displaystyle u_{n+1}/u_n$. On pose  $\ell=(1+\tilde{\ell})/2$. Comme $\tilde{\ell}<1$, on a $0\leq  \tilde{\ell}<\ell< 1$. Par d\'{e}finition de la limite, il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que:
$\displaystyle 0 \leq u_{n+1}/u_n\leq \ell $ pour $n\geq N$.\\ Il vient alors par r\'{e}currence imm\'{e}diate $u_{N+n}\leq \ell^{n} \,  u_N=  \ell^{n+N} \, \ell^{-N} u_N$  pour  $n \geq 0$.\\ On pose $C =|\ell^{-N} u_N|$ ; alors pour tout $m\geq N, |u_m|\leq C\ell^m$.\\
Donc, par comparaison avec une s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique convergente, la s\'{e}rie $\dsum u_m$ est absolument convergente, donc convergente.

\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  On v\'{e}rifie que $u_n>0$ par r\'{e}currence imm\'{e}diate en utilisant le fait que $u_0>0$ et $a, b>0$. \\
Si $b\leq a$, on a $n+a\geq n+b$ pour $n\geq 0$ et donc $u_{n+1}/u_n=(n+a)/(n+b)\geq 1$ pour $n\geq 0$.\\ La s\'{e}rie $\dsum_{n\in \mathbb{N}} u_n$ est donc divergente d'apr\`{e}s la question 1)a).
\item Si $b=a+1$, il vient  $v_{n+1}= (n+a+1)u_{n+1}=(n+b) u_{n+1}=(n+a) u_n=v_n$ pour $n\geq 0$.\\ La suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est donc constante et vaut $v_0=a \, u_0$ ; ainsi $u_n= \dfrac{a\, u_0}{n+a}$.\\ Donc , par comparaison avec la s\'{e}rie harmonique, la s\'{e}rie $\sum u_n$ diverge.
\item  Pour $a+1>b$ et $b>0$, on a $(n+a)/(n+b)\geq (n+a)/(n+a+1)$ pour tout $n\geq 0$.\\ On montre alors par r\'{e}currence imm\'{e}diate: $u_n \geq a \, u_0/(n+a), \, \forall n\in \mathbb{N}$.\\ Ainsi   par r\`{e}gle de comparaison de s\'{e}ries \`{a} termes positifs, $\dsum_{n\in \mathbb{N}} u_n$ est divergente.
\end{enumerate}
\item

\begin{enumerate}
\item  Facilement par r\'{e}currence ; ou sinon par t\'{e}lescopage.\\
On a  $u_{k+1} \, (k+b)=u_k \, (k+a)$ pour $k\in \mathbb{N}$. Cette relation  peut  se r\'{e}\'{e}crire sous la forme :
$$u_{k+1} \, (k+1+a+ b-a-1)=u_k \, (k+a)\Leftrightarrow (b-a-1) u_{k+1} = u_k\, (k+a)-u_{k+1} (k+1+a), \, \forall k\in \mathbb{N}$$
 En sommant, et par t\'{e}lescopage, il vient
 $$  (b-a-1) \sum_{k=0}^n u_{k+1}= u_0\,  a-u_{n+1} (n+1+a)\Leftrightarrow  (b-a-1) \sum_{k=0}^{n+1} u_{k}= (b-a-1) u_0+u_0 \, a -u_{n+1} (n+1+a)$$
 En simplifiant le terme de droite, on conclut  \`{a} la relation demand\'{e}e. (En particulier, celle-ci implique que la suite $(v_n)_{n\mathbb{N}}$ de la question 2)b) est constante pour $b=a+1$.)

\item Comme la suite  $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ est positive et que $b>(a+1)$, on d\'{e}duit de la question 3)a) que pour tout $n\in \mathbb{N}$,  $\displaystyle \sum_{k=0}^{n+1} u_k \leq[ (b-1)/(b-a-1)] u_0$. Les sommes partielles $\displaystyle \sum_{k=0}^n u_k$ sont donc major\'{e}es par $(b-1)/(b-a-1)] u_0$. La  s\'{e}rie $\displaystyle\sum_{n\in \mathbb{N}} u_n$ est \`{a} termes positifs, elle est donc convergente.

\item De 3)a et 3)b, il d\'{e}coule  que $(n+a+1) u_{n+1}$ admet une limite $\ell\geq 0$  lorsque $n \to+\infty$.\\ Supposons par l'absurde $\ell>0$. On a alors $u_{n+1}\underset{n\to+\infty}{\sim} \ell/(n+a+1) $, \textsl{i.e.}  $u_n\underset{n\to+\infty}{\sim}  \ell/(n+a+1)$. \\ Par r\`{e}gle de comparaison de s\'{e}ries \`{a} termes positifs, la s\'{e}rie $\dsum_{n\in \mathbb{N}} u_n$  serait alors divergente.\\ C'est absurde. On a donc $\ell=0$.\\ En passant \`{a} la limite quand $n\to + \infty$ dans la relation de la question 3)a),\\ on conclut que $S=\dfrac{(b-1) u_0}{b-a-1}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{sol}


%========================================================================================
% Analyse

\begin{exo}

\themexo{Int\'{e}grale g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}e fonction de sa borne inf\'{e}rieure}{convergence, calcul int\'{e}gral, int\'{e}grale double}

\begin{enumerate}
\item
Montrer que l'int\'{e}grale $\dint_x^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t^2} dt$ converge pour tout  $x>0$.
\end{enumerate}
On pose alors pour tout $x>0$
$f(x)=\dint_x^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t^2} dt.$\medskip
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $f$ est de classe ${\cal C}^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un r\'{e}el $a$ tel que
$$\lim_{x\to 0^+} (f(x)-f(1)+\ln(x))=a.$$
(on pourra exprimer $\ln (x)$ sous forme d'une int\'{e}grale).
\item En d\'{e}duire un \'{e}quivalent de $f$ au voisinage de $0$.
\end{enumerate}
\item Montrer que
$$\forall x\in ]0,+\infty[,\;\; f(x)=\frac{\cos(x)}{x^2}-2\int_x^{+\infty} \frac{\cos(t)}{t^3} dt.$$
\item Montrer que l'int\'{e}grale $\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) dx$ est convergente.
\item On admet que
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt = \frac{\pi}{2}.$$
Calculer $\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) dx$.
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exoBis}

\begin{enumerate}
\item
Montrer que l'int\'{e}grale $\dint_x^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t^2} dt$ converge pour tout  $x>0$.
\end{enumerate}
On pose alors pour tout $x>0$
$f(x)=\dint_x^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t^2} dt.$\medskip
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe un r\'{e}el $a$ tel que
$$\lim_{x\to 0^+} (f(x)-f(1)+\ln(x))=a.$$
(on remarquera que $\ln x = \dint_1^x \dfrac{dt}{t}$).
\item Montrer que $\dint_0^{+\infty} f(x) dx$ converge.
\end{enumerate}
\item On admet que
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt = \frac{\pi}{2}.$$
Calculer $\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) dx$.
\end{enumerate}

\end{exoBis}




\begin{sol}

\begin{enumerate}
\item Soit $x>0$, la fonction $t\mapsto \frac{\sin(t)}{t^2}$ est d\'{e}finie, continue sur $]x,+\infty[$. De plus on a
$\forall x>0,\;\; \abs{\dfrac{\sin(t)}{t^2}} \leq \dfrac{1}{t^2}.$

On en d\'{e}duit l'absolue convergence de l'int\'{e}grale g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}e $\int_x^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2} dt$ pour $x>0$.
Ainsi  $f$ est bien d\'{e}finie sur $]0,+\infty[$.
\item De plus $f$ d\'{e}rivable sur  $]0,+\infty[$ et
$\forall x>0,\;\; f'(x)=- \dfrac{\sin(x)}{x^2}.$
(on utilise le th\'{e}or\`{e}me fondamental du calcul int\'{e}gral en \'{e}crivant $f(x)= \dint_x^1 g(t) dt + \int_1^{+\infty} g(t) dt$).

On en d\'{e}duit que est $f'$ est de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$  donc $f$ est $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
\item
\begin{enumerate}
\item On a
$$\forall x>0,\;\; f(x)-f(1)+\ln(x)=\int_x^1  \frac{\sin(t)}{t^2} -\frac{1}{t} dt =\int_x^1  \frac{\sin(t)-t}{t^2}dt$$

Or un \'{e}quivalent en $0$ de $ \dfrac{\sin(t)-t}{t^2}$ est $ \dfrac{-t^3}{6\,t^2}=-\dfrac{t}{6}$, on en d\'{e}duit que l'int\'{e}grale $\dint_0^1  \dfrac{\sin(t)-t}{t^2}dt$ est faussement g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}e.
On pose $a=\dint_0^1  \dfrac{\sin(t)-t}{t^2}dt$. On obtient ainsi
$\dlim_{x\to 0^+} f(x)-f(1)+\ln(x)=a.$
\item On en d\'{e}duit que $f(x)$ est \'{e}quivalent \`{a} $-\ln(x)$ en 0.
\end{enumerate}
\item Soit $x>0$, on effectue une int\'{e}gration par parties avec $A>0$ :
$$\int_x^{A} \frac{\sin(t)}{t^2} dt=\left[-\frac{\cos(t)}{t^2}\right]_x^A-2\int_x^A\frac{\cos(t)}{t^3} dt = \frac{\cos(A)}{A^2}+\frac{\cos(x)}{x^2}-2\int_x^A\frac{\cos(t)}{t^3} dt.$$
On fait tendre $A$ vers $+\infty$ d'o\`{u}
$$f(x)=\frac{\cos(x)}{x^2}-2\int_x^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t^3} dt.$$

\item Comme $\dint_0^{1}\ln(t) dt$ est convergente, avec l'\'{e}quivalent obtenu en 0 de $f$, on en d\'{e}duit que $f$ est de signe constant et que
 $\dint_0^{1} f(t)  dt$ converge. En $+\infty$, la limite de $x^{3/2}f(x)$ est nulle en effet on a
 $$x^{3/2}f(x)=\frac{\cos(x)}{x^{1/2}}-2x^{3/2} \int_x^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t^3} dt.$$
Le premier terme de la somme tend vers $0$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
Par ailleurs
$$\left|x^{3/2} \int_x^{+\infty}\frac{\cos(t)}{t^3} dt\right|\leq \int_x^{+\infty}\frac{1}{t^{3/2}} dt .$$
on en conclut que le deuxi\`{e}me terme de la somme tend vers 0 aussi. Par cons\'{e}quent d'apr\`{e}s la r\`{e}gle de n\'{e}gligeabilit\'{e}, on a $\displaystyle \int_1^{+\infty} f(x) dx$ est convergente
donc l'int\'{e}grale $\displaystyle \int_0^{+\infty} f(x) dx$ est convergente.
\item Soit $a<A$, on effectue une int\'{e}gration par parties
$$\int_a^{A} f(x) dx=[xf(x)]_a^A-\int_a^A t f'(t) dt=Af(A)-af(a)+\int_a^{A} \frac{\sin(t)}{t} dt$$
On fait tendre $a$ vers 0 puis $A$ vers $+\infty$; il vient $\dlim_{A\to +\infty} Af(A)=0$ par la question 4 (avec $t^3\geq xt^2$),   donc :
$$ \int_0^{+\infty} f(x) dx=\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt = \frac{\pi}{2}.$$

 \end{enumerate}


\end{sol}


%===========================================================================================
%Analyse

\begin{exo}

  \themexo{Suite d\'{e}finie implicitement}{suites, s\'{e}ries}


Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit l'\'{e}quation :
$$(E_n)~~~~~x^{n+1}=1+x+ \ldots +x^n,$$



\begin{enumerate}

\item Montrer que, pour $x \neq 1$,  l'\'{e}quation $(E_n)$ est \'{e}quivalente \`{a} l'\'{e}quation suivante : $x^{n+2}-2x^{n+1}+1=0$.


\item Montrer que pour tout $n\in \N^*$, l'\'{e}quation $(E_n)$ admet une  unique solution $u_n$ qui appartient \`{a}  $I=]1,2]$.

\item \'{E}tudier la monotonie de la  suite $(u_n)$.

\item Montrer que la suite $(u_n)$  converge et pr\'{e}ciser sa limite  $a$.

\item Montrer que la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $a-u_n$ converge.

\item \'{E}tudier la nature de la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $w_n=u_n-a+\dfrac{1}{2^{n+1}}$.

\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exoBis}

Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit l'\'{e}quation :
$$(E_n)\qquad x^{n+1}=1+x+ \ldots +x^n,$$



\begin{enumerate}

\item Montrer que, pour $x \neq 1$,  l'\'{e}quation $(E_n)$ est \'{e}quivalente \`{a} l'\'{e}quation suivante : $x^{n+2}-2x^{n+1}+1=0$.

\item
\begin{enumerate}
\item
Montrer que pour tout $n\in \N^*$ l'\'{e}quation $(E_n)$ admet une  unique solution $u_n$ qui appartient \`{a}  $I=]1,2]$.

\item Montrer que la suite $(u_n)$  converge et pr\'{e}ciser sa limite  $a$.

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}

\item \'Etudier la nature de la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $a-u_n$.
\item \'{E}tudier la nature de la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $w_n=u_n-a+\dfrac{1}{2^{n+1}}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exoBis}


\begin{sol}

\begin{enumerate}
\item  On constate que pour $x=1$ et $n\geq 1$, l'\'{e}quation $(E_n)$ n'est pas v\'{e}rifi\'{e}e. Soit $x \neq 1$. Alors

$$ (E_n) \Leftrightarrow  x^{n+1}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} \Leftrightarrow
 x^{n+2}-x^{n+1}=x^{n+1}-1\Leftrightarrow x^{n+2}-2x^{n+1}+1=0$$

 \item On \'{e}tudie la fonction $f_n : x \mapsto x^{n+2}-2x^{n+1}+1$ sur $I=[1,2]$. On a :
   $$f'_n(x)=(n+2)x^{n+1}-2(n+1)x^n=x^n((n+2)x-2(n+1))=(n+2)x^n(x-\alpha_n) \avec \alpha_n=\frac{2(n+1)}{n+2}\in ]1,2[.$$
   Donc :
   $$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline
       x&1&&\alpha_n &&2 \\ \hline
       f_n & 0 & \searrow & f_n(\alpha_n)<0 & \nearrow & 1\\ \hline
       \end{array}$$
       Par th\'{e}or\`{e}me de la bijection (\`{a} bien justifier) $f_n$ admet un unique z\'{e}ro   $u_n$ tel que $1<\alpha_n<u_n<2$.

     \item %\'{E}tudions les variations de $u$ :\\
       On a :
       $$f_{n}(u_{n+1})=f_{n}(u_{n+1})-f_{n+1}(u_{n+1})=\big(u_{n+1}^{n+1}(u_{n+1}-2)+1\big)-\big(u_{n}^{n+2}(u_{n+1}-2)+1\big)=(u_{n+1}-2)u_{n+1}^{n+1}(1-u_{n+1})<0,$$
     car $u_{n+1}\in ]1,2[$. Ainsi $f_{n}(u_{n+1})<0=f_{n}(u_{n})$ ; comme $f_n$ est strictement croissante sur $]\alpha_n,2[$ et que $\alpha_n<\alpha_{n+1}<u_{n+1}<2$, on en d\'{e}duit que $u_{n+1}<u_n$. Ainsi  \fbox{la suite $u$ est strictement croissante.}

% On a $f_{n}(u_{n+1})=u_{n+1}^{n+1}(u_{n+1}-2)+1$.  Or $u_{n+1}$ annule $f_{n+1}$, d'o\`{u} $u_{n+1}^{n+2}(u_{n+1}-2)=-1$, soit $u_{n+1}-2=\frac{-1}{u_{n+1}^{n+2}}$.

% Par suite, $f_{n}(u_{n+1})=1-\frac{1}{u_{n+1}}>0$, car $u_{n+1}>1$.

% De plus la suite $\alpha$ est strictement croissante car $\alpha_n=2-\frac{2}{n+2}$, on a donc

% $\alpha_{n}< \alpha_{n+1} <u_{n+1}<2$, et $f_n$  est strictement croissante sur $[\alpha_n,2]$,

% $f_n(\alpha_n)<0=f_n(u_n)<f_n(u_n+1) \Rightarrow
% \alpha_n<u_n<u_{n+1}<$  ; ainsi \fbox{la suite $u$ est strictement croissante.}\\


\item Comme $2>u_n>\alpha_n\rTo_{n\to +\infty} 2$, par th\'{e}or\`{e}me d'encadrement, on a : $\dlim_{n\to +\infty}u_n=2$.\\
  {\em Remarque :} la  suite $(u_n)$ est  monotone born\'{e}e, donc convergente, mais cela ne donne pas sa limite.

\item On a $n^2(2-u_n)=\frac{n^2}{u_n^{n+1}}=\ee^{2\ln n-(n+1)\ln(u_n)} \rTo_{n\to +\infty} 0$ par croissances compar\'{e}es, car $(u_n)$ tend vers 2. Donc la s\'{e}rie de terme g\'{e}n\'{e}ral $2-u_n$ converge (\textsc{Riemann}).

\item
                 Comme $2-u_n=\frac{1}{u_n^{n+1}}$, on a $w_n=\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{u_n^{n+1}}= \dfrac{u_n^{n+1}-2^{n+1}}{(2u_n)^{n+1}}$.\\
    Or $2-\frac{2}{n+2}\leq u_n\leq 2$, donc $0\leq u_n^{n+1}\leq 2^{n+1}$, donc $|u_n^{n+1}-2^{n+1}|\leq 2\times 2^{n+1}$.\\
    Et  $(2u_n)^{n+1} \geq 2^{n+1}\left(2-\frac{2}{n+2}\right)^{n+1}$.\\ Donc :
    $|w_n|\leq  \dfrac{2}{\left(2-\frac{2}{n+2}\right)^{n+1}}= \left(\dfrac12\right)^n \times \dfrac1{\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{n+1}} \equivalent{n\to +\infty} \left(\dfrac12\right)^n \times \dfrac{1}{\e}$.\\
Donc, par comparaison avec un s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique, la s\'{e}rie $\sum w_n$ converge.
\end{enumerate}


\end{sol}

%======================================================================================
%Analyse

\begin{exo}

\themexo{Fonction absolument monotone}{formule de \textsc{Taylor} reste int\'{e}gral, s\'{e}rie de fonctions, fonction tangente, Python}

Soit $I$ un intervalle. On dit qu'une fonction $f:I\rightarrow
\mathbb{R}$ est {\em absolument monotone} sur $I$ si
\begin{equation*}
f\text{ est de classe }C^{\infty }\text{ sur }I\text{ et }\forall n\in
\mathbb{N},~\forall x\in I,~f^{\left( n\right) }\left( x\right) \geq 0.
\end{equation*}

\begin{enumerate}

\item Soit la fonction $f$ de classe $C^{\infty }$ sur $\left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right[ $ d\'{e}finie par $f\left( x\right) =\tan \left( x\right) $ .
\begin{enumerate}
\item et $n\in
\mathbb{N}$. En utilisant la relation $f^{\prime }=1+f^{2}$, exprimer $f^{\left(
n+1\right) }$ en fonction $f$, $f^{\prime },\ldots,f^{\left( n\right) }$.


\item
En d\'{e}duire que $f$ est absolument monotone sur $\left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right[ $.
\end{enumerate}

\end{enumerate}
 On revient maintenant au cas g\'{e}n\'{e}ral. Soit  $a>0$ et $f$ une fonction de $I=\left[ 0,a\right[ $ dans $\mathbb{R}$
absolument monotone sur $\left[ 0,a\right[ $. Soit $n\in \N$.

On pose, pour $x\in I$, $R_{n}\left( x\right) =\dint_{0}^{x}\dfrac{\left(
x-t\right) ^{n}}{n!}f^{\left( n+1\right) }\left( t\right) dt$.


\begin{enumerate}[resume]

\item Montrer que pour tout $x\in I,$ $f\left( x\right) =\dsum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{f^{\left( k\right) }\left( 0\right) }{k!}x^{k}+R_{n}\left( x\right) .$


\item
Montrer que, pour tout $x>0$, $\dfrac{R_{n}\left( x\right) }{x^{n+1}} =\dint_{0}^{1}\dfrac{\left( 1-u\right) ^{n}}{n!}f^{\left( n+1\right) }\left(
xu\right) du$.


\item
En d\'{e}duire que la fonction $x\mapsto \dfrac{R_{n}\left( x\right) }{ x^{n+1}}$ est croissante sur $\left] 0,a\right[ $.


\item
D\'{e}duire des deux questions pr\'{e}c\'{e}dentes que si $0<x<y<a$, alors $ 0\leq R_{n}\left( x\right) \leq \left( \dfrac{x}{y}\right) ^{n+1}f\left(
y\right) $.

En d\'{e}duire que pour tout $x\in [0,a[$, $f(x)= \dsum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$.

\end{enumerate}
%
Les questions suivantes concernent la fonction $ f : x \to \tan x$ d\'{e}finie sur $\left[0, \frac{\pi}2\right[$.

\begin{enumerate}[resume]
\item
Montrer que pour tout $x\in \left[0, \frac{\pi}2\right[ $, la s\'{e}rie $\dsum \dfrac{ f^{\left( k\right) }\left( 0\right) }{k!}x^{k}$ est convergente et que $f\left(
x\right) =\dsum\limits_{k=0}^{+\infty }\dfrac{f^{\left( k\right) }\left(
0\right) }{k!}x^{k}$.



\item
On pose $S_{n}\left( x\right) =\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{f^{\left(
k\right) }\left( 0\right) }{k!}x^{k}$. On suppose que $0<x<\dfrac{\pi }{8}$.
Montrer que $\left\vert \tan \left( x\right) -S_{n}\left( x\right)
\right\vert \leq \dfrac{1}{2^{n+1}}$.\\
Quelle valeur de $n$ peut-on prendre pour obtenir une valeur approch\'{e}e de $\tan(1/4)$ \`{a} $10^{-9}$ pr\`{e}s ?


\item
On pose, pour $k\in \mathbb{N}$, $a_{k}=\dfrac{f^{\left( k\right) }\left(
0\right) }{k!}$. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, $a_{n+1}= \dfrac{1}{n+1}\dsum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}$


\item
En utilisant le r\'{e}sultat de la question pr\'{e}c\'{e}dente, \'{e}crire un script Python qui n'utilise que les op\'{e}rations $+,-,*$ et $/$, et qui permet d'obtenir une valeur approch\'{e}e de $\tan \left( \dfrac{1}{4}\right) $ \`{a} $10^{-9}$ pr\`{e}s.
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exoBis}

Soit $I$ un intervalle. On dit qu'une fonction $f:I\rightarrow
\mathbb{R}$ est {\em absolument monotone} sur $I$ si
\begin{equation*}
f\text{ est de classe }C^{\infty }\text{ sur }I\text{ et }\forall n\in
\mathbb{N},~\forall x\in I,~f^{\left( n\right) }\left( x\right) \geq 0.
\end{equation*}

\begin{enumerate}

\item
Soit $f$ la fonction classe $C^{\infty }$ sur $I=\left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right[ $ d\'{e}finie par $f\left( x\right) =\tan \left( x\right) $
\begin{enumerate}
\item En remarquant que $f'= 1+f^2$, exprimer $f^{\left(n+1\right) }$ en fonction $f$, $f^{\prime },\ldots,f^{\left( n\right) }$.
\item En d\'{e}duire  que   $f$ est absolument monotone sur $I$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

On revient maintenant au cas g\'{e}n\'{e}ral. Soit  $a>0$ et $f$ une fonction de $I=\left[ 0,a\right[ $ dans $\mathbb{R}$
absolument monotone sur $\left[ 0,a\right[ $. Soit $n\in \N$.

On pose, pour $x\in I$, $R_{n}\left( x\right) =\dint_{0}^{x}\dfrac{\left(
x-t\right) ^{n}}{n!}f^{\left( n+1\right) }\left( t\right) dt$.


\begin{enumerate}[resume]

\item
\begin{enumerate}
\item
Montrer que, pour tout $x>0$, $\dfrac{R_{n}\left( x\right) }{x^{n+1}} =\dint_{0}^{1}\dfrac{\left( 1-u\right) ^{n}}{n!}f^{\left( n+1\right) }\left(
xu\right) du$.


\item
En d\'{e}duire que la fonction $x\mapsto \dfrac{R_{n}\left( x\right) }{ x^{n+1}}$ est croissante sur $\left] 0,a\right[ $.


\item
D\'{e}duire des deux questions pr\'{e}c\'{e}dentes que si $0<x<y<a$, alors $ 0\leq R_{n}\left( x\right) \leq \left( \dfrac{x}{y}\right) ^{n+1}f\left(
y\right) $.

\item En d\'{e}duire que pour tout $x\in [0,a[$, $f(x)= \dsum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$.

\end{enumerate}

\item Montrer que pour tout $]-\pi/2, \pi/2[$, $\tan(x)=\dsum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$.
\end{enumerate}

\end{exoBis}


\begin{sol}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}

\item
On a $f^{\prime }=1+f^{2}$\ \ Pour $n\in \mathbb{N}^{\ast }$, la formule de
\textsc{\textsc{\textsc{Leibniz}}} donne $$f^{\left( n+1\right) }=\left( f^{\prime }\right) ^{\left(
n\right) }=\left( f\times f\right) ^{\left( n\right) }=\sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{\left( k\right) }f^{\left( n-k\right) }.$$


\item D'apr\`{e}s la question (a), par r\'{e}currence forte \'{e}vidente sur $n\geq 1$ puisque
pour $n=0$ et $n=1$, on a $f^{\left( n\right) }\geq 0$ sur $\left[ 0,\dfrac{ \pi }{2}\right[ $.
 \end{enumerate}

\item
C'est la formule de \textsc{\textsc{\textsc{Taylor}}} reste int\'{e}gral. On la montre  par r\'{e}currence sur $n$ en int\'{e}grant par
parties $\dint_{0}^{x}\dfrac{\left( x-t\right) ^{n}}{n!}f^{\left( n+1\right)
}\left( t\right) dt$ en posant $u\left( t\right) =-\dfrac{\left( x-t\right)
^{n+1}}{\left( n+1\right) !}$, $u^{\prime }\left( t\right) =\dfrac{\left(
x-t\right) ^{n}}{n!}$ et $v\left( t\right) =f^{\left( n+1\right) }\left(
t\right) $.


\item
On pose $u=\frac{t}{x}$: $R_{n}\left( x\right) =\dint_{0}^{x}x^{n}\dfrac{ \left( 1-\frac{t}{x}\right) ^{n}}{n!}f^{\left( n+1\right) }\left( t\right)
dt=\dint_{0}^{1}x^{n}\dfrac{\left( 1-u\right) ^{n}}{n!}f^{\left( n+1\right)
}\left( xu\right) \times xdu$.


\item
Si $0<x\leq y$ et $u\in \left[ 0,1\right] $, $0<xu\leq yu$ et donc $ f^{\left( n+1\right) }\left( xu\right) \leq f^{\left( n+1\right) }\left(
yu\right) $ car $f^{\left( n+2\right) }\geq 0$ d'o\`{u} $\dint_{0}^{1}\dfrac{ \left( 1-u\right) ^{n}}{n!}f^{\left( n+1\right) }\left( xu\right) du\leq
\dint_{0}^{1}\dfrac{\left( 1-u\right) ^{n}}{n!}f^{\left( n+1\right) }\left(
yu\right) du$.


\item
Si $y\in \left] 0,a\right[ $, $\ f\left( y\right) =\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{f^{\left( k\right) }\left( 0\right) }{k!}y^{k}+R_{n}\left( y\right)
\geq R_{n}\left( y\right) $ donc $R_{n}\left( y\right) \leq f\left( y\right)
$. \newline
Si $0<x<y$, $\dfrac{R_{n}\left( x\right) }{x^{n+1}}\leq \dfrac{R_{n}\left(
y\right) }{y^{n+1}}\leq \dfrac{f\left( y\right) }{y^{n+1}}$ donc $0\leq
R_{n}\left( x\right) \leq \left( \dfrac{x}{y}\right) ^{n+1}f\left( y\right) $.


Soit $x\in \left[ 0,a\right[ $ et $y\in \left] x,a\right[ $, $0\leq
R_{n}\left( x\right) \leq \left( \dfrac{x}{y}\right) ^{n+1}f\left( y\right) $
donc $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }R_{n}\left( x\right) =0$ et $ f\left( x\right) =\sum\limits_{k=0}^{+\infty }\dfrac{f^{\left( k\right)
}\left( 0\right) }{k!}x^{k}$.

\item D'apr\`{e}s Q1 et Q6.

\item
En prenant $0<x<\dfrac{\pi }{8}$ et $y=\dfrac{\pi }{4}$On a $0\leq
R_{n}\left( x\right) \leq \left( \dfrac{x}{y}\right) ^{n+1}f\left( y\right)
\leq \dfrac{1}{2^{n+1}}$ car $\dfrac{x}{y}\leq \dfrac{1}{2}$ \newline
donc $\left\vert R_{n}\left( x\right) \right\vert =\left\vert \tan \left(
x\right) -S_{n}\left( x\right) \right\vert \leq \dfrac{1}{2^{n+1}}$.\\

On a $2^{10}=1024\geq 10^{3}$ donc $2^{30}\geq 10^{9}$ donc $S_{29}\left(
\dfrac{1}{4}\right) $ est une valeur approch\'{e} de $\tan \left( \dfrac{1}{4 }\right) $ \`{a} $10^{-9}$ pr\`{e}s.


\item La d\'{e}monstration de la question 1 donne si $n\geq 1$, $f^{\left( n+1\right) }\left( 0\right) =\sum\limits_{k=0}^{n} \dfrac{n!}{k!\left( n-k\right) !}f^{\left( k\right) }\left( 0\right)
f^{\left( n-k\right) }\left( 0\right) $ donc $\dfrac{f^{\left( n+1\right)
}\left( 0\right) }{n!}=\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{f^{\left( k\right)
}\left( 0\right) f^{\left( n-k\right) }\left( 0\right) }{k!\left( n-k\right)
!}$.


\item
Avec la question pr\'{e}c\'{e}dente :

\begin{lstlisting}
import numpy as np
T=np.zeros(30)
T[0]=0
T[1]=1
for i in range(1,29):
    a=0
    for k in range(i):
        a=a+T[k]*T[i-k]
    T[i+1]=a/(i+1)
x,S=1,0
for i in range(30):
    S=S+T[i]*x
    x=x/4
\end{lstlisting}

\end{enumerate}


\end{sol}

%================================================================================

%Analyse
\begin{exo}

  \themexo{\'{E}tude d'une int\'{e}grale \`{a} parametre}{int\'{e}grales g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}es, formule de \textsc{Stirling}}

  \begin{enumerate} \item Montrer que l'int\'{e}grale $\dint_0^1 (1-t^2)^x~{\rm d}t$ est d\'{e}finie si et seulement si $x>-1$.
\end{enumerate}
Pour $x>-1$ on notera $\beta(x)=\dint_0^1 (1-t^2)^x~{\rm d}t$.\\
 {\bf On admet} que la fonction $\beta$ ainsi d\'{e}finie est continue  sur $]-1,+\infty[$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que $\beta$ est monotone  et pr\'{e}ciser son sens de variation.
\item Montrer que, pour tout $x>-1$, on a : $\beta(x+1)=\dfrac{2x+2}{2x+3}\beta(x).$
\item Calculer  la limite de $\beta(x)$ lorsque $x$ tend vers $-1$ par valeurs sup\'{e}rieures.
  \item Pour tout $n\in \NN^*$, donner une expression de $\beta(n)$ \`{a} l'aide de factorielles.
\item En admettant et en utilisant la formule de \textsc{\textsc{Stirling}} : $n!\equivalent{n\to +\infty} \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\ee}\right)^n$,\\
  en d\'{e}duire que la suite $(\beta(n))_{n\in \NN}$ converge vers $0$.    \item    \'{E}tudier la convergence de $\beta(x)$ lorsque le nombre {\bf r\'{e}el} $x$ tend vers $+\infty$.
 \end{enumerate}



\end{exo}

\begin{exoBis}

  \begin{enumerate}
  \item Montrer que l'int\'{e}grale $\dint_0^1 (1-t^2)^x~{\rm d}t$ est d\'{e}finie si et seulement si $x>-1$.
\end{enumerate}
Pour $x>-1$ on notera $\beta(x)=\dint_0^1 (1-t^2)^x~{\rm d}t$.\\
 {\bf On admet} que la fonction $\beta$ ainsi d\'{e}finie est continue  sur $]-1,+\infty[$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}

\item D\'{e}terminer une relation entre $\beta(x+1)$ et $\beta(x)$ pour tout $x>-1$.
\item Calculer  la limite de $\beta(x)$ lorsque $x$ tend vers $-1$ par valeurs sup\'{e}rieures.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item En admettant et en utilisant la formule de \textsc{\textsc{Stirling}} : $n!\equivalent{n\to +\infty} \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{\ee}\right)^n$,\\
  d\'{e}terminer la limite de la suite $(\beta(n))_{n\in \NN}$.
  \item \'{E}tudier la convergence de $\beta(x)$ lorsque le nombre r\'{e}el $x$ tend vers $+\infty$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exoBis}

\begin{sol}
  \begin{enumerate}
\item     Pour tout $x\in \RR$  la fonction $t\mapsto (1-t^2)^x$ est continue    sur $[0,1[$ (voire en $1$ si $x\geq 0$).\\
Ainsi l'int\'{e}grale n'est (\'{e}ventuellement) impropre qu'en 1. Or :
$$(1-t^2)^x = (1+t)^x (1-t)^x \mathop{\sim}\limits_{ t \to 1^-} 2^ x (1-t)^x \geq 0.$$
De plus, par ch. de variable $u=1-t$ (de classe $\Continue^1$, strictement d\'{e}croissant, bijectif de $]0,1]$ sur $[0,1[$) dans l'int\'{e}grale classique
$\dint_0^1 \dfrac{{\rm d}u}{u^{-x}}$ on obtient que :
$\dint_0^1 (1-t)^x~{\rm d}t \text{ converge si et seulement si } x>-1.$\\
Donc, par \fbox{th. de comparaison pour les int\'{e}grales impropres} $\beta(x)$ converge si et seulement si $-x<1$.
\item    Pour tout $(x,y) \in \, ]-1\;+\infty[^2$ t.q. $x\leq y$ et tout $t\in ]-1,1[$, comme $1-t^2\in [0,1[$, on : $(1-t^2)^x\geq (1-t^2)^y$.\\
Donc, par \fbox{croissance de l'int\'{e}gration,} on obtient $ \beta(y) \geq  \beta(x)$. Ainsi
 \fbox{$\beta$ est  d\'{e}croissante sur $]-1+\infty[$.}

\item
 Par \fbox{int\'{e}gration par parties} avec :
$ \begin{cases} u(t) = (1-t^2)^{x+1} \  u'(t) = (x+1) (-2t)(1-t^2)^{x} \\  v'(t) = 1 \  v(t) = t \blanc \text{ ($u,v$  $C^1$ sur $[0,1[$). }\end{cases}$

\begin{align*}
 \int_0^1 (1-t^2)^{x+1}\, {\rm d} t&  = \crocint{ (1-t^2)^{x+1} t }_{t=0}^{t\to 1}  - \int_0^1 (x+1)(-2t) (1-t^2)^x t \, {\rm d} t \\
&=0 +2(x+1) \int_0^1 t^2(1-t^2)^x \, {\rm d} t \blanc \text{le crochet converge car $x+1>0$}\\
  &=2(x+1) \big( - \beta(x+1) + \beta(x)\big), \car t^2(1-t^2)^x=(1-t^2)^{x+1}-(1-t^2)^x \text{et tout converge.}
\end{align*}
Soit~:
$ \underbrace{(2x+3)}_{\neq 0} \beta(x+1) = (2x+2)\beta(x),$ \ie
\fbox{$\forall x \in ]-1,+\infty[, \ \beta(x+1) = \dfrac{2x+2}{2x+3} \beta(x).$}
 \item
 Comme \fbox{$\beta$ est continue en $0$,} on a~:
$ \beta(x)
 = \underbrace{\frac{2x+3}{2x+2}}_{\rTo_{x\to -1^+} + \infty} \underbrace{\beta(x+1)}_{\rTo_{x\to -1^+} \beta(0) =1}
 \rTo_{ x \to -1^+} \fbox{$+ \infty.$}$

\item    On a : $\beta(n)  = \frac{2n}{2n+1} \beta(n-1)$. Donc  :
$\dis \beta(n)=\beta(0) \dprod_{k=1}^n \frac{2k}{2k+1}
= \dfrac{\left(\prod_{k=1}^n 2k\right)^2}{\left(\prod_{k=1}^n 2k\right)\left(\prod_{k=1}^n 2k+1\right) }
= \boxed{\dfrac{(2^n n!)^2}{(2n+1)!}.}
$

\item    On peut remplacer $n$ par $2n$ dans la formule de \textsc{\textsc{Stirling}}. Alors :
$$ \beta(n)=\dfrac{2^{2n}(n!)^2}{(2n+1)(2n)!}=\frac{2^{2n} \Big({n\over\ee}\Big)^{2n} 2 \pi n}{(2n+1) \Big({{2n}\over\ee} \Big)^{2n} \sqrt{ 2\pi (2n)}}=\dfrac{\sqrt{\pi n}}{(2n+1)} \boxed{\equivalent{n\to +\infty} \dfrac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{n}}} \rTo_{n\to +\infty} 0.$$

{\em  Remarque :} si l'on ne pense pas \`{a} \'{e}crire astucieusement $(2n+1)!=(2n+1)\times (2n)!$, on arrive aussi \`{a} ce r\'{e}sultat en rempla\c{c}ant $n$ par $2n+1$ dans la formule de \textsc{\textsc{Stirling}}, puis en montrant que : $$ \Big( \frac{2n}{2n+1} \Big)^{2n+1}  = \Big(1-\frac1{2n+1} \Big)^{2n+1}  \rTo_{n\to +\infty} \ee^{-1}.$$



\item  Puisque $\beta$ est d\'{e}croissante,
on a, pour tout $x \geq 0$~:
\fbox{$ \beta \big( \lfloor x\rfloor + 1 \big) \leq \beta(x) \leq \beta \big( \lfloor x\rfloor \big).$}\\
Par ailleurs, comme $\lfloor x\rfloor$ est un entier
et que $\lfloor x\rfloor \rTo_{ x \to + \infty} + \infty,$ d'apr\`{e}s Q6, on a~:
$$ \beta \big(\lfloor x \rfloor +1\big) \rTo_{ x \to + \infty} 0
 \hskip 5 mm {\rm et} \hskip 5 mm
 \beta \big( \lfloor x \rfloor \big) \rTo_{ x \to + \infty} 0,$$
d'o\`{u}, \fbox{par th\'{e}or\`{e}me d'encadrement~:
  $\beta(x) \rTo_{ x \to + \infty } 0 $.}\\ \medskip

{\em Autre id\'{e}e :} la limite existe par th.de la limite monotone ; elle vaut $0$ d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente.
\end{enumerate}

\end{sol}



\chapter{Alg\`{e}bre}



%=====================================================================
% Alg\`{e}gre

  \begin{exo}
\themexo{Calcul de sommes}{polyn\^{o}mes de \textsc{Lagrange}, d\'{e}composition dans un base, lien coefficients/racines}
Soit $n\in\N^*.$\\
Soit $\R[x]$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales \`{a} coefficients r\'{e}els et $\R_n[x]$ le sous-espace vectoriel de $\R[x]$ constitu\'{e} des \'{e}l\'{e}ments de $\R[x]$ de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n$.\\
Soient $(n+1)$ nombres r\'{e}els deux \`{a} deux distincts : $x_0,x_1,\dots,x_n$.\\ \medskip
Pour tout $k\in\llbracket0,n\rrbracket,$ on consid\`{e}re la fonction polynomiale $P_k$ d\'{e}finie  par
$$P_k(x)=\prod_{\substack{j=0\\j\neq k}}^n\dfrac{x-x_j}{x_k-x_j}.$$
\begin{enumerate}
    \item Calculer $P_k(x_i)$ pour tout couple $(k,i)\in\llbracket0,n\rrbracket^2.$
    \item Montrer que $(P_0,P_1,\dots,P_n)$ est une base de $\R_n[x]$.
    \item \begin{enumerate}
        \item Soit $Q\in\R_n[x].$ D\'{e}montrer que $Q=\displaystyle\sum_{k=0}^nQ(x_k)P_k.$
        \item Pour tout $m\in\llbracket1,n\rrbracket,$ calculer $s_m=\displaystyle\sum_{k=0}^nx_k^mP_k(0)$.
    \end{enumerate}
    \item Dans cette question, $Q$ est un \'{e}l\'{e}ment de $\R[x].$

    On pose $Q_1=Q-\displaystyle\sum_{k=0}^nQ(x_k)P_k.$
    \begin{enumerate}
        \item D\'{e}montrer que $Q_1$ admet au moins $n+1$ racines r\'{e}elles distinctes.
        \item On pose $s_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^nx_k^{n+1}P_k(0)$ et $s_{n+2}=\displaystyle\sum_{k=0}^nx_k^{n+2}P_k(0).$

        D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente que $s_{n+1}=(-1)^n\displaystyle\prod_{k=0}^nx_k,$ puis calculer $s_{n+2}.$\\ On exprimera le r\'{e}sultat en fonction de $n,$ de $\displaystyle\sum_{k=0}^nx_k$ et de $\displaystyle\prod_{k=0}^nx_k.$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exoBis}


Soit $n\in\N^*$.
Soit $\R[x]$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales \`{a} coefficients r\'{e}els et $\R_n[x]$ le sous-espace vectoriel de $\R[x]$ constitu\'{e} des \'{e}l\'{e}ments de $\R[x]$ de degr\'{e} inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n$.\\
Soient $(n+1)$ nombres r\'{e}els deux \`{a} deux distincts : $x_0,x_1,\dots,x_n$.\\ \medskip
Pour tout $k\in\llbracket0,n\rrbracket,$ on consid\`{e}re la fonction polynomiale $P_k$ d\'{e}finie  par
$$P_k(x)=\prod_{\substack{j=0\\j\neq k}}^n\dfrac{x-x_j}{x_k-x_j}.$$
\begin{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Montrer que $(P_0,P_1,\dots,P_n)$ est une base $\mathcal{L}$ de $\R_n[x]$.
        \item Soit $Q\in\R_n[x].$ \'Ecrire $Q$ dans la base $\mathcal{L}$.
        \end{enumerate}
  \item Pour tout $m\in\llbracket1,n\rrbracket$, calculer $s_m=\displaystyle\sum_{k=0}^nx_k^mP_k(0)$.

    \item Dans cette question, $Q$ est un \'{e}l\'{e}ment de $\R[x].$

    On pose $Q_1=Q-\displaystyle\sum_{k=0}^nQ(x_k)P_k.$
    \begin{enumerate}
        \item D\'{e}montrer que $Q_1$ admet au moins $n+1$ racines r\'{e}elles distinctes.
        \item Calculer  $s_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^nx_k^{n+1}P_k(0)$ puis $s_{n+2}=\displaystyle\sum_{k=0}^nx_k^{n+2}P_k(0).$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exoBis}

\begin{sol}

\begin{enumerate}
    \item On a pour tout $i$ et tout $k, P_k(x_i)=\left\{\begin{array}{cc}
        1 &\text{si}\hspace{0.2cm} i=k  \\
        0 & \text{sinon}
    \end{array}\right.$.
    \item Observons tout d'abord que pour tout $k\in\llbracket0,n\rrbracket,$ $\deg(P_k)=n$ donc $P_k\in\R_n[x].$

    Soit $(\lambda_0,\ldots,\lambda_n)\in\R^n$ tel que $\displaystyle{\sum_{k=0}^n}\lambda_kP_k=0.$
    Soit $i\in\llbracket0,n\rrbracket.$ En \'{e}valuant cette \'{e}galit\'{e} en $x_i,$ on trouve $\lambda_i=0$. Donc pour tout $i\in\llbracket0,n\rrbracket, \lambda_i=0,$ ce qui implique que la famille $(P_0,\ldots ,P_n)$ est libre dans $\R_n[x].$ Puisqu'elle comporte $n+1$ \'{e}l\'{e}ments et que $\dim(\R_n[x])=n+1,$ on en d\'{e}duit que la famille $(P_0,\ldots ,P_n)$ est une base de $\R_n[x].$
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Soit $Q\in\R_n[x].$ Puisque la famille $(P_0,\ldots,P_n)$ est une base de $\R_n[x],$ il existe une famille (unique) de scalaires $(\lambda_0,\ldots,\lambda_n)$ telle que
        $Q=\displaystyle\sum_{k=0}^n\lambda_kP_k.$

        Soit $k\in\llbracket0,n\rrbracket.$ En \'{e}valuant en $x_k$, on trouve $Q(x_k)=\lambda_k$ soit $Q=\displaystyle{\sum_{k=0}^n}Q(x_k)P_k.$
        \item Soit $m\in\llbracket1,n\rrbracket.$ Soit $Q=X^m.$ D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, on a $Q=\displaystyle{\sum_{k=0}^n}x_k^mP_k.$

        Ainsi, on a  $s_m=Q(0)=0.$
    \end{enumerate}
    \item
    \begin{enumerate}
        \item Soit $i\in\llbracket0,n\rrbracket.$ On a
        $Q_1(x_i)=Q(x_i)-\displaystyle\sum_{k=0}^nQ(x_k)P_k(x_i)=Q(x_i)-Q(x_i)=0,$ (\cf Q1)\\ donc $Q_1$ admet au moins $n+1$ racines r\'{e}elles distinctes que sont les $x_i,$ pour $i\in\llbracket0,n\rrbracket.$

        \item

        Soit $Q=X^{n+1}.$ Alors $Q_1=X^{n+1}-\displaystyle{\sum_{k=0}^n}x_k^{n+1}P_k$, donc $Q_1(0)=-\displaystyle{\sum_{k=0}^n}x_k^{n+1}P_k(0)=-s_{n+1}.$

        Les polyn\^{o}mes $P_k,$ pour $0\leq k\leq n$ \'{e}tant tous de degr\'{e} $n$, alors $Q_1$ est de degr\'{e} $n+1$ et de coefficient dominant \'{e}gal \`{a} $1$. Or, d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, il admet au moins $n+1$ racines que sont les
 $x_k$ pour $0\leq k\leq n$. Donc
        $Q_1=\displaystyle\prod_{k=0}^n(X-x_k),$ d'o\`{u} $Q_1(0)=(-1)^{n+1}\displaystyle{\prod_{k=0}^n}x_k.$

        En comparant les deux expressions de $Q_1(0),$ on en d\'{e}duit
        $s_{n+1}=(-1)^n\displaystyle{\prod_{k=0}^n}x_k.$

          Pour le calcul de $s_{n+2},$ posons cette fois $Q=X^{n+2}.$\\ Alors $Q_1=X^{n+2}-\displaystyle{\sum_{k=0}^n}x_k^{n+2}P_k$, donc $Q_1(0)=-\displaystyle{\sum_{k=0}^n}x_k^{n+2}P_k(0)=-s_{n+2}.$

        Comme pr\'{e}c\'{e}demment, $Q_1$ est un polyn\^{o}me unitaire, de degr\'{e} $n+2$ dont on conna\^{\i}t $n+1$ racines, donc il existe $a\in\R$ tel que
        $Q_1=(X-a)\displaystyle\prod_{k=0}^n(X-x_k).$

        En utilisant les relations coefficients-racines, on sait que la somme des racines de $Q_1$ est le coefficient de $Q_1$ devant $X^{n+1}$ donc $a+\displaystyle{\sum_{k=0}^n}x_k=0,$ i.e. $a=-\displaystyle\sum_{k=0}^nx_k.$\\  Ainsi, $Q_1=\left(X+\displaystyle\sum_{k=0}^nx_k\right)\displaystyle\prod_{k=0}^n(X-x_k),$

        d'o\`{u} $Q_1(0)=(-1)^{n+1}\left(\displaystyle{\sum_{k=0}^n}x_k\right)\displaystyle{\prod_{k=0}^nx_k}.$\\ En comparant les deux expressions de $Q_1(0),$ on en d\'{e}duit
        \fbox{$s_{n+2}=(-1)^n\left(\displaystyle{\sum_{k=0}^n}x_k\right)\displaystyle{\prod_{k=0}^nx_k}.$}

        \end{enumerate}
    \end{enumerate}


\end{sol}
%=========================================================
% Alg\`{e}bre

  \begin{exo}
\themexo{Somme d'une matrice et d'une matrice de rang 1}{espace euclidien, noyau, orthogonalit\'{e}, diagonalisation}

Soit un entier $n\geq 2$. On note $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices carr\'{e}es de taille $n$ \`{a} coefficients r\'{e}els et $\mathrm{I}_n$ la matrice identit\'{e} de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.  On d\'{e}signe par  $\operatorname{Ker}(M)$ et   $\operatorname{Im}(M)$ respectivement le noyau et  l'image d'une matrice $M\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et par $\operatorname{Sp}(M)$ l'ensemble de ses valeurs propres. On  munit l'espace euclidien des matrices colonnes de taille $n$, $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, de son produit scalaire usuel $(U,V)=\transposee U V$ pour $U,\, V\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}).$ \\[4pt]
Soit $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
\begin{enumerate}
\item Soit $X$ un vecteur propre de $A$ associ\'{e} \`{a} la valeur propre $\lambda\in \mathbb{R}$ et  $Y$ un vecteur propre de $\transposee A$ associ\'{e} \`{a} la valeur propre $\mu\in  \mathbb{R}$. Montrer que si $\mu\neq \lambda$ alors les vecteurs  $X$ et $Y$ sont orthogonaux.

\item Soit $\lambda\in \mathbb{R}$. Montrer que $\operatorname{Ker}( \transposee A-\lambda\mathrm{I}_n)^{\perp}=\operatorname{Im}( A-\lambda\mathrm{I}_n)$.

\item On suppose qu'il existe  $\lambda\in \mathbb{R}$ et $X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\setminus \{ 0\}$ tels que $\operatorname{Ker} (A-\lambda\mathrm{I}_n)=\operatorname{Vect}(X)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe $Y\in M_{n,1}(\mathbb{R})\setminus \{ 0\}$ tel que $\operatorname{Ker}( \transposee A-\lambda\mathrm{I}_n)=\operatorname{Vect}(Y)$.
\item Montrer que si  $X$ et $Y$ sont orthogonaux alors $\operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n)\neq \operatorname{Ker}(  (A-\lambda\mathrm{I}_n)^2)$.  \smallskip
\item En d\'{e}duire que si  $X$ et $Y$ sont orthogonaux, alors $A$ n'est pas diagonalisable.(On pourra raisonner par l'absurde).
\item Montrer que si  $X$ et $Y$ ne sont pas orthogonaux alors $\operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n)= \operatorname{Ker}(  (A-\lambda\mathrm{I}_n)^2)$.
\end{enumerate}



\item Dans cette question, on  suppose que $A$ est diagonalisable et   qu'il existe   $\lambda\in \mathbb{R}$, $X\in M_{n,1}(\mathbb{R})\setminus \{ 0\}$ tels que $\operatorname{Ker} (A-\lambda\mathrm{I}_n)=\operatorname{Vect}(X)$.
 Soient  $\operatorname{Sp}(A)=\{\lambda, \lambda_2, \lambda_3, \ldots, \lambda_n\}$ l'ensemble des valeurs propres de $A$ et $Y\in M_{n,1}(\mathbb{R})\setminus \{ 0\}$ une matrice colonne donn\'{e}e par la question 3) (a) telle que $\operatorname{Ker}( \transposee A-\lambda\mathrm{I}_n)=\operatorname{Vect}(Y)$.

Montrer que la matrice $A+  X \transposee Y$ est diagonalisable et d\'{e}terminer  $\operatorname{Sp}(A+  X \transposee Y)$.

\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exoBis}


Soit un entier $n\geq 2$. On note $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l'ensemble des matrices carr\'{e}es de taille $n$ \`{a} coefficients r\'{e}els. On  munit l'espace euclidien des matrices colonnes de taille $n$, $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, de son produit scalaire canonique $(U,V)=\transposee U V$ pour $U,\, V\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}).$ \\

Soit $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}

\item Soit $X$ un vecteur propre de $A$ associ\'{e} \`{a} la valeur propre $\lambda\in \mathbb{R}$ et  $Y$ un vecteur propre de $\transposee A$ associ\'{e} \`{a} la valeur propre $\mu\in  \mathbb{R}$. Montrer que si $\mu\neq \lambda$ alors les vecteurs  $X$ et $Y$ sont orthogonaux.

\item On suppose qu'il existe  $\lambda\in \mathbb{R}$ et $X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\setminus \{ 0\}$ tels que $\operatorname{Ker} (A-\lambda\mathrm{I}_n)=\operatorname{Vect}(X)$.
\end{enumerate}


\item
\begin{enumerate}
\item Montrer qu'il existe $Y\in M_{n,1}(\mathbb{R})\setminus \{ 0\}$ tel que $\operatorname{Ker}( \transposee A-\lambda\mathrm{I}_n)=\operatorname{Vect}(Y)$.
\item Montrer que si  $X$ et $Y$ sont orthogonaux alors $\operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n)\neq \operatorname{Ker}(  (A-\lambda\mathrm{I}_n)^2)$.  \smallskip
\item En d\'{e}duire que si  $X$ et $Y$ sont orthogonaux, alors $A$ n'est pas diagonalisable.
\end{enumerate}

\item Montrer que si  $X$ et $Y$ ne sont pas orthogonaux alors $\operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n)= \operatorname{Ker}(  (A-\lambda\mathrm{I}_n)^2)$.

\end{enumerate}

\end{exoBis}

\begin{sol}
\begin{enumerate}
\item  On a
 $(A \, X, Y)=\lambda (X, Y)=  (X, \transposee A \,  Y)=\mu \,  ( X, Y)$.\\ Ainsi, il vient $(\lambda-\mu) \, (X, Y)= 0$ avec  $\lambda\neq \mu$ par hypoth\`{e}se. On conclut  donc que $(X,Y)=0$.
\item Soit $Z\in \operatorname{Im}( A-\lambda\mathrm{I}_n)$. Il existe donc $U\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ tel que $Z=(A-\lambda\mathrm{I}_n) U$.  Soit $V\in \operatorname{Ker}( \transposee A-\lambda\mathrm{I}_n)$. Il vient  alors $(Z,V)=((A-\lambda\mathrm{I}_n) U, V)=(U,  (\transposee A-\lambda\mathrm{I}_n) \,V)=0$ donc $Z\in \operatorname{Ker}( \transposee A-\lambda\mathrm{I}_n)^{\perp}$.\\ Ainsi :
$\operatorname{Im}( A-\lambda\mathrm{I}_n)\subset \operatorname{Ker}( \transposee A-\lambda\mathrm{I}_n)^{\perp}$. \\
Cette inclusion est une \'{e}galit\'{e} d'apr\`{e}s l'\'{e}galit\'{e} des dimensions (via le th\'{e}or\`{e}me du rang).
  \item
\begin{enumerate}

\item  De l'hypoth\`{e}se, on d\'{e}duit que $\dim(\operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n))=1$. Or comme $\operatorname{rang} (A-\lambda\mathrm{I}_n )=\operatorname{rang}(\transposee A-\lambda\mathrm{I}_n)$, il vient par th\'{e}or\`{e}me du rang que $\dim(\operatorname{Ker}(\transposee  A-\lambda\mathrm{I}_n)=\dim(\operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n)=1$.\\ Il existe donc $Y\in M_{n,1}(\mathbb{R})\setminus \{ 0\}$ tel que $\operatorname{Ker}( \transposee A-\lambda\mathrm{I}_n)=\operatorname{Vect}(Y)$.\\ (On aurait pu aussi utiliser  la question 2)).

\item En utilisant 2), on a  $\operatorname{Vect}(Y)^{\perp}=\operatorname{Ker}( \transposee A-\lambda\mathrm{I}_n)^{\perp}=\operatorname{Im}( A-\lambda\mathrm{I}_n)$.\\ Or $X$ et $Y$ sont orthogonaux, on a donc $X\in \operatorname{Im}( A-\lambda\mathrm{I}_n)$.\\ Ainsi, il existe $U\in M_{n,1}(\mathbb{R})$ tel que $X=(A-\lambda \mathrm{I}_n ) U$.\\ D'une part, comme $X\neq 0$, on a  $U\notin  \operatorname{Ker}(A-\lambda \mathrm{I}_n )$.\\ D'autre part, comme $X\in \operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n)$, on a $(A- \lambda\mathrm{I}_n)^2 U= (A-\lambda \mathrm{I}_n ) X=0$.\\ Ainsi $U\in  \operatorname{Ker}((A-\lambda \mathrm{I}_n )^2)$. On conclut alors que $\operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n)\neq  \operatorname{Ker}\big( (A-\lambda\mathrm{I}_n)^2\big)$.

\item Supposons par l'absurde que $A$ soit diagonalisable et semblable \`{a} une matrice diagonale $\Delta$.  Alors $$\rg(A-\lambda \mathrm{I}_n)= \rg(\Delta-\lambda \mathrm{I}_n)= \rg((\Delta-\lambda \mathrm{I}_n)^2)\underset{\text{(nb. val. propres non nulles)}}= \rg((A-\lambda \mathrm{I}_n)^2) ,$$
en contradiction avec 3.b).

 \item On montre ais\'{e}ment  que $\operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n)\subset  \operatorname{Ker}(  (A-\lambda\mathrm{I}_n)^2) $.\\ Montrons l'autre inclusion. Soit $U\in \operatorname{Ker}\big( (A-\lambda\mathrm{I}_n)^2\big)$.\\ On a alors $(A-\lambda \mathrm{I}_n) U\in  \operatorname{Im}( A-\lambda\mathrm{I}_n)\cap \operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n)$.\\ Ainsi, d'une part, il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $(A-\lambda \mathrm{I}_n) U=\alpha X$.\\ D'autre part, comme $\operatorname{Vect}(Y)^{\perp}=\operatorname{Im}( A-\lambda\mathrm{I}_n)$, on a  $((A-\lambda \mathrm{I}_n) U, Y)=0= \alpha (X, Y)$ avec $(X, Y)\neq 0$.\\ On d\'{e}duit que  $\alpha=0$. Ainsi, $U\in \operatorname{Ker}( A-\lambda\mathrm{I}_n)$.
\end{enumerate}



\item Comme $A$ est diagonalisable et $\operatorname{Ker} (A-\lambda\mathrm{I}_n)=\operatorname{Vect}(X)$ avec $X\neq 0$, il existe une base de vecteurs propres $(X, U_2, \ldots U_n)$  de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$  telle que $A X= \lambda X$ et $A\,  U_i=\lambda_i\, U_i$ avec $\lambda_i\neq \lambda$ pour $i\in\{2, \ldots n\}$. Comme $\lambda\neq \lambda_i$ et que $Y$ est un vecteur propre de $\transposee A$ pour la valeur propre $\lambda$.\\ On d\'{e}duit de la question 1. que $(Y,U_i)=0$ pour $i\in \llbracket 2, n\rrbracket$.\\ Ainsi, il vient $(A+  X \transposee Y)U_i=A U_i+(Y, U_i) X= \lambda_i U_i$  pour  $i\in \{2,\ldots, n\}$.\\ De plus, $(A+  X \transposee Y)X = \lambda X+(Y,X) \,X =(\lambda+(Y,X))\, X$.

    Donc $(X, U_2, \ldots U_n)$ est une base de vecteurs propres de $A+  X \transposee Y$ avec pour valeurs propres  associ\'{e}es   $\lambda+(Y,X), \lambda_2, \lambda_3, \ldots, \lambda_n$. $A+  X \transposee Y$ est donc diagonalisable et $\operatorname{Sp}(A+  X \transposee Y)=\{ \lambda+(X,Y), \lambda_2, \ldots, \lambda_n\}$.\\

\end{enumerate}
\end{sol}

%======================================================================
% Alg\`{e}bre

\begin{exo}

  \themexo{Distance d'un point \`{a} un \textsc{sev}}{Espace euclidien, fonctions de plusieurs variables}
Soit $n\in \N^*$. On munit  ${\mathbb{R}}^{n+1}$  de son produit scalaire canonique et de la nome associ\'{e}e.\\ On note $\mathcal{B}= (e_1, \ldots, e_{n+1})$ la base canonique de $\R^{n+1}$.\\
On note $u$ le vecteur de ${\mathbb{R}}^{n+1}$ d\'{e}fini par $u= \dsum_{i=1}^{n+1} e_i$.\\ On d\'{e}signe par $H$ l'orthogonal de la droite engendr\'{e}e par $u$.\\
Pour tout $j$  de $\llbracket{1,n\rrbracket}$, on pose :
$$v_j=\sqrt{\frac{j}{j+1}} \left( \sum_{k=1}^j -\frac{1}{j}e_k+ e_{j+1}\right)$$
Enfin, on note aussi  $v=\dsum_{i=1}^{n+1} a_ie_i$ un vecteur fix\'{e} de $\R^{n+1}$ (avec $a_1,\dots,a_n \in \RR$ fix\'{e}s).
\begin{enumerate}



 \item Montrer que $(v_1,v_2, \ldots,v_n)$ est une base orthonorm\'{e}e de $H$.

  \item D\'{e}terminer $\displaystyle \inf_{w\in H}\|v-w\|$. Ce r\'{e}el est not\'{e} $d(v,H)$.

  \item On d\'{e}finit l'application $\R^{n} \rTo^f \R$ par :
    $$f(x_1,\ldots ,x_{n})=  \|v-w\|^2 \avec w=\dsum_{i=1}^{n+1}x_ie_i \in H.$$
    \begin{enumerate}
  \item Montrer qu'on d\'{e}finit bien ainsi une application $f$, et
    donner une expression simplifi\'{e}e de $f(x_1, \ldots, x_n)$.

  \item D\'{e}terminer les points critiques de $f$ sur $\R^{n}$.

  \item Montrer que $f$ admet un minimum global sur $\R^n$ et le calculer.

  \item Comparer avec le r\'{e}sultat de la question $3$.
  \end{enumerate}


  \end{enumerate}


\end{exo}

\begin{exoBis}

Soit $n\in \N^*$. On munit  ${\mathbb{R}}^{n+1}$  de son produit scalaire canonique et de la nome associ\'{e}e.

\noindent
On note $\mathcal{B}= (e_1, \ldots, e_{n+1})$ la base canonique de $\R^{n+1}$,  $u$ le vecteur de ${\mathbb{R}}^{n+1}$ d\'{e}fini par $u= \dsum_{i=1}^{n+1} e_i$ et $H$ l'orthogonal de la droite engendr\'{e}e par $u$.\\
Pour tout $j$  de $\llbracket{1,n\rrbracket}$, on pose :
$$v_j=\sqrt{\frac{j}{j+1}} \left( \sum_{k=1}^j -\frac{1}{j}e_k+ e_{j+1}\right)$$
%Enfin, on note aussi   (avec $a_1,\dots,a_n \in \RR$ fix\'{e}s).
\begin{enumerate}

 \item Montrer que $(v_1,v_2, \ldots,v_n)$ est une base orthonorm\'{e}e de $H$.

  \item Soit $v=\dsum_{i=1}^{n+1} a_ie_i$ un vecteur fix\'{e} de $\R^{n+1}$. D\'{e}terminer $\displaystyle d(v,H)=\inf_{w\in H}\|v-w\|$.

  \item On d\'{e}finit l'application $\R^{n} \rTo^f \R$ par :
    $$f(x_1,\ldots ,x_{n})=  \|v-w\|^2 \avec w=\dsum_{i=1}^{n+1}x_ie_i \in H.$$
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $f$ admet un minimum global sur $\R^n$ et le calculer.
  \item Comparer avec le r\'{e}sultat de la question $2$.
  \end{enumerate}


  \end{enumerate}

\end{exoBis}


\begin{sol}

 \begin{enumerate}
       \item Il est clair que les $v_j$ appartiennent $H$ car  $\lbrace u,v_j \rbrace=j\frac{-1}{j}+1=0$.\\
    De plus
 \begin{itemize}
\item[$\bullet$] Soit $1 \leq j <k\leq n$. Alors  $\langle v_j, v_k\rangle =\sqrt{\frac{j}{j+1}} \sqrt{\frac{k}{k+1}}\left(
j(-\frac{1}{j})(-\frac{1}{k})+(-\frac{1}{k})\right)=\sqrt{\frac{j}{j+1}} \sqrt{\frac{k}{k+1}}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k}\right)=0$

\item[$\bullet$] Puis, $\forall j, \|v_j\|^2=\frac{j}{j+1}\left(j(-\frac{1}{j})^2+1\right)=\frac{j}{j+1}\left(\frac{1}{j}+1\right)=1$
\end{itemize}
C'est une famille orthonorm\'{e}e, donc libre.\\ Or $H$ est un hyperplan de $\R^{n+1}$, il est de dimension $n$ \'{e}gale au cardinal de la famille. \\Donc c'est une base orthonorm\'{e}e.


\item D'apr\`{e}s le cours, cet inf est un min \'{e}gal \`{a}  $\|v-v_H\|^2$, o\`{u} $v_H$ est le projet\'{e} orthogonal de $v$ sur $H$.\\ Calculons $v_H=(b_1,\ldots,b_n,b_{n+1})$ ; on a : \\
$$v-v_H \perp H \underset{H=u^{\perp}}\iff \exists k\in \R,\ v_H-v=ku \iff \forall i\in \llbracket 1,\ n+1\rrbracket, b_i=a_i+k.$$
En ajoutant toutes ces \'{e}quations, et tenant compte de $b_{n+1}=-\dsum_{i=1}^nb_i$ on obtient :

$$0=\sum_{i=1}^{n+1}a_i+(n+1)k\Rightarrow k=-\frac{1}{n+1}\dsum_{i=1}^{n+1}a_i=-\frac{\sigma}{n+1}, \mbox{avec }
\sigma=\dsum_{i=1}^{n+1}a_i.$$

Finalement, \fbox{$\displaystyle \inf_{w\in H}\|v-w\|=\|v-v_H\|^2=\dsum_{i=1}^{n+1}(a_i-b_i)^2=\frac{\sigma^2}{n+1}$.}

\item
\begin{enumerate}
\item Comme $w\in H$, on a $x_{n+1}=-\dsum_{i=1}^nx_i$, donc $\|v-w\|^2$ ne d\'{e}pend que de $x_1,\dots,x_n$.\\
  Ainsi $f$ est bien d\'{e}finie et  $\boxed{f(x_1,\ldots x_n)=\dsum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2+\left(a_{n+1}-\dsum_{i=1}^nx_i \right)^2.}$
\item

 On a :  $\forall i \in \{1,\ldots,n\}, \partial_i f(x_1,\dots,x_{n}) =2(x_i-a_i)-2\left(a_{n+1}-\dsum_{i=1}^nx_i\right).$

Les points critiques de $f$  sont donc caract\'{e}ris\'{e}s par : $\forall i \in \llbracket 1,n\rrbracket,\ x_i-a_i=a_{n+1}-\dsum_{i=1}^nx_i \ \ (\star).$\\
En sommant de $1$ \`{a} $n$, on a : $\dsum_{i=1}^nx_i -\dsum_{i=1}^na_i= na_{n+1} - n\dsum_{i=1}^nx_i$, d'o\`{u} $\dsum_{i=1}^nx_i=\frac1{n+1}\sum_{i=1}^n(a_i+a_{n+1})$.
En r\'{e}injectant dans $(\star)$ il y a un unique point critique $(y_1,\dots,y_{n})$ donn\'{e} par :
$$\forall i \in \llbracket 1,\ldots,n \rrbracket, \  y_i-a_i=a_{n+1}-\frac1{n+1}\sum_{i=1}^n(a_i+a_{n+1})= \frac1{n+1} \dsum_{i=1}^{n+1} a_i.$$








\item  Donc $f(y_1,\ldots ,y_n)=\dsum_{i=1}^{n+1}(y_i-a_i)^2=\frac1{n+1} \left(\dsum_{i=1}^{n+1} a_i\right)^2$.\\
  Pour montrer que c'est un minimum global, on remarque   que $\dlim_{||x||\to +\infty} f(x)= +\infty$.\\ Ainsi pour $A>\frac{\sigma^2}{n+1}$, il existe $R$ tel que si $||x||>R$, on a $||f(x)||\geq A$.\\ Sur le ferm\'{e} born\'{e} $\overline{B}(0,R)$, la fonction continue $f$ est born\'{e}e et atteint son minimum.\\  Comme $\RR^n$ est ouvert il est  atteint en un point critique de $f$ qui qui ne peut \^{e}tre que $(y_1,\ldots ,y_n)$.

    \item
  {\en Conclusion : } on constate l'\'{e}galit\'{e} entre $\min(f)$ et la distance au carr\'{e}  de $v$ \`{a} $H$.
\end{enumerate}

 \end{enumerate}



\end{sol}

%==========================================================================================
%Alg\`{e}bre

\begin{exo}

  \themexo{Endomorphisme $M\mapsto AM$}{Matrices, diagonalisation}
  Soit un entier $n\geq 2$. Soit $E= \mathcal{M}_n(\R)$ l'ensemble des matrices carr\'{e}es r\'{e}elles d'ordre $n$.\\
  Pour toute matrice $B\in E$ on note $\Phi_B$ l'endomorphisme de $E$ d\'{e}fini par :
$$\forall M\in E, \Phi_B(M)= BM$$

 Soit $A\in E$ une matrice fix\'{e}e.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
   \item Montrer que si $A$ est nilpotente (c'est-\`{a}-dire qu'il existe $p\geq 2$ tel que $A^p=0$), alors $\Phi_A$ est nilpotent (c'est-\`{a}-dire qu'il existe $q\geq 2$ tel que $\Phi_A^q=0$).
\item Soit $P$ un polyn\^{o}me. Trouver une matrice $B$ telle que $P(\Phi_A)=\Phi_B$.
  \item Montrer que $A$ admet un polyn\^{o}me annulateur (non nul).\\
       Montrer que $A$ et  $\Phi_A$ ont les m\^{e}mes polyn\^{o}mes annulateurs.
    \end{enumerate}


\item Trouver une condition n\'{e}cessaire et suffisante sur $A$ pour que $\Phi_A$ soit un isomorphisme de $E$.\\

\end{enumerate}
Dans la question 3, on admet le r\'{e}sultat suivant (qui sera \`{a} d\'{e}montrer dans la question 4) : \\
Une matrice $B$ est diagonalisable si et seulement s'il existe $\lambda_1, \ldots, \lambda_p\in \R$  distincts tels que le polyn\^{o}me  $m$ d\'{e}fini par $m(x)= \dprod_{k=1}^p (x-\lambda_k)$ soit annulateur  de $B$.

\begin{enumerate}[resume]

\item Montrer  que  $A\in E$ est diagonalisable si et seulement si $\Phi_A$ est diagonalisable.

\item {\em D\'{e}monstration du r\'{e}sultat admis.}
\begin{enumerate}
 \item Soient $u,v$ deux endomorphisme d'un espace vectoriel de dimansion finie. Montrer  que :
$$\dim(\Ker(u\circ v)) \leq \dim(\Ker u) +\dim(\Ker v)$$
\item En d\'{e}duire le r\'{e}sultat admis.
    \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exoBis}

  Soit un entier $n\geq 2$. Soit $E= \mathcal{M}_n(\R)$ l'ensemble des matrices carr\'{e}es r\'{e}elles d'ordre $n$.\\
  Pour toute matrice $A\in E$ donn\'{e}e, on note $\Phi_A$ l'endomorphisme de $E$ d\'{e}fini par :
$$\forall M\in E, \Phi_A(M)= AM$$

 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $A$ et  $\Phi_A$ ont les m\^{e}mes valeurs propres.

\item On suppose que $A$ est diagonalisable.
\begin{enumerate}
\item Montrer que ${}^t A$ est diagonalisable.

\item Montrer que $\Phi_A$ est diagonalisable.
\end{enumerate}
\item
 \begin{enumerate}
 \item Soient $u,v$ deux endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Montrer  que :
$$\dim(\Ker(u\circ v)) \leq \dim(\Ker u) +\dim(\Ker v)$$
\item Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ admet un polyn\^{o}me annulateur qui n'a que des racines simples.
\item On suppose que $\Phi_A$ est diagonalisable. Montrer que $A$ est diagonalisable.
    \end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{exoBis}




\begin{sol}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
  \item Par r\'{e}currence \'{e}vidente sur $k\geq 0$, on a  $(\Phi_A)^k(M)= \Phi_{A^k}(M)$ pour tout $M$,\\
  \ie $(\Phi_A)^k= \Phi_{A^k}$. Donc $q=p$ convient.
   \item On vient de voir que pour tout $k\in \N$, on a $(\Phi_A)^k= \Phi_{A^k}$.\\
  Si $P(x)= \dsum_{j=0}^p a_j x^j$, pour tout $M\in E$, on a alors $P(\Phi_A)(M)=\Phi_{P(A)}(M)$.\\
  Ainsi \fbox{$P(\Phi_A)=\Phi_{P(A)}$.}
\item La famille $(I, A, \ldots, A^{n^2})$ est de cardinal $n^2+1$ dans $E$  de dimension $n^2$ ; elle est donc li\'{e}e.\\
  Ainsi $A$ poss\`{e}de un polyn\^{o}me annulateur $P$.\\
  D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente tout polyn\^{o}me $P$ annulateur $A$ est un polyn\^{o}me  annulateur de $\Phi_A$.\\
  R\'{e}ciproquement si $P(\Phi_A)=0$, alors, pour tout $M\in E$, on a $P(A)M=0$.\\ En prenant $M=I_n$, on obtient $P(A)=0$.

 \end{enumerate}
\item Si $A$ est inversible, alors $\Phi_A \circ \Phi_{A^{-1}}=\Phi_{A^{-1}} \circ \Phi_A=\id_E$, donc $\Phi_A$ bijective.\\
  R\'{e}ciproquement (par contrapos\'{e}e), si $A$ n'est pas inversible, alors pour tout $X\in \Ker A \setminus\{0\} $, la matrice $M$ dont les colonnes sont $(X,X, \ldots, X)$ appartient \`{a} $\Ker \Phi_A$,. \\
  Donc $\Ker \Phi_A\neq\{0\}$ donc $\Phi_A$ n'est pas injective, et donc n'est pas bijective.\\
Une condition n\'{e}cessaire et suffisante de bijectivit\'{e} de $\Phi_A$ est donc \fbox{$A$ inversible.}



\item En passant par sa matrice dans une base, le r\'{e}sultat admis s'\'{e}tend \`{a} un endomorphisme.\\ Ainsi $\Phi_A$ est diagonalisable si et seulement s'il poss\`{e}de un polyn\^{o}me annulateur scind\'{e} \`{a} racines simples.\\
D'o\`{u} l'\'{e}quivalence puisque $A$ et $\Phi_A$ ont les m\^{e}mes polyn\^{o}mes annulateurs (\cf Q1c).

\item
\begin{enumerate}


\item Soit $w$ la restriction de $u$ \`{a} l'image de $v$ \ie  $w=u|_{\Im(v)}$.\\ Alors $w$ est une application lin\'{e}aire de $\Im(v)$ dans $\Im(u\circ v)$.
    On a :
    $$\Ker w=\{y\in \Im(v) / u(y)=0\}= \Ker(u)\cap \Im(v),\  \Im(w)=\{u(v(x)), x\in E\}=\Im(u\circ v)$$
    Le th\'{e}or\`{e}me du rang appliqu\'{e} \`{a} $w$, puis \`{a} chaque endomorphisme $u$ et $v$,  permet d'\'{e}crire
    $$ \dim (\Im(v))= \dim(\Ker(u)\cap \Im(v))+\dim(\Im(u\circ v)) \Leftrightarrow \dim(\Ker(u\circ v)) \leq \dim(\Ker u) +\dim(\Ker v)$$
  \item Si $A$ est diagonalisable, en prenant $m=\dprod_{\lambda \in \Sp(M)} (X-\lambda)$, on obtient classiquement que $m(A)=0$.\\

    R\'{e}ciproquement si $m(A)=0$. \\
    On g\'{e}n\'{e}ralise la question pr\'{e}c\'{e}dente \`{a} plusieurs endomorphismes par r\'{e}currence. Il vient donc
    $$n \underset{m(A)=0}= \dim\left(\ker (\prod_{k=1}^p (A-\lambda_k I)\right) \leq \sum_{k=1}^p \dim (\Ker (A-\lambda_k I)) \leq n,$$
    car les sous espaces propres sont en somme directe.\\ Donc $\dsum_{k=1}^p \dim (\Ker (A-\lambda_k I))=n$,           ce qui montre que $A$ est diagonalisable.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{sol}

%=============================================================================
% Alg\`{e}bre

  \begin{exo}
\themexo{Couple d'endomorphismes}{valeur propre, noyau image}

	Soit $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal  \`{a} $2$. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $\cal B$ une base de $E$, $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que $u\circ v=v\circ u$ et v\'{e}rifiant $\ker(u)\cap\ker(v)=\{0_E\}$.\\
	
	On dit que $\lambda$ est une valeur propre du couple $(u,v)$ si $\ker(u-\lambda v)$ n'est pas r\'{e}duit \`{a} $\{0_E\}$. On note $\Sp(u,v)$ l'ensemble des valeurs propres du couple $(u,v)$.
	
\begin{enumerate}
\item {\bf Dans cette question seulement,} on suppose que $n=2$ et que : $$M_{\cal B}(u)=\begin{pmatrix}
			1 & 1\\
			-1 & -1	
		\end{pmatrix} \bet M_{\cal B}(v)=\begin{pmatrix}
			0 & -1\\
			1 & 2	
		\end{pmatrix}.$$ Montrer que le couple $(u,v)$ v\'{e}rifie les hypoth\`{e}ses de l'\'{e}nonc\'{e} et d\'{e}terminer $\Sp(u,v)$.
		
		\item On suppose dans cette question que $v$ est un isomorphisme de $E$ sur $E$.\\ Montrer que $\Sp(u,v)=\Sp(v^{-1}\circ u)$,\\ o\`{u} $\Sp(v^{-1}\circ u)$ d\'{e}signe l'ensemble des valeurs propres de $v^{-1}\circ u$.
		\item Soit $\lambda$ et $\mu$ deux r\'{e}els distincts.
		Montrer que $\ker(u-\lambda v)\cap \ker(u-\mu v)=\{0_E\}$.
		\item Soit $p$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $2$. On consid\`{e}re dans cette question, $\lambda_1,\ldots,\lambda_{p}$ des r\'{e}els deux \`{a} deux distincts  et on suppose que les noyaux $\ker(u-\lambda_kv)$, pour $k \in \llbracket 1,p\rrbracket $ sont en somme directe.
		
		Soient $\lambda_{p+1}$ diff\'{e}rent des autres $\lambda_k$.\\
		\begin{enumerate}
\item Pour tout  $k \in \llbracket 1,p+1\rrbracket$, on se donne $x_{k}\in\ker(u-\lambda_{k}v)$ v\'{e}rifiant $\displaystyle \sum_{k=1}^{p+1}x_k=0$.\\

			% \item Montrer que l'on a les deux \'{e}galit\'{e}s suivantes:
			% $$ \sum_{k=1}^{p+1}v(x_k)=0 \mbox{ et }
			% 	\sum_{k=1}^{p+1}\lambda_kv(x_k)=0	
			% $$
                        % \item
  Montrer que : \begin{itemize}
    \item[$\bullet$]
   %En d\'{e}duire que
      l'on a : $\dsum_{k=1}^{p}(\lambda_k-\lambda_{p+1})v(x_k)=0$ ;
      \item[$\bullet$]
                  pour tout $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$, on a : $v(x_k)\in\ker(u-\lambda_kv)$.
                  \end{itemize}
                         % En d\'{e}duire que pour tout $k\in\llbracket 1,p+1\rrbracket$, $v(x_k)=0$.
                         %\end{enumerate}
       \item En d\'{e}duire que les sous-espaces $\big(\ker(u-\lambda_kv)\big)_{1\leq k\leq p+1}$ sont en somme directe.
         %l'on a la somme directe suivante: $\displaystyle\bigoplus_{k=1}^{p+1}\ker(u-\lambda_kv)$.
		\end{enumerate}
		\item
		Montrer  que le couple $(u,v)$ poss\`{e}de au plus $n$ valeurs propres distinctes.
				
		\item D\'{e}duire de ce qui pr\'{e}c\`{e}de que $\im(u)+\im(v)=E$.
		
		
	\end{enumerate}
	
\end{exo}

\begin{exoBis}

	Soit $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal  \`{a} $2$. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $\cal B$ une base de $E$, $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que $u\circ v=v\circ u$ et v\'{e}rifiant $\ker(u)\cap\ker(v)=\{0_E\}$.\\
	
\begin{enumerate}
\item {\bf Dans cette question seulement,} on suppose que $n=2$ et que : $$M_{\cal B}(u)=\begin{pmatrix}
			1 & 1\\
			-1 & -1	
		\end{pmatrix} \bet M_{\cal B}(v)=\begin{pmatrix}
			0 & -1\\
			1 & 2	
		\end{pmatrix}.$$
Montrer que le couple $(u,v)$ v\'{e}rifie les hypoth\`{e}ses de l'\'{e}nonc\'{e} et d\'{e}terminer $\ker(u-\lambda v)$ suivant les valeurs de $\lambda$.
	
\item
\begin{enumerate}
\item
On suppose dans cette question que $v$ est un isomorphisme de $E$ sur $E$.
 Montrer que $\ker(u-\lambda v)  \neq \{0\}$ si et seulement si $\lambda$ est valeur propre de $v^{-1}\circ u$.
\item  Soit $\lambda$ et $\mu$ deux r\'{e}els distincts.
		Montrer que $\ker(u-\lambda v)\cap \ker(u-\mu v)=\{0_E\}$.
\end{enumerate}

	\item Soit $p$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $2$. On consid\`{e}re dans cette question, $\lambda_1,\ldots,\lambda_{p}$ des r\'{e}els deux \`{a} deux distincts  et on suppose que les noyaux $\ker(u-\lambda_kv)$, pour $k \in \llbracket 1,p\rrbracket $ sont en somme directe.
		
		Soient $\lambda_{p+1}$ diff\'{e}rent des autres $\lambda_k$.\\
\begin{enumerate}
\item Pour tout  $k \in \llbracket 1,p+1\rrbracket$, on se donne $x_{k}\in\ker(u-\lambda_{k}v)$ v\'{e}rifiant $\displaystyle \sum_{k=1}^{p+1}x_k=0$.\\
  Montrer que :
  \begin{itemize}
    \item[$\bullet$]

      l'on a : $\dsum_{k=1}^{p}(\lambda_k-\lambda_{p+1})v(x_k)=0$ ;
      \item[$\bullet$]
                  pour tout $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$, on a : $v(x_k)\in\ker(u-\lambda_kv)$.
 \end{itemize}
   \item En d\'{e}duire que les sous-espaces $\big(\ker(u-\lambda_kv)\big)_{1\leq k\leq p+1}$ sont en somme directe.
\end{enumerate}
	
		
\end{enumerate}
	
\end{exoBis}


\begin{sol}
	\begin{enumerate}
		\item On v\'{e}rifie bien que $M_{\cal B}(u) \times M_{\cal B}(v)=\matrice{1&1\\-1&-1}=M_{\cal B}(v) \times M_{\cal B}(u)$.\\ D'autre part, on remarque que $\ker(v)=\{0_E\}$, donc on a $\ker(u) \cap \ker(v)=\{0_E\}$.\\ On calcule, pour $\lambda \in \mathbb{R}, \det(M_{\cal B}(u-\lambda v))=\lambda ^2$, d'o\`{u} : $Sp(u,v)=\{0\}$.
		\item On a $ u- \lambda v$ non bijectif  si et seulement si  $v^{-1}u-\lambda \rm{Id}$ non bijectif.
		\item Soit $x \in \ker(u-\lambda v) \cap \ker(u-\mu v)$. Alors : $u(x)=\lambda v(x)$ et $u(x)=\mu v(x)$.\\ D'o\`{u} $v(x)=0$, d'o\`{u} $u(x)=0$, donc $x \in \ker(u) \cap \ker(v) =\{0_E\}$.
		\item \begin{enumerate}
                  \item  $\bullet$ En appliquant $v$ on obtient une premi\`{e}re \'{e}galit\'{e} $\dsum_{k=1}^{p+1}v(x_k)=0$.\\
                     Par ailleurs, appliquant $u$ et en utilisant le fait que $u(x_k)=\lambda_k v(x_k)$,\\ on obtient une  deuxi\`{e}me \'{e}galit\'{e} $\dsum_{k=1}^{p+1}\lambda_kv(x_k)=0$.\\
                     On obtient premier r\'{e}sultat en soustrayant la deuxi\`{e}me \'{e}galit\'{e} \`{a} $\lambda_{p+1}$ fois la premi\`{e}re.\\
                     $\bullet$ Pour tout $ k \in \llbracket 1,p\rrbracket , u(v(x_k))=v(u(x_k))=v(\lambda_k v(x_k))=\lambda_k v(v(x_k))$, d'o\`{u} $(u-\lambda_k v)(v(x_k))=0$. Ainsi $\forall k \in \llbracket 1,p\rrbracket , (\lambda_k - \lambda_{p+1})v(x_k) \in \ker(u-\lambda_k v)$.\\
                          D'o\`{u} le r\'{e}sultat car $\lambda_{p+1}$ est distinct des autres $\lambda_k$.
                          \item
                            Or les noyaux sont en somme directe, donc (a) et (b) donnent : $\forall k \in \llbracket 1,p\rrbracket , v(x_k)=0$.\\ De plus, comme $\displaystyle \sum_{k=1}^{p+1}v(x_k)=0$, on a aussi $v(x_{p+1})=0$.

			 Pour tout $\forall k \llbracket 1,p\rrbracket , x_k \in \ker(u-\lambda_k v)$, d'o\`{u} $u(x_k)=\lambda_k v(x_k)=0$,\\ donc $x_k \in \ker(u) \cap \ker(v)$ d'o\`{u} $x_k=0$.\\ Ainsi les espaces sont en somme directe.
		\end{enumerate}
		\item
			 Par l'absurde, s'il y a $n+1$ valeurs propres distinctes $\lambda_1, \dots, \lambda_{n+1}$, alors
			
			$$\sum_{k=1}^{n+1}\dim(\ker(u-\lambda_k v))\geq n+1 \mbox{ et } \sum_{k=1}^{n+1}\dim(\ker(u-\lambda_k v))\leq n$$
 Absurde.

		\item Comme $(u,v)$ admet un nombre fini de valeurs propres, il existe $\lambda \in \R$ tel que $\ker(u-\lambda v)=\{0_E\}$. Donc $\im(u-\lambda v)= E$. Ainsi
$$E= \im(u- \lambda v)\subset \im (u) +\im (v) \subset E$$
	\end{enumerate}
\end{sol}



\chapter{Probabilit\'{e}s}



%=============================================================================================================
% Probas

  \begin{exo}
  \themexo{Loi d'un premier succ\`{e}s. Loi de \textsc{\textsc{Cauchy}}}{v.a.r \`{a} densit\'{e}, in\'{e}galit\'{e}s probabilistes}


Soit $(\Omega,{\cal A},\P)$ un espace probabilis\'{e}. Soit  $X$ une variable al\'{e}atoire d\'{e}finie sur cet espace telle que,  pour tout $t>0$, on a $\P(X>t)\neq 0$.\\
On note $F$ la fonction de r\'{e}partition de $X$.\\
Soit $(X_n)_{n\in\N^* }$  une suite de variables al\'{e}atoires sur le m\^{e}me espace probabilis\'{e},  ind\'{e}pendantes et qui suivent toutes la m\^{e}me loi que $X$.\\
\bigskip
Soit $\theta \in \R^{*}_+$.  Pour tout $\omega\in\Omega$, on note $N_{\theta}(\omega)$ le plus petit entier $k\geq 1$ tel que $X_k(\omega)>\theta$.\\ On admet que
 $N_{\theta}$ est une variable al\'{e}atoire \`{a} valeurs dans $\N$.\\ \bigskip
 On d\'{e}finit enfin la variables al\'{e}atoire $R_{\theta}$ par, pour tout $\omega\in\Omega$ et $k\in\N^*$ :
$$\mbox{ si}\ N_{\theta}(\omega)=k \mbox{ alors } R_{\theta}(\omega)=X_k(\omega)$$
On admet que $R_{\theta}$ est bien une variable al\'{e}atoire \`{a} valeurs dans $\N$.


\begin{enumerate}

\item Reconna\^{\i}tre la loi de $N_{\theta}$ et en d\'{e}duire $\E(N_{\theta})$.

\item Soit $x>\theta$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout $k\in\N^*$,
$$\P\left([N_{\theta}=k]\cap [R_{\theta}\leq x]\right)=\P\left(\left(\bigcap_{i=1}^{k-1}[X_i\leq \theta]\right)\cap[\theta<X_k\leq x]\right)$$  	
\item En d\'{e}duire que $\P(R_{\theta}\leq x)=\dfrac{F(x)-F(\theta)}{1-F(\theta)}=1-\dfrac{1-F(x)}{1-F(\theta)}$.
\end{enumerate}
\item Que vaut $\P(R_{\theta}\leq x)$ si $x\leq \theta$ ?\\ Prouver que si $X$ est \`{a} densit\'{e} alors $R_{\theta}$ est une variable al\'{e}atoire \`{a} densit\'{e}.
\item Dans cette question, on suppose qu'une densit\'{e} de $X$ est la fonction d\'{e}finie sur $\R$ par $x\mapsto \dfrac 1{\pi(x^2+1)}$.
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $F$  de $X$.
 \item Montrer que $1-F(x)\underset{x\to +\infty}\sim \dfrac 1{\pi x}$.
 \item Pour tout $n\in \N^*$, soit $S_n$ une variable al\'{e}atoire de m\^{e}me loi que $R_{\theta}$ lorsque $\theta=n$.\\ Soit $Y$ une variable al\'{e}atoire qui admet une densit\'{e} donn\'{e}e par $f_Y(x)=\begin{cases} 0 & \si x\leq 1 \\ \frac1{x^2} & \sinon. \end{cases}$\\
   Montrer que $\left(\dfrac{S_n}n\right)_{n\geq 1}$ converge en loi vers $Y$.
%En d\'{e}duire que $\left(\dfrac{R_n}n\right)_{n\geq 1}$ converge en loi vers une variable \`{a} densit\'{e} dont on pr\'{e}cisera une densit\'{e}.
\end{enumerate}
      \end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exoBis}

Soit $(\Omega,{\cal A},\P)$ un espace probabilis\'{e}. Soit  $X$ une variable al\'{e}atoire d\'{e}finie sur cet espace telle que,  pour tout $t>0$, on a $\P(X>t)\neq 0$.\\
On note $F$ la fonction de r\'{e}partition de $X$.\\
Soit $(X_n)_{n\in\N^* }$  une suite de variables al\'{e}atoires sur le m\^{e}me espace probabilis\'{e},  ind\'{e}pendantes et qui suivent toutes la m\^{e}me loi que $X$.\\
\bigskip
Soit $\theta \in \R^{*}_+$.  Pour tout $\omega\in\Omega$, on note $N_{\theta}(\omega)$ le plus petit entier $k\geq 1$ tel que $X_k(\omega)>\theta$.\\ On admet que
 $N_{\theta}$ est une variable al\'{e}atoire \`{a} valeurs dans $\N$.\\


\begin{enumerate}

\item Reconna\^{\i}tre la loi de $N_{\theta}$.

\item Soit $x>\theta$.  On d\'{e}finit  la variables al\'{e}atoire $R_{\theta}$ par, pour tout $\omega\in\Omega$ et $k\in\N^*$ :
$$\mbox{ si}\ N_{\theta}(\omega)=k \mbox{ alors } R_{\theta}(\omega)=X_k(\omega)$$
On admet que $R_{\theta}$ est bien une variable al\'{e}atoire \`{a} valeurs dans $\N$.\\
\begin{enumerate}

\item Justifier que pour tout $k\in\N^*$,
$$\P\left([N_{\theta}=k]\cap [R_{\theta}\leq x]\right)=\P\left(\left(\bigcap_{i=1}^{k-1}[X_i\leq \theta]\right)\cap[\theta<X_k\leq x]\right)$$  	
\item Exprimer  $\P(R_{\theta}\leq x)$ en fonction de $F$.
\item Que vaut $\P(R_{\theta}\leq x)$ si $x\leq \theta$ ?
\end{enumerate}

\item Dans cette question, on suppose qu'une densit\'{e} de $X$ est la fonction d\'{e}finie sur $\R$ par $x\mapsto \dfrac 1{\pi(x^2+1)}$.
Montrer que $\left(\dfrac{R_n}n\right)_{n\geq 1}$ converge en loi vers une variable \`{a} densit\'{e} dont on pr\'{e}cisera une densit\'{e}.
 \end{enumerate}

\end{exoBis}

\begin{sol}
\begin{enumerate}
\item Comme $N_{\theta}$ est le rang d'apparition $k$ du premier succ\`{e}s $(X_k>\theta)$, que les succ\`{e}s sont ind\'{e}pendants car les  $X_k$ le sont, et de m\^{e}me probabilit\'{e} $1-F(\theta)$, on reconna\^{\i}t que $N_{\theta}\hookrightarrow {\cal G}(1-F(\theta))$.

Donc $\E(N_{\theta})=\dfrac 1{1-F(\theta)}$ (NB : on  a  bien  $0<1-F(\theta)$ par hypoth\`{e}se).
\item
\begin{enumerate}
\item $[R_{\theta}\leq x]$ et $[N_{\theta}=k]$ sont r\'{e}alis\'{e}s si et seulement si pour tout $i\in\llbracket 1,k-1\rrbracket$, $[X_i\leq \theta]$ est r\'{e}alis\'{e}, ainsi que $[X_k>\theta]$ et $[X_k\leq x]$ puisqu'alors $R_{\theta}=X_k$. Donc
$$[R_{\theta}\leq x]\cap [N_{\theta}=k]=\left(\bigcap_{i=1}^{k-1}[X_i\leq \theta]\right)\cap[\theta<X_k\leq x] $$ d'o\`{u} l'\'{e}galit\'{e} des probabilit\'{e}s.

\item Appliquons la formule des probabilit\'{e}s totales avec le syst\`{e}me complet $([N_{\theta}=k])_{k\geq 1}$:
\begin{align*}
\P(R_{\theta}\leq x)&=\dsum_{k=1}^{+\infty}\P\left([R_{\theta}\leq x]\cap[N_{\theta}=k]\right)\\
&=\dsum_{k=1}^{+\infty}\P\left(\left(\bigcap_{i=1}^{k-1}[X_i\leq \theta]\right)\cap[\theta<X_k\leq x]\right)\\
&=\dsum_{k=1}^{+\infty}\left(\prod_{i=1}^{k-1}\P(X_i\leq \theta)\right)\P(\theta<X_k\leq x) &\text{ par ind\'{e}pendance}\\
    &=\dsum_{k=1}^{+\infty}\left(F(\theta)\right)^{k-1}(F(x)-F(\theta))=(F(x)-F(\theta))\dsum_{k=1}^{+\infty}\left(F(\theta)\right)^{k-1}\\
&=\dfrac{F(x)-F(\theta)}{1-F(\theta)}=\dfrac{F(x)-1+1-F(\theta)}{1-F(\theta)}=1-\dfrac{1-F(x)}{1-F(\theta)}.
\end{align*}
\end{enumerate}

\item La variable $R_{\theta}$ est \`{a} valeurs dans $]\theta,+\infty[$, d'o\`{u} si $x\leq \theta$, $P(R_{\theta}\leq x)=0$.\\ La question pr\'{e}c\'{e}dente montre donc que si $F$ est continue sur $\R$  de classe $C^1$ sauf en un nombre fini de points, alors $x\mapsto \P(R_{\theta}\leq x)$ (continue y compris en $\theta$).
\item
\begin{enumerate}
\item Un calcul rapide montre que  pour tout $x$ r\'{e}el, $F(x)=\dfrac 1{\pi}\left(\arctan(x)+\dfrac{\pi}2\right)$.
\item Classiquement pour $x>0$, $\arctan x + \arctan(1/x)= \frac{\pi}{2}$.\\
D'o\`{u} $1-F(x)=\dfrac 1{\pi}\left(\dfrac{\pi}2-\arctan(x)\right)=\dfrac 1{\pi}\arctan(1/x)$, et $\arctan(u)\sim u$ en  $0$ d'o\`{u} le r\'{e}sultat.
\item La fonction  de r\'{e}partition de $Y$ est donn\'{e}e par $F_Y(x)=\begin{cases} 0 & \si x\leq 1 \\ 1-\frac1{x} & \sinon \end{cases}$.\\

  Si $x\leq 1$, on a $\P\left(\dfrac{S_n}n\leq x\right)=\P\left(S_n\leq nx\right)=0=F_Y(x)$.\\ Si $x>1$, on a  $\P\left(\dfrac{S_n}n\leq x\right)=\P\left(S_n\leq nx\right)=1-\dfrac{1-F(nx)}{1-F(n)}\equivalent{n\to +\infty} \dfrac{\frac 1{\pi nx}}{\frac 1{\pi n}} \rTo_{n\to +\infty} 1-1/x=F_Y(x)$.
\end{enumerate}


\end{enumerate}


\end{sol}
%=========================================================================================
% Probas

\begin{exo}
  \themexo{Tirages de boules dans une urne}{Python, variables discr\`{e}tes, esp\'{e}rance}
   On consid\`{e}re une urne qui contient trois boules : une blanche, une noire et une rouge.\\ On effectue des tirages au hasard successifs d'une boule avec remise dans cette urne.\\
  Cette exp\'{e}rience al\'{e}atoire est mod\'{e}lis\'{e}e par un espace probabilis\'{e} $(\Omega,{\cal A},P)$ sur lequel sont d\'{e}finies toutes les variables al\'{e}atoires de l'exercice.

  \smallskip

  On note $X$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au  num\'{e}ro du tirage o\`{u} pour la premi\`{e}re fois on a obtenu une boule blanche et on note $Y$  le num\'{e}ro du tirage o\`{u} pour la premi\`{e}re fois on a obtenu une boule noire.

 On note \'{e}galement  $U=|X-Y|$ et $W=\min(X,Y)$.


\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la loi de $X$, son esp\'{e}rance et sa variance.
\item Les variables al\'{e}atoires $X$ et $Y$ sont-elles ind\'{e}pendantes ?
\item Que repr\'{e}sente $W$ ? En d\'{e}duire la loi $W$.  \item       Compl\'{e}ter la fonction \texttt{Python} suivante pour qu'elle simule le couple $(X,Y)$ :
  \begin{lstlisting}
    import numpy.random as rd
    def simul():
    n,X,Y=1,0,0
    while X==0 or Y==0:
              b=rd.randint(1,4) #1:blanc ; 2:noir ; 3:rouge
       if b==1 and X==0:
          X=____
       if ______:
          Y= _______
       n=n+1
    return (X,Y)
\end{lstlisting}
\item  Que repr\'{e}sente la variable al\'{e}atoire $U+W$ par rapport \`{a} $X$ et $Y$ ?\\
 En d\'{e}duire une relation simple entre $U$, $W$, $X$ et $Y$, puis l'esp\'{e}rance de $U$.
\item Dans cette question, {\it on admet} que quel que soit $k\in\N^*$, la loi  conditionnelle de $U$  sachant $(W=k)$ est la loi g\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tre $\dfrac13$.

  Que peut-on en d\'{e}duire sur les deux variables  $U$ et $W$ ? En d\'{e}duire la loi de $U$.

     \item Justifier l'affirmation de la question {\bf 6}, \`{a} savoir que, pour tout $k\in\NN^*$, la loi conditionnelle de $U$ sachant $(W=k)$ est la loi g\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tre $\dfrac13$.

\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exoBis}

   On consid\`{e}re une urne qui contient trois boules : une blanche, une noire et une rouge.\\ On effectue des tirages au hasard successifs d'une boule avec remise dans cette urne.\\


  \smallskip

  On note $X$ la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au  num\'{e}ro du tirage o\`{u} pour la premi\`{e}re fois on a obtenu une boule blanche et on note $Y$  le num\'{e}ro du tirage o\`{u} pour la premi\`{e}re fois on a obtenu une boule noire.




\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la loi de $X$ et celle de $Y$.
\item Les variables al\'{e}atoires $X$ et $Y$ sont-elles ind\'{e}pendantes ?
\item On pose $W=\min(X,Y)$. Que repr\'{e}sente $W$ ? D\'{e}terminer la loi de $W$.
\end{enumerate}




\item       Compl\'{e}ter la fonction \texttt{Python} suivante pour qu'elle simule le couple $(X,Y)$ :
  \begin{lstlisting}
    import numpy.random as rd
    def simul():
    n,X,Y=1,0,0
    while X==0 or Y==0:
              b=rd.randint(1,4) #1:blanc ; 2:noir ; 3:rouge
       if b==1 and X==0:
          X=____
       if ______:
          Y= _______
       n=n+1
    return (X,Y)
\end{lstlisting}

\item On pose  $U=|X-Y|$.
\begin{enumerate}

\item Justifier  que, pour tout $k\in\NN^*$, la loi conditionnelle de $U$ sachant $(W=k)$ est la loi g\'{e}om\'{e}trique de param\`{e}tre $\dfrac13$.

\item  Que peut-on en d\'{e}duire sur les deux variables  $U$ et $W$ ? En d\'{e}duire la loi de $U$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exoBis}


\begin{sol}
\begin{enumerate} \item La variable \fbox{$X$ est le rang du premier succ\`{e}s \og tirer un boule blanche \fg,} de probabilit\'{e} $\frac13$ lors de tirages ind\'{e}pendants (avec remise). Donc \fbox{$X\hookrightarrow{\mathcal G}\Big(\dfrac{1}{3}\Big)$,} et d'apr\`{e}s le cours : \fbox{$E(X)=3$ et $V(X)=6$.}
\item De m\^{e}me $Y$  suit aussi la loi ${\mathcal G}\Big(\dfrac{1}{3}\Big)$. Alors \fbox{$X$ et $Y$ ne sont pas ind\'{e}pendantes} car :
  \begin{center}
    $\forall k\in \N^*,\ P\big((X=k)\cap (Y=k)\big)=0 \neq\left(\frac13\left(\frac23\right)^{k-1}\right)^2= P(X=k)\times P(Y=k).$
    \end{center}
   \item La variable \fbox{$W$ est le rang du premier succ\`{e}s \og tirer une boule blanche ou noire \fg,}      donc \fbox{$W\hookrightarrow{\mathcal G}\Big(\dfrac{2}{3}\Big)$.}
\item {\em Remarque :} \texttt{rd.randint(1,4)} est \`{a} valeur dans $\llbracket 1,3\rrbracket$ (alors que \texttt{random.randint(1,4)} est dans $\llbracket 1,4\rrbracket$).
  \begin{lstlisting}[multicols=2]
       if b==1 and X==0:
          X=n
       if b==2 and Y==0:
          Y=n
        \end{lstlisting}



\item
La variable $U+W$ repr\'{e}sente le maximum de $X$ et de $Y$ \fbox{$U+W=\max(X,Y)$ } ; en effet :\\
$\bullet\ $ si $X(\omega)<Y(\omega)$, $U(\omega)+W(\omega)=X(\omega)+Y(\omega)-X(\omega)=Y(\omega)$\\
$\bullet\ $ si $X(\omega)\geq Y(\omega)$, $U(\omega)+W(\omega)=Y(\omega)+X(\omega)-Y(\omega)=X(\omega)$.


Par cons\'{e}quent, $X+Y=\max(X,Y)+\min(X,Y)=(U+W)+W$, soit $\boxed{X+Y=U+2W.}$ D'o\`{u} :
\\
   $$E(U)=E(X+Y-2W)=E(X)+E(Y)-2E(W)=3+3-2\times \dfrac{3}{2}=\boxed{3.}$$

\item \fbox{Les variables $U$ et $W$ sont ind\'{e}pendantes et $U\hookrightarrow{\mathcal G}\Big(\frac{1}{3}\Big)$} car
        par  la f. des probabilit\'{e}s totales avec le \textsc{sce} $(W=k)_{k\in \NN^*}$, pour tout $k_0,\ell\in \NN^*$, puisque $P(U=\ell| W=k)=P(U=\ell| W=k_0)$, on a :
\begin{align*}
P(U=\ell)=\dsum_{k=1}^{+\infty} P(U=\ell| W=k)P(W=k)
=P(U=\ell| W=k_0)\dsum_{k=1}^{+\infty} P(W=k)
 =P(U=\ell| W=k_0),
\end{align*}





\item    Notons $R_k$ (resp. $B_k$,  $N_k$) l'\'{e}v\`{e}nement \og le $k$-i\`{e}me tirage donne une boule rouge (resp. blanche, noire)\fg.\\ La loi du couple $(X,Y)$ est donn\'{e}e par $X(\Omega)=Y(\Omega)=\NN^*$ et, pour tout $i,j\in \NN^*$, par :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]
Si $i=j$ : $P\big((X=i)\cap (Y=j)\big)=0$.
\item[$\bullet$]
Si $i<j$, par ind\'{e}pendance des tirages :
\begin{align*}
&P\big((X=i)\cap (Y=j)\big)=P\left(\Big(\dis\bigcap_{k=1}^{i-1}R_k\Big)\cap B_i\cap \Big(\dis\bigcap_{k=i+1}^{j-1}{\overline N_k}\Big)\cap N_j\right)\\= &\prod_{k=1}^{i-1} P(R_k) \times P(B_i) \times \prod_{k=i+1}^{j-1}P\left({\overline N_k}\right) \times P(N_j)
 =\dfrac1{3^{i-1}}\times \dfrac13\times \Big(\dfrac23\Big)^{j-i-1}\times \dfrac13=\dfrac{2^{j-i-1}}{3^j}.
\end{align*}
\item[$\bullet$]
Si $i>j$ : $P\big((X=i)\cap (Y=j)\big)=\dfrac{2^{i-j-1}}{3^i}$ (de m\^{e}me que dans le cas pr\'{e}c\'{e}dent)
\end{itemize}

Donc, pour tout $i\in\N^*$ et $k\in\N^*$, on a :
\begin{align*}
P_{(W=k)}(U=i)& =\dfrac{ P(X=k\cap Y=k+i)+P(Y=k\cap X=k+i)}{P(W=k)}
                =\dfrac{2\times \dfrac{2^{i-1}}{3^{i+k}}}{\frac23\times\left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}}                 =\frac12\times\left(\frac23\right)^i=\dfrac13
\left(\dfrac{2}{3}\right)^{i-1}
\end{align*}

\end{enumerate}


\end{sol}

%=================================================================
%Probas

  \begin{exo}
   \themexo{Estimateur}{convergence, intervalle de confiance}
 \noindent On consid\`{e}re une variable al\'{e}atoire  $X$ sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega,\mathcal A,\P)$ qui suit la loi
de \textsc{\textsc{\textsc{Poisson}}} de param\`{e}tre $\lambda>0$. Soit $n\in \N^*$. Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un $n$-\'{e}chantillon ind\'{e}pendant et de m\^{e}me loi que celle de  $X$. \\
On pose $Y_n=\dsum_{i=1}^n X_i$ et $\overline{X}_n=\dfrac {Y_n}{n}$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Quelle est la loi, l'esp\'{e}rance et la variance de la variable al\'{e}atoire 	$Y_n$ ?
	\item Soit $n\in \N^*$. D\'{e}terminer l'esp\'{e}rance et la variance de la variable al\'{e}atoire $\overline{X}_n$.
	\item D\'{e}montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais convergent de $\lambda$.
\end{enumerate}
\item Soit $n\in \N^*$ et $k\in \N$.
\begin{enumerate}
	\item Soit  $(k_1,\ldots,k_n)\in \N^n$ tel que $k_1+\cdots+k_n\neq k$. \\
	D\'{e}terminer la probabilit\'{e} conditionnelle :  $P_{[Y_n=k]}([X_1=k_1]\cap \cdots \cap [X_n=k_n]).$
	\item  D\'{e}terminer  la loi conditionnelle du vecteur al\'{e}atoire $(X_1,\ldots,X_n)$ sachant l'\'{e}v\'{e}nement $[Y_n=k]$.
\end{enumerate}
\item On pose : $T_n=\sqrt n\dfrac{\overline{X}_n-\lambda}{\sqrt \lambda}$.
\begin{enumerate}
	\item Justifier que la suite de variables al\'{e}atoires $(T_n)$ converge en loi vers une variable al\'{e}atoire $T$ dont on pr\'{e}cisera la loi.
	\item On admet que $n$ est suffisamment grand pour approcher la loi de $T_n$ par celle de $T$. Soit $\alpha\in ]0,1[$. On d\'{e}signe par $\Phi$ la fonction de r\'{e}partition de la loi normale centr\'{e}e r\'{e}duite et par  $t_\alpha$ un r\'{e}el v\'{e}rifiant $\Phi(t_\alpha)=1-\dfrac\alpha 2$. D\'{e}terminer en fonction de $t_\alpha$ un intervalle de confiance de $\lambda$ au risque $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exoBis}

 \noindent On consid\`{e}re une variable al\'{e}atoire  $X$ sur un espace probabilis\'{e} $(\Omega,\mathcal A,\P)$ qui suit la loi
de \textsc{\textsc{\textsc{Poisson}}} de param\`{e}tre $\lambda>0$. Soit $n\in \N^*$ et  $(X_1,\ldots,X_n)$ un $n$-\'{e}chantillon ind\'{e}pendant et de m\^{e}me loi que celle de  $X$. \\
On pose $Y_n=\dsum_{i=1}^n X_i$ et $\overline{X}_n=\dfrac {Y_n}{n}$.
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais convergent de $\lambda$.

\item Soit $n\in \N^*$ et $k\in \N$.
\begin{enumerate}
	\item Soit  $(k_1,\ldots,k_n)\in \N^n$ tel que $k_1+\cdots+k_n\neq k$. \\
	D\'{e}terminer la probabilit\'{e} conditionnelle :  $P_{[Y_n=k]}([X_1=k_1]\cap \cdots \cap [X_n=k_n]).$
	\item  D\'{e}terminer  la loi conditionnelle du vecteur al\'{e}atoire $(X_1,\ldots,X_n)$ sachant l'\'{e}v\'{e}nement $[Y_n=k]$.
\end{enumerate}
\item On pose : $T_n=\sqrt n\dfrac{\overline{X}_n-\lambda}{\sqrt \lambda}$. Soit $\alpha \in ]0,1[$.
En utilisant $T_n$, d\'{e}terminer  un intervalle de confiance de $\lambda$ au risque $\alpha$.
\end{enumerate}

\end{exoBis}


\begin{sol}
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
          \item Comme $X_1,\ldots,X_n$ sont ind\'{e}pendantes, par stabilit\'{e} des lois de \textsc{\textsc{\textsc{Poisson}}}, $Y_n\hookrightarrow\mathcal P(n\lambda)$.\\
            D'o\`{u} $E(Y_n)=V(Y_n)=n\lambda$.
				
		\item D'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente on a :  $\E\big(\overline {X}_n\big)=\dfrac 1{n}\E(Y_n)=\lambda$ et $\V\big(\overline {X}_n\big)=\dfrac{1}{n^2}\V(Y_n)=\dfrac{\lambda}n$.
		
		
		\item $\bullet$ D'abord $\overline{X}_n$ est un estimateur de $\lambda$ comme fonction ind\'{e}pendante de $\lambda$ d'un $n$-\'{e}chantillon i.i.d. de loi $\mathcal P(\lambda)$.
		
		\smallskip

		$\bullet$ On a $\E(\overline{X}_n)=\dfrac 1n\E(Y_n)=\lambda$ donc $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais de $\lambda$.
		
		\smallskip
		$\bullet$ $\V(\overline{X}_n)=\dfrac 1{n^2} \V(Y_n)=\dfrac{\lambda}n \underset{n\to +\infty} \longrightarrow0$ donc $\overline{X}_n$ est un estimateur sans biais convergent de $\lambda$.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item On a : $\P_{[Y_n=k]}([X_1=k_1]\cap \cdots \cap [X_n=k_n])=\dfrac{\P([Y_n=k]\cap [X_1=k_1]\cap \cdots \cap [X_n=k_n])}{\P(Y_n=k)}$.\\
		Mais $\P([Y_n=k]\cap [X_1=k_1]\cap \cdots \cap [X_n=k_n])=0$ donc la probabilit\'{e} conditionnelle cherch\'{e}e est nulle.
		
				
		\item Fixons $(k_1,\ldots,k_n)\in \N^n$. La loi conditionnelle du vecteur al\'{e}atoire $(X_1,\ldots,X_n)$ sachant l'\'{e}v\'{e}nement $[Y_n=k]$ est donn\'{e}e par
   			
		\begin{itemize}
			\item Si $k_1+\cdots+k_n\neq k$ alors $\P_{[Y_n=k]}([X_1=k_1]\cap \cdots \cap [X_n=k_n])=0.$
			\item Si $k_1+\cdots+k_n=k$, alors :
			$[[Y_n=k]\cap [X_1=k_1] \cap \cdots \cap [X_n=k_n]]=[[X_1=k_1]\cap \cdots \cap [X_n=k_n]].$
			Par ind\'{e}pendance des variables al\'{e}atoires $X_1,\ldots,X_n$, il vient :
			\begin{eqnarray*}
			\P_{[Y_n=k]}([X_1=k_1]\cap \cdots \cap [X_n=k_n])&=&\dfrac 1{P(Y_n=k)}\dprod_{i=1}^nP(X_i=k_i)=\dfrac{k!}{(n\lambda)^k \e^{-n\lambda}}\dprod_{i=1}^n\dfrac{\lambda^{k_i} \e^{-\lambda}}{k_i!}\\
			&=&\dfrac{k!}{(n\lambda)^k \e^{-n\lambda}}\times \dfrac{\lambda^{k_1+\cdots+k_n}\e^{-n\lambda}}{k_1!\cdots k_n!}=\dfrac{k!}{n^kk_1!\cdots k_n!}
			\end{eqnarray*}
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
\medskip

	\item
	\begin{enumerate}
		\item La variable centr\'{e}e r\'{e}duite associ\'{e}e \`{a}  $\overline{X}_n$ est $T_n$.
		
		Les conditions d'utilisation du th\'{e}or\`{e}me de la limite centr\'{e}e sont v\'{e}rifi\'{e}es (suite de variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes de m\^{e}me loi qui admet un moment d'ordre 2) : $T_n$ converge en loi vers $T$ o\`{u} $T$ est une variable al\'{e}atoire de loi $\mathcal N(0,1)$.
		
		\medskip
		
		\item On a $\P(-t_\alpha\le T_n\le t_\alpha)=\Phi(t_\alpha)-\Phi(-t_\alpha)=2\Phi(t_\alpha)-1=1-\alpha$. Et par ailleurs :
	\begin{eqnarray*}
		\P(-t_\alpha\le T_n\leq t_\alpha)&=& \P\left(-t_\alpha\le\sqrt n\dfrac{\overline{X}_n-\lambda}{\sqrt \lambda}\leq t_\alpha\right)=\P\left(\abs{\overline{X}_n-\lambda}\leq \dfrac{\sqrt \lambda\:t_\alpha}{\sqrt n}\right)\\
		&=&\P\left(\left(\overline{X}_n-\lambda\right)^2\leq \dfrac{\lambda\:t_\alpha^2}{n}\right)=P\left(\lambda^2-2\left(\overline{X}_n+\dfrac{t_\alpha^2}{n}\right)\lambda +\overline{X}_n^2\leq 0\right)
		\end{eqnarray*}
		Le discriminant du trin\^{o}me en $\lambda$ est :
		$\Delta_n'=4\left(\overline{X}_n+\dfrac{t_\alpha^2}{n}\right)^2-4\overline{X}_n^2=\dfrac{4t_\alpha^2}{n}\left(2\overline{X}_n+\dfrac{t_\alpha^2}{n}\right)> 0$.\\
		Ainsi $\P(-t_\alpha\leq T_n\leq t_\alpha)=\P( \alpha_n\leq \lambda\leq  \beta_n)$ o\`{u} :
		$$ \alpha_n=\left(\overline{X}_n+\dfrac{t_\alpha^2}{n}\right)-\sqrt{\Delta'_n}
		\bet  \beta_n=\left(\overline{X}_n+\dfrac{t_\alpha^2}{n}\right)+\sqrt{\Delta'_n}.$$
		Un intervalle de confiance au risque $1-\alpha$ est donc $[ \alpha_n, \beta_n]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{sol}

%====================================================================================
%Probas

  \begin{exo}
   \themexo{Python, couple de variables al\'{e}atoires}{esp\'{e}rance totale, estimation}
  Soient $m,p\in\NN^*$.
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
  \item
    Soit la fonction suivante, \'{e}crite en Python :
\begin{lstlisting} []
from numpy.random import*
def va(m,p):
   N=randint(1,m+1)  #randint(1,m+1) renvoie un entier pris au hasard
                                              #entre 1 et m inclus.
   X=0
   for i in range(N):
      X=X+randint(0,p+1)
   return N,X
\end{lstlisting}
     On ex\'{e}cute {\tt va(10,1)}, cette fonction renvoie deux valeurs {\tt N,X}.\\ Sachant que {\tt N} vaut {\tt 8}, quelles sont les valeurs possibles de {\tt X} ?
    \item  Expliquer ce que fait le script suivant :

    \begin{lstlisting} []
    c=1
    while va(10,1)!=va(10,1):
        c+=1
    print(c)
    \end{lstlisting}

    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
Soit $(\Omega,{\cal A},P)$ un espace probabilis\'{e}.\\ Soit  $(N,X)$ un couple al\'{e}atoire sur cet espace dont la valeur est simul\'{e}e par la fonction \texttt{va}.
    \begin{enumerate}[resume]
    \item
     \begin{enumerate}
    	\item Quelle est la loi suivie par la variable al\'{e}atoire $N$ ?\\ Pr\'{e}ciser, si elles existent, les valeurs de son esp\'{e}rance et de sa variance.
    	\item Dans les cas particulier o\`{u} $m=p=1$, quelle est la loi de la variable al\'{e}atoire $X$ ?
        \end{enumerate}
        \end{enumerate}
                 {\bf On se place d\'{e}sormais dans le cas particulier o\`{u} $p=1$.}
         \begin{enumerate}[resume]
    \item
     \begin{enumerate}
     	      	\item Pour tout $k \in \llbracket 1, m \rrbracket$ , justifier que la loi de $X$ conditionnellement \`{a} l'\'{e}v\'{e}nement $[N=k]$ est la loi binomiale ${\cal B}(k,\frac{1}{2})$.
         	\item D\'{e}terminer la loi de $X$.
        \item Calculer l'esp\'{e}rance de $X$.
    \end{enumerate}
    \item En consid\'{e}rant la fonction $f$ d\'{e}finie par $f(x)=(\ee^x+1)^k$, \\ \'{e}tablir que, pour tout entier $k \geq 1$, on a:
      $$\dsum_{i=1}^k i^2 \bin{k}{i}= k(k+1) 2^{k-2}$$
    \item Construire \`{a} partir de $N$ (vu comme un $1$-\'{e}chantillon) un estimateur sans biais de $m$.\\ Faire de m\^{e}me \`{a} partir de $X$.

     Comparer les variances de ces deux estimateurs.%Lequel de ces deux estimateurs est-il le meilleur ? %-> F : la comparaison par la varaiance ne d'applique pas aux estimateurs ponctuels, seulement aux suites d'estimateurs





\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exoBis}

  Soient $m,p\in\NN^*$.
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
  \item
    Soit la fonction suivante, \'{e}crite en Python :
\begin{lstlisting} []
from numpy.random import*
def va(m,p):
   N=randint(1,m+1)  #randint(1,m+1) renvoie un entier pris au hasard
                                              #entre 1 et m inclus.
   X=0
   for i in range(N):
      X=X+randint(0,p+1)
   return N,X
\end{lstlisting}
     On ex\'{e}cute {\tt va(10,1)}, cette fonction renvoie deux valeurs {\tt N,X}.\\ Sachant que {\tt N} vaut {\tt 8}, quelles sont les valeurs possibles de {\tt X} ?
    \item  Expliquer ce que fait le script suivant :

    \begin{lstlisting} []
    c=1
    while va(10,1)!=va(10,1):
        c+=1
    print(c)
    \end{lstlisting}

    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
Soit $(\Omega,{\cal A},P)$ un espace probabilis\'{e}. Soit  $(N,X)$ un couple al\'{e}atoire sur cet espace dont la valeur est simul\'{e}e par la fonction \texttt{va}.
    \begin{enumerate}[resume]
    \item
     \begin{enumerate}
    	\item Quelle est la loi suivie par la variable al\'{e}atoire $N$ ?
    	\item Dans les cas particulier o\`{u} $m=p=1$, quelle est la loi de la variable al\'{e}atoire $X$ ?
        \end{enumerate}
        \end{enumerate}
    {\bf On se place d\'{e}sormais dans le cas particulier o\`{u} $p=1$.}
         \begin{enumerate}[resume]
    \item
     \begin{enumerate}
   \item D\'{e}terminer la loi de $X$.
    \item  Construire \`{a} partir de $N$  un estimateur sans biais de $m$.\\ Faire de m\^{e}me \`{a} partir de $X$.

     Lequel de ces deux estimateurs est-il le meilleur ?
     \end{enumerate}





\end{enumerate}

\end{exoBis}


\begin{sol}
\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Comme \texttt{randint(0,2)} renvoie $0$ ou $1$, $X$ prend ses valeurs dans \fbox{$\llbracket 0,8 \rrbracket$.}


		\item Il simule deux valeurs du couple $(N,X)$ jusqu'\`{a} obtention de deux couples identiques.\\ Les valeurs possibles affich\'{e}es sont les entiers $c \in \N^*$.
	\end{enumerate}

	\item
	\begin{enumerate}
		\item La variable $N$ suit la loi ${\cal U}(\llbracket1,m\rrbracket)$. Donc  $E(N)=\frac{m+1}{2}$,  $V(N)=\frac{m^2-1}{12}$.
		\item Cas particulier $m=p=1$ :  $X$  suit une loi ${\cal B}(\frac{1}{2})$.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
        \item Sachant $(N=k)$, $X$ est la somme de $j$ variables ind\'{e}pendantes de loi $\mathcal B(1/2)$, donc \fbox{$X \hookrightarrow {\cal B}(j, \frac{1}{2})$.}
          %          Pour $j \in \llbracket1,m\rrbracket$,  $X$ est la somme de $j$ variables ${\cal B}(\frac{1}{2})$ ind\'{e}pendantes, donc \fbox{$X$ suit la loi ${\cal B}(j, \frac{1}{2})$.}
		\item On utilise le syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $[N=k]_{1\leq k \leq m}$ et la formule des probabilit\'{e}s totales:

		Pour $i \in \llbracket0,m\rrbracket, P(X=i)=\dsum_{k=1}^m P(X=i\backslash N=k)P(N=k)=\frac{1}{m}\dsum_{k=i}^m \bin{k}{i}(\frac{1}{2})^k$
              \item On utilise la formule de l'esp\'{e}rance totale avec le syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $[N=k]_{1\leq k \leq m}$ :
                \begin{align*}
                  E(X)&=	\sum_{k=1}^m E(X|N=k)P(N=k)
                      =\sum_{k=1}^m \frac{k}2 \times \frac1m
                      =\boxed{\frac{m+1}{4}.}
                         \end{align*}


	\end{enumerate}
      \item Comme $f(x)=(e^x+1)^k=\dsum_{j=0}^k \bin{k}{j} \ee^{jx}$,
        on a d'une part : $f^{''}(0)= \dsum_{j=1}^k j^2 \bin{k}{j}$,
        et d'autre part : \\$f^{''}(x)=k(k-1)(e^x+1)^{k-2}e^{2x} + k(e^x+1)^{k-1}e^x$ d'o\`{u} $f^{''}(0)=2^{k-2}[k(k-1)+2k]=2^{k-2}k(k+1)$.\\
        {\em Autre id\'{e}e (sans utiliser $f$) :} $\frac{1}{2^k}\dsum_{j=1}^k j^2 \bin{k}{j}=E(T^2)= V(T)+E(T)^2$, avec $T$ qui suit la loi ${\cal B}(k,\frac12)$.




     	\item
          Comme $E(N)=\frac{m+1}{2}$  on choisit : \fbox{$N^{'}=2N-1$} estimateurs sans biais de $m$.\\
          Alors $V(N)=\frac{(m+1)(m-1)}{12}$ d'o\`{u} \fbox{$V( N^{'})=4V(N)=\frac{(m+1)(m-1)}{3}$.}
\smallskip

Comme $E(X)=\frac{m+1}{4}$  on choisit : \fbox{$X^{'}=4X-1$} estimateurs sans biais de $m$. Calculons $V( X^{'})$.

 Par la formule de l'esp\'{e}rance totale avec le syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $[N=k]_{1\leq k \leq m}$ :
                \begin{align*}
                  E(X^2)&=	\sum_{k=1}^m E(X^2|N=k)P(N=k)
                          =\sum_{k=1}^m \big(V(X|N=k)+E(X|N=k)^2\big) \times \frac1m\\
                  &= \frac1m \sum_{k=1}^m \big(\frac{k}4+\frac{k^2}4\big)
                    =\frac{1}{4m} \left[ \frac{m(m+1)}{2}+\frac{m(m+1)(2m+1)}{6} \right]=\frac{1}{12}(m+1)(m+2).
                         \end{align*}






{\em Autre m\'{e}thode calcul de $E(X^2)$:}

$
\begin{aligned}
E(X^2)&=\sum_{i=1}^m i^2 \frac{1}{m}\sum_{k=i}^m \bin{k}{i}(\frac{1}{2})^k
=\frac{1}{m} \sum_{k=1}^m \sum_{i=1}^k i^2 \bin{k}{i}(\frac{1}{2})^k \\
&= \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m (\frac{1}{2})^k \sum_{i=1}^k i^2 \bin{k}{i}
= \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m(\frac{1}{2})^k k(k+1)2^{k-2}  \text{ en utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente}\\
&= \frac{1}{4m} \sum_{k=1}^m k(k+1) = \frac{1}{12}(m+1)(m+2)
\end{aligned}
$

D'o\`{u} $V(X)=E(X^2)-E^2(X)= \frac{(m+1)(m+2)}{12} - \frac{(m+1)^2}{16}
=\frac{(m+1)(m+5)}{48}$

et  $V( X^{'})=16V(X)=\boxed{\frac{(m+1)(m+5)}{3}.}$


On a pour tout $m\geq 1$,\ \fbox{$V(X^{'}) > V(N^{'})$.}	%donc  $N^{'}$  est meilleur que $X^{'}$.

\end{enumerate}

\end{sol}

%================================================================================
%Probas

  \begin{exo}
     \themexo{Urnes \`{a} contenus diff\'{e}rents}{choix al\'{e}atoire, calcul de loi et d'esp\'{e}rance}
 	Soit un $r$ entier strictement positif. on consid\`{e}re $r$ urnes num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $r$ qui contiennent chacune $r$ boules. Pour tout $j \in \llbracket 1,r \rrbracket$, l'urne num\'{e}ro $j$ contient exactement $j$ boules rouges et $r-j$ boules d'une autre couleur.

	Soit $n\in \N^*$. On choisit une urne au hasard et on effectue dans cette urne $n$ tirages au hasard d'une boule avec remise.  	
	On note $X_r$ la variable al\'{e}atoire r\'{e}elle \'{e}gale au nombre de boules rouges tir\'{e}es lors de ces $n$ tirages.

	Pour $j\in \llbracket 1,r \rrbracket$, on note $U_j$ l'\'{e}v\'{e}nement \og le num\'{e}ro de l'urne choisie au hasard est $j$ \fg.


	\begin{enumerate}
\item Soit $j\in \llbracket 1,r \rrbracket$. Quelle est la loi conditionnelle de $X_r$ sachant $U_j$  ?
		\item D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $X_r$ {\em (on exprimera les diverses probabilit\'{e}s sous forme de sommes).}
		\item Calculer $\E(X_r)$.
		\item Pour $k \in  \llbracket 0,n \rrbracket$, on note $f_k$ la fonction d\'{e}finie par : $f_k(x)=x^k(1-x)^{n-k}$. On pose $I_k=\dint_0^1 f_k(x) \mathrm{d}x$.
		\begin{enumerate}
                \item Pour tout $k\in \llbracket 0,n \rrbracket$, montrer la convergence de l'int\'{e}grale $\dint_0^1 f_k(x) \mathrm{d}x$. On la note $I_k$.
                  \item
                  D\'{e}terminer l'expression de $I_k$ en fonction de $k$.
 			\item Montrer que la suite $(X_r)_{r\geq 0}$ converge en loi vers une variable $X$ \`{a} d\'{e}terminer.
		\end{enumerate}

		\item Montrer  ${\displaystyle \lim_{r \to +\infty} \E(X_r)=\E(X) }$.

		\`{A} t-on, pour  toute fonction $f: \R  \to \R $, ${\displaystyle \lim_{r \to +\infty} \E(f(X_r))=\E(f(X)) }$ ?
	\end{enumerate}

      \end{exo}

      \begin{exoBis}

 	Soit un $r$ entier strictement positif. on consid\`{e}re $r$ urnes num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $r$ qui contiennent chacune $r$ boules. Pour tout $j \in \llbracket 1,r \rrbracket$, l'urne num\'{e}ro $j$ contient exactement $j$ boules rouges et $r-j$ boules d'une autre couleur.

	Soit $n\in \N^*$. On choisit une urne au hasard et on effectue dans cette urne $n$ tirages au hasard d'une boule avec remise.  	
	On note $X_r$ la variable al\'{e}atoire r\'{e}elle \'{e}gale au nombre de boules rouges tir\'{e}es lors de ces $n$ tirages.

	Pour $j\in \llbracket 1,r \rrbracket$, on note $U_j$ l'\'{e}v\'{e}nement \og le num\'{e}ro de l'urne choisie au hasard est $j$ \fg.


	\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $X_r$.
\end{enumerate}

\item Pour $k \in  \llbracket 0,n \rrbracket$, on note $f_k$ la fonction d\'{e}finie par : $f_k(x)=x^k(1-x)^{n-k}$. On pose $I_k=\dint_0^1 f_k(x) \mathrm{d}x$.
		\begin{enumerate}
  \item  D\'{e}terminer l'expression de $I_k$ en fonction de $k$.
 		\item Montrer que la suite $(X_r)_{r\geq 0}$ converge en loi vers une variable $X$ \`{a} d\'{e}terminer.
		\end{enumerate}

		\item Calculer  $\E(X_r)$.

		A-t-on, pour  toute fonction $f: \R  \to \R $, ${\displaystyle \lim_{r \to +\infty} \E(f(X_r))=\E(f(X)) }$ ?
	\end{enumerate}

\end{exoBis}

\begin{sol}
	\begin{enumerate}
		\item On reconna\^{\i}t que la loi conditionnelle demand\'{e}e est binomiale de param\`{e}tres $n$ et $\frac{j}{r}$ \ie
$$X_r(\Omega)=\llbracket 0,n \rrbracket \et \P(X_r=k|U_j)=\binom{k}{n}\big(\frac{j}{r}\big)^k \big(1-\frac{j}{r}\big)^{n-k}$$


\item Par la formule des probabilit\'{e}s totales avec le \textsc{sce} $(U_j)_{ 1 \leq j \leq r}$, on a :
  $$\P(X_r=k)=\sum_{j=1}^r \P(X_r=k | U_j)\underbrace{P(U_j)}_{=\frac1r}=\dfrac{1}{r} \dsum_{j=1}^r \binom{n}{k}\big(\dfrac{j}{r}\big)^k \big(1-\dfrac{j}{r}\big)^{n-k}.$$

%   La famille  $(U_j)_{ 1 \leq j \leq r}$ forme un syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements. Donc

% 		$$[X_r=k]=  \bigcup_{j=1}^r [X_r=k \cap U_j] \ \Longrightarrow \  \P(X_r=k)=\sum_{j=1}^r \P(X_r=k | U_j)P(U_j)$$

% 		Or  $\P(U_j)=\dfrac{1}{r}$.
% D'o\`{u} $ \P(X_r=k)=\dfrac{1}{r} \dsum_{j=1}^r \binom{n}{k}\big(\dfrac{j}{r}\big)^k \big(1-\dfrac{j}{r}\big)^{n-k} $.

		\item On peut \'{e}crire
		$$
		\begin{aligned}
		\E(X_r)&=\sum_{k=0}^n k \P(X_r=k)
		=\sum_{k=0}^n \frac{k}{r} \sum_{j=1}^r \binom{n}{k}\big(\frac{j}{r}\big)^k \big(1-\frac{j}{r}\big)^{n-k}
            = \sum_{j=1}^r \frac{1}{r} \big( \sum_{k=0}^n k \binom{n}{k}\big(\frac{j}{r}\big)^k \big(1-\frac{j}{r}\big)^{n-k}\big) \\
		&=\sum_{j=1}^r \frac{1}{r} (n \frac{j}{r}) \mbox{ on reconna\^{\i}t l'esp\'{e}rance d'une va\ } Y \mbox{ de loi binomiale de param\`{e}tres } (n,  \frac{j}{r})\\
		&=\frac{n}{r^2}\sum_{j=1}^r j=\frac{n}{2}\frac{r+1}{r}
		\end{aligned}
	   $$
	
	
	    On peut  \'{e}galement utiliser la formule de l'esp\'{e}rance totale: $\E(X_r)=\dsum_{j=1}^r\E(X_r|U_j)\P(U_j)= \dsum_{j=1}^r \dfrac{nj}{r}\ \dfrac{1}{r}$
		\item
		\begin{enumerate}
                \item La fonction $f_k$ est une fonction polynomiale donc continue sur $[0,1]$ d'o\`{u} l'existence de $I_k$.
                  \item
                    Par int\'{e}gration par parties, on obtient $(k+1)I_k= (n-k)I_{k+1}$.\\
                    D'o\`{u} : $I_k=\frac{k!}{(n-k+1)\cdots n}I_0=\frac{1}{\binom{n}{k}(n+1)}$
			%$$I_k= \frac{n-k}{k+1}I_{k+1}\Rightarrow I_k=\frac{k}{n-k+1}I_{k-1}=\cdots=\frac{k!}{(n-k+1)\cdots n}I_0=\frac{1}{\binom{n}{k}(n+1)}$$
                  \item D'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me sur les sommes de \textsc{Riemann}, on a :
         $$\P(X_r=k)=  \binom{n}{k} \times \frac{1}{r}\sum_{j=1}^{r} f_k\left(\frac{j}{r}\right) \rTo_{r\to +\infty}  \binom{n}{k} \int_0^1 f_k(t)dt  = \binom{n}{k} \frac{1}{\binom{n}{k}(n+1)}=\frac{1}{n+1}.$$
                    % On reconna\^{\i}t une somme de \textsc{Riemann},
		    %     ${\displaystyle\lim_{r \to +\infty}  \frac{1}{r}\sum_{j=1}^{r} f_k(\frac{j}{r})=\int_0^1 f_k(t)dt=I_k} $ et
		    %     $$ \lim_{r \to +\infty} \P(X_r=k)=\lim_{r \to +\infty} \binom{n}{k} \frac{1}{r}\sum_{j=1}^{r} f_k(\frac{j}{r})= \binom{n}{k} \frac{1}{\binom{n}{k}(n+1)}=\frac{1}{n+1} $$

			La suite $(X_r)_{r\geq 0}$ converge donc en loi vers une variable $X$ de loi uniforme sur $\llbracket 0,n\rrbracket$.
		\end{enumerate}
		\item On a d\'{e}j\`{a} calcul\'{e} $\E(X_r)=\frac{n}{2}\frac{r+1}{r} $ et on a bien  $\dlim_{r \to +\infty} \E(X_r)=\frac{n}{2}=\E(X)$


		Plus g\'{e}n\'{e}ralement, pour toute fonction $f: \R  \to \R $, l'univers des $X_r$ \'{e}tant fini, on a, par le th\'{e}or\`{e}me de transfert, lorsque $r\to +\infty$


		$$\E(f(X_r))= \sum_{k=0}^n f(k) \P(X_r=k) \underset {r\to +\infty} \to  \sum_{k=0}^n f(k) \P(X=k) = \E(f(X))$$

	\end{enumerate}

\end{sol}







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Option B/L}

\begin{exo}
  
  \themexo{Projecteurs}{valeurs propres, polyn\^{o}mes d'endomorphisme}
\noindent Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel. On note $\mbox{id}_E$ l'application identité de $E$.
\begin{enumerate}
\item Soit $p$ un projecteur de $E$, c'est-\`{a}-dire un endomorphisme de $E$ tel que $p\circ p=p$.

\begin{enumerate}
\item Dans quel(s) cas l'endomorphisme $p$ est-il bijectif ?
\item Montrer que $\mbox{Im}(p)=\mbox{Ker}(p-\mbox{id}_E)$.
\item D\'{e}terminer les valeurs propres de $p$.
\end{enumerate}
\item Soit $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$ tels que $p \circ q=q \circ p$.\\
On pose $f=p+q$ et $g=p \circ q$.
\begin{enumerate}
\item Le r\'{e}el $-1$ est-il une valeur propre de $f$ ? Justifier.
\item Montrer que $g$ est un projecteur de $E$.
\item D\'{e}terminer $f^3-3 f^2+2 f$.
\item D\'{e}terminer les valeurs propres possibles de $f$.
\item Montrer que $0$ est valeur propre de $f$ si et seulement si $\operatorname{Ker} (p) \cap \operatorname{Ker} (q) \neq\left\{0_E\right\}$.
\item Montrer que $2$ est valeur propre de $f$ si et seulement si $\operatorname{Im} (p) \cap \operatorname{Im} (q) \neq\left\{0_E\right\}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exoBis}
  
\noindent Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel. On note $\mbox{id}_E$ l'application identité de $E$.
\begin{enumerate}
\item Soit $p$ un projecteur de $E$, c'est-\`{a}-dire un endomorphisme de $E$ tel que $p\circ p=p$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mbox{Im}(p)=\mbox{Ker}(p-\mbox{id}_E)$.
\item D\'{e}terminer les valeurs propres de $p$.
\end{enumerate}
\item Soit $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$ tels que $p \circ q=q \circ p$.
On pose $f=p+q$.
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer $f^3-3 f^2+2 f$.
\item En d\'eduire les valeurs propres possibles de $f$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $0$ est valeur propre de $f$ si et seulement si $\operatorname{Ker} (p) \cap \operatorname{Ker} (q) \neq\left\{0_E\right\}$.
\item Montrer que $2$ est valeur propre de $f$ si et seulement si $\operatorname{Im} (p) \cap \operatorname{Im} (q) \neq\left\{0_E\right\}$.
\item Le r\'{e}el $-1$ est-il une valeur propre de $f$ ? 
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exoBis}

\begin{sol}
\begin{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Le seul projecteur bijectif est l'identit\'{e}. On demandera au candidat de le red\'{e}montrer.
\item Cette question est classique. Le candidat doit cependant la red\'{e}montrer car elle ne figure pas au programme officiel.
\item Si $p$ est l'identit\'{e}, sa seule valeur propre est $1$. Si $p$ est l'endomorphisme
nul, sa seule valeur propre est $0$. Dans tous les autres cas, les valeurs propres de $p$ sont $0$ et $1$ car $E=\mbox{Ker}(p)\oplus \mbox{Ker}(p-id)$. Une autre possibilit\'{e} est d'introduire le polyn\^{o}me annulateur
$X^2-X$.\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Raisonnons par l'absurde et supposons que $-1$ est valeur propre de $f$.
Alors, il existe un vecteur $x\in E$ tel que $x \neq 0_E$ et $f(x)=-x$.
Comme $f=p+q$, on obtient $$p(x)+q(x)=-x\qquad (\star).$$
En composant par $p$, obtient
$(p \circ q)(x)=-2 p(x).$\\
De m\^{e}me, en composant $(\star)$ par $q$, on obtient
$(q \circ p)(x)=-2 q(x).$\\
Comme $p \circ q=q \circ p$, on en d\'{e}duit que
$p(x)=q(x)$. D'o\`{u},
$\displaystyle p(x)=\frac{-1}{2} x$.
Comme $x \neq 0_E$, cette \'{e}galit\'{e} signifie que $\dfrac{-1}{2}$ est valeur propre du projecteur $p$. On aboutit \`{a} une contradiction.\\


\item $g$ est un endomorphisme de $E$  et $g\circ g=g$.
\item Comme $p$ et $q$ commutent, on peut utiliser la formule du bin\^{o}me.\\
Le calcul donne
$
f^3-3 f^2+2 f=(p+6 p q+q)-3(p+2 p q+q)+2(p+q)=0_{\mathcal{L}(E)}
$.
\item Le polyn\^{o}me $P(X)=X^3-X^2+2X=X(X-1)(X-2)$ est annulateur de $f$.\\
On montre alors (r\'{e}sultat hors programme) que les valeurs propres possibles pour $f$ sont $0,1,2$.
\item
\fbox{$\Longrightarrow$} Supposons que 0 est valeur propre de $f$.
Alors il existe $x \neq 0_E$ tel que $f(x)=0_E$.\\
Comme $f=p+q$, on obtient
$$p(x)+q(x)=0_E \qquad (\star).$$
En appliquant $p$ \`{a} $(\star)$, on obtient $(p \circ q)(x)=-p(x).$
En appliquant $q$ \`{a} $(\star)$, on obtient $(q \circ p)(x)=-q(x).$
Comme $p \circ q=q \circ p$, on en d\'{e}duit que
$p(x)=q(x)$.
En reportant dans $(\star)$,
 $p(x)=0_E$ et $q(x)=0_E$.
D'o\`{u} $x \in \operatorname{Ker}(p)$ et $x \in \operatorname{Ker}(q)$.\\
\fbox{$\Longleftarrow$} Supposons $\mbox{Ker} (p) \cap \operatorname{Ker} (q) \neq\left\{0_E\right\}$.
Il existe alors $x \in \operatorname{Ker} (p) \cap \operatorname{Ker} (q)-\{0_E\}$.
Alors $p(x)=0_E$ et $q(x)=0_E$.
Par somme, on a $f(x)=0_E$ et $0$ est valeur propre de $f$.\\

\item
\fbox{$\Longrightarrow$} Supposons que $2$ est valeur propre de $f$.
Alors il existe $x \in E-\{ 0_E\}$ tel que $f(x)=2 x$. Ainsi,
$$p(x)+q(x)=f(x)=2 x\qquad (\star).$$
En composant par $p$, on obtient $$p(x)+(p \circ q)(x)=2 p(x).$$
D'o\`{u} $$(p \circ q)(x)=p(x).$$
De m\^{e}me, en appliquant $q$ \`{a} $(\star)$, on obtient $(q \circ p)(x)=q(x)$.
Comme $p \circ q=q \circ p$,
$$
p(x)=(p \circ q)(x)=(q \circ p)(x)=q(x).
$$
On en d\'{e}duit $p(x)=x$ et $q(x)=x$.
Ainsi $x \in \operatorname{Im} (p) \cap \operatorname{Im} (q)$.
Or $x \neq 0_E$.
Donc $\operatorname{Im} (p) \cap \operatorname{Im}( q) \neq\left\{0_E\right\}$.\\
\fbox{$\Longleftarrow$} Supposons $\operatorname{Im} (p) \cap \operatorname{Im} (q) \neq\left\{0_E\right\}$.
Alors il existe un vecteur $x \in E$ tel que $x\neq 0_E$ et $x\in\operatorname{Im}(p) \cap \operatorname{Im}(q)$.
Comme $p$ et $q$ sont des projecteurs, $\mbox{Im}(p)=\{u\in E\mid \, p(u)=u\}$
et $\mbox{Im}(q)=\{u\in E\mid \, q(u)=u\}$.
Donc, $x=p(x)$ et $x=q(x)$. Donc,
$f(x)=p(x)+q(x)=x+x=2 x.$ Comme $x \neq 0_E$, on en d\'{e}duit que $2$ est valeur propre de $f$.\\

\end{enumerate}



\end{enumerate}


\end{sol}

%%%%%%%%%%

\begin{exo}
  
\themexo{Lancer de deux d\'{e}s \`{a} $n$ faces}{probabilt\'{e}s finies, sommes}
\noindent
Toutes les variables al\'{e}atoires sont d\'{e}finies sur le m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega, \mathcal{A}, \P)$.\\
\noindent Soit $X$, $Y$ et $Z$ trois variables al\'{e}atoires mutuellement ind\'{e}pendantes suivant toutes les trois la loi uniforme discr\`{e}te sur $\llbracket 1, n \rrbracket$, avec $n\geq 2$.

\begin{enumerate}
  \item
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit\'{e} $\P(X+Y=2)$ et la probabilit\'{e} $\P(X+Y=2n)$.
    \item Soit $k\in \llbracket 2,2 n \rrbracket$. Calculer la probabilit\'{e} $\P(X+Y=k)$.\\
    On distinguera les cas  $k\in \llbracket 2,n+1 \rrbracket$ et  $k\in \llbracket n+2,2 n \rrbracket$
  \item V\'{e}rifier par le calcul que l'on a bien $\displaystyle \sum_{k=2}^{2 n} \P(X+Y=k)=1$.
\end{enumerate}


  \item
  D\'{e}terminer la probabilit\'{e} $\P(X+Y=Z)$.



\item On pose $T=n+1-Z$.

\begin{enumerate}
 \item D\'{e}terminer la loi de la variable al\'{e}atoire $T$.
 \item Les variables $X$, $Y$ et $T$ sont-elles mutuellement ind\'{e}pendantes ? Justifier.
 \item Calculer la probabilit\'{e} $\P(X+Y+Z=n+1)$.
\item Calculer la probabilit\'{e} $\P(X+Y+Z=2n+2)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exo}


\begin{exoBis}

\noindent 
Toutes les variables al\'{e}atoires sont d\'{e}finies sur le m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega, \mathcal{A}, \P)$.\\
\noindent Soit $X$, $Y$ et $Z$ trois variables al\'{e}atoires mutuellement ind\'{e}pendantes suivant toutes les trois la loi uniforme discr\`{e}te sur $\llbracket 1, n \rrbracket$, avec $n\geq 2$.

\begin{enumerate}
  \item On pose $T=n+1-Z$.
\begin{enumerate}
 \item D\'{e}terminer la loi de la variable al\'{e}atoire $T$.
 \item Les variables $X$, $Y$ et $T$ sont-elles mutuellement ind\'{e}pendantes ? Justifier.
  \end{enumerate}
  \item
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilit\'{e} $\P(X+Y=2)$ et la probabilit\'{e} $\P(X+Y=2n)$.
    \item Soit $k\in \llbracket 2,2 n \rrbracket$. Calculer la probabilit\'{e} $\P(X+Y=k)$.
\end{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
  \item D\'{e}terminer la probabilit\'{e} $\P(X+Y=Z)$.
 \item Calculer les probabilit\'{e}s $\P(X+Y+Z=n+1)$ et $\P(X+Y+Z=2n+2)$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exoBis}


\begin{sol}

\begin{enumerate}
  \item
\begin{enumerate}
\item Par ind\'{e}pendance de $X$ et $Y$, $\P(X+Y=2)=\P((X=1)\cap (Y=1))=\P(X=1)\P(Y=1)=\frac{1}{n^2}$.\\
De m\^{e}me, $\P(X+Y=2n)=\P(X=n)\P(Y=n)=\frac{1}{n^2}$.
\item On a $(X+Y)(\Omega)\subset \llbracket 2,2 n \rrbracket$ et  d'apr\`{e}s formule des probabilit\'{e}s totales avec le syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $(X=i)_{i \in  \llbracket 1, n \rrbracket}$, et par ind\'{e}pendance de $X$ et $Y$, pour tout $k\in \llbracket 2,2 n \rrbracket$, on a :
  $$\displaystyle \P(X+Y=k)=\sum_{i=1}^{n} \P([X+Y=k]\cap[X=i])=\sum_{i=1}^{n} \P([Y=k-i]\cap[X=i])=\sum_{i=1}^{n} \P(Y=k-i) \P(X=i).$$
Or : $1\leq k-i \leq n \iff k-n \leq i \leq  k-1$, donc en enlevant les termes nuls :
$$ \P(X+Y=k)=\sum_{i\in \llbracket 1,n \rrbracket \cap \llbracket k-n,k-1 \rrbracket} \dfrac1{n^2}=
\begin{cases} \dsum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{n^2}=\frac{k-1}{n^{2}} &\si 2\leq k\leq n+1 \\
\dsum_{i=k-n}^{n}\frac{1}{n^2}=\frac{2 n-k+1}{n^{2}} & \si n+2\leq k\leq 2n\end{cases}$$

  %Remarquons tout d'abord que $(X+Y)(\Omega)=\llbracket 2,2 n \rrbracket$ car $X$ et $Y$ sont ind\'{e}pendantes.
%Soit $k\in \llbracket 2,2 n \rrbracket$
% La formule des probabilit\'{e}s totales associ\'{e}e au syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $(X=i)_{i \in  \llbracket 1, n \rrbracket}$ s'\'{e}crit: \\$\displaystyle \P(X+Y=k)=\sum_{i=1}^{n} \P([X+Y=k]\cap[X=i])=\sum_{i=1}^{n} \P([Y=k-i]\cap[X=i])$\\
% D'o\`{u},
% $\displaystyle \P(X+Y=k)=\sum_{i=1}^{n} \P(Y=k-i) \P(X=i)$, par ind\'{e}pendance de $X$ et de $Y$.

% Comme $\P(Y=k-i)=0$ si $k-i$ n'est pas dans $Y(\Omega)$, on ne garde que les termes v\'{e}rifiant $1 \leq k-i \leq n$, c'est-\`{a}-dire $k-n \leq i \leq k-1$. On peut alors synth\'{e}tiser en \'{e}crivant : $$\displaystyle \P(X+Y=k)=\sum_{i=\max (1, k-n)}^{\min (k-1, n)} \P(Y=k-i) \P(X=i)$$
% \begin{itemize}
% \item Si $k \in \llbracket 2, n+1 \rrbracket$, alors $k


%   $\min (k-1, n)=k-1$ et $\max (1, k-n)=1$ donc :
% \end{itemize}
% $$
% \P(X+Y=k)=\sum_{i=1}^{k-1} \P(Y=k-i) \P(X=i)=\sum_{i=1}^{k-1}\frac{1}{n^2}=\frac{k-1}{n^{2}}
% $$
% \begin{itemize}
%   \item Si $k \in \llbracket n+2,2 n \rrbracket$, alors $\min (k-1, n)=n$ et $\max (1, k-n)=k-n$ donc :
%   $$\displaystyle \P(X+Y=k)=\sum_{i=k-n}^{n} \P(Y=k-i) \P(X=i)=\sum_{i=k-n}^{n}\frac{1}{n^2}=\frac{2 n-k+1}{n^{2}}$$
% \end{itemize}

    \item  $\displaystyle \sum_{k=2}^{2 n} \P(X+Y=k)=\sum_{k=2}^{n+1} \frac{k-1}{n^{2}}+\sum_{k=n+2}^{2 n} \frac{2 n-k+1}{n^{2}}=\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} i+\frac{1}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n-1} i=1$.

\end{enumerate}


  \item  La formule des probabilit\'{e}s totales associ\'{e}e au syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $(Z=k)_{k \in \llbracket 1, n \rrbracket}$ donne :
\begin{align*}
  \P(X+Y=Z)&=\sum_{k=1}^{n} \P([X+Y=Z] \cap[Z=k])=\sum_{k=1}^{n} \P([X+Y=k] \cap[Z=k])\\
           &=\sum_{k=1}^{n} \P(X+Y=k) \P(Z=k) \blanc \text{(ind\'{e}p. de $Z$ et $X+Y$ par lemme des coalitions)}\\
           &=\sum_{k=2}^{n} \frac{k-1}{n^{2}} \times \frac{1}{n}=\frac{1}{n^{3}} \sum_{i=1}^{n-1} i=\frac{n-1}{2 n^{2}}.
             \end{align*}
% Par le lemme des coalitions, $Z$ est ind\'{e}pendante de $X+Y$, \\
% $\displaystyle \P(X+Y=Z)=\sum_{k=1}^{n} \P(X+Y=k) \P(Z=k)=\sum_{k=2}^{n} \frac{k-1}{n^{2}} \times \frac{1}{n}=\frac{1}{n^{3}} \sum_{i=1}^{n-1} i=\frac{n-1}{2 n^{2}}$.
  \item
  \begin{enumerate}
  \item $T(\Omega)=\llbracket 1, n \rrbracket$. De plus, pour tout $k$ de $\llbracket 1, n \rrbracket$, on a $n+1-k \in Z(\Omega)$ si bien que :$$
\P(T=k)=\P(n+1-Z=k)=\P(Z=n+1-k)=\frac{1}{n}.$$ Ainsi, $T$ suit la loi uniforme sur $\llbracket 1, n \rrbracket$.
\item Oui, d'apr\`{e}s le lemme des coalitions.
  % Les \textsc[{va} $X$ et $Y$ sont ind\'{e}pendantes entre elles et ind\'{e}pendantes de $Z$, donc de toute fonction de $Z$ (lemme des coalitions), en particulier de $T$. Donc $X, Y$ et $T$ sont mutuellement ind\'{e}pendantes.

  \item  On applique le r\'{e}sultat de la question 2 aux trois variables $X$, $Y$ et $T$ qui sont  mutuellement ind\'{e}pendantes et suivent chacune la m\^{e}me loi uniforme sur $\llbracket 1, n \rrbracket$. Ainsi,
      $$ \P(X+Y+Z=n+1)=\P(X+Y=n+1-Z)=\P(X+Y=T)=\dfrac{n-1}{2 n^{2}}.$$
 \item  On applique le r\'{e}sultat de la question 2 aux trois variables $X'=n+1-X$, $Y'=n+1-Y$ et $Z$ qui sont mutuellement ind\'{e}pendantes (lemme des coalitions) et suivent la m\^{e}me loi uniforme sur $\llbracket 1, n \rrbracket$ (cf. question 3a).
      Ainsi,
      $$ \P(X+Y+Z=2n+2)=\P(Z=n+1-X+n+1-Y)=\P(X'+Y'=Z)=\dfrac{n-1}{2 n^{2}}.$$

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{sol}

%%%%

\begin{exo}
  
  \themexo{\'{E}quation fonctionelle}{limite, continuit\'{e}, d\'{e}rivabilit\'{e}}
On note $E$ l'ensemble des fonctions $f$ d\'{e}finies sur $\R$  v\'{e}rifiant les deux hypoth\`{e}ses:\\
(i) pour tout $x\in \R$, $\abs{f(x)} < 1$.\\
(ii) pour tout $(x,y)\in \R^2$, $ f(x + y) = \dfrac{f(x) + f(y)}{1+f(x)f(y)}.$\\

 \begin{enumerate}
 \item D\'{e}terminer toutes les fonctions constantes qui sont dans $E$.
\item Soit $u$ la fonction d\'{e}finie sur $\R$ par
$$\forall \,x\in \R,\;\;u(x)=\frac{\e^{2x}-1}{\e^{2x}+1}.$$
La fonction $u$ est-elle dans $E$ ?
\end{enumerate}
L'ensemble $E$ \'{e}tant non vide, on consid\`{e}re, dans toute la suite, une fonction $f$ appartenant \`{a} $E$.
\begin{enumerate}[resume]
\item  D\'{e}terminer  $f(0)$. Montrer que $f$ est impaire.
\item On suppose que $f$ est continue en $0$. Soit $(x_n)_{n\in \N}$ une suite r\'{e}elle qui converge vers un r\'{e}el $x$.\\
Etudier la convergence de la suite $(f(x_n))_{n\in \N}$.
\item On suppose que $f$ est d\'{e}rivable en $0$.
 \begin{enumerate}
\item
Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\R$ et, pour tout $x\in \R$, exprimer $f'(x)$ en fonction de $f'(0)$ et de $f(x)$.
\item Montrer que la fonction $f$ est monotone sur $\R$.
\item Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\R$ par
$$\forall\, x\in \R,\quad  g(x)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)} \times \e^{-2f'(0)x}.$$
Montrer que $g$ est d\'{e}rivable sur $\R$ et calculer la fonction d\'{e}riv\'{e}e $g'$.
 \item En d\'{e}duire, pour tout r\'{e}el $x$, une expression de $f(x)$ en fonction de $f'(0)$ et de $x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exoBis}
  
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f$ d\'{e}finies sur $\R$  v\'{e}rifiant les deux hypoth\`{e}ses:\\
(i) pour tout $x\in \R$, $\abs{f(x)} < 1$.\\
(ii) pour tout $(x,y)\in \R^2$, $ f(x + y) = \dfrac{f(x) + f(y)}{1+f(x)f(y)}.$\\
(iii) $f$ est d\'{e}rivable en $0$.\\
\noindent L'ensemble $E$ \'{e}tant suppos\'e non vide, on consid\`{e}re une fonction $f$ appartenant \`{a} $E$.
 \begin{enumerate}
 \item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer  $f(0)$. 
\item \'Etudier la parit\'e de $f$.
\end{enumerate}
\item 
 \begin{enumerate}
\item
Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\R$.\\
Pour tout $x\in \R$, exprimer $f'(x)$ en fonction de $f'(0)$ et de $f(x)$.
\item Montrer que la fonction $f$ est monotone sur $\R$.
\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\R$ par
$$\forall\, x\in \R,\quad  g(x)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)} \times \e^{-2f'(0)x}.$$
\begin{enumerate}
\item 
Montrer que $g$ est d\'{e}rivable sur $\R$ et calculer la fonction d\'{e}riv\'{e}e $g'$.
 \item Pour tout r\'{e}el $x$, donner une expression de $f(x)$ en fonction de $f'(0)$ et de $x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoBis}


\begin{sol}
\begin{enumerate}
\item Soit $f\in E$. On suppose qu'il existe $k\in \R$ tel que pour tout $x\in \R$, $f(x)=k$. L'hypoth\`{e}se (ii) donne $k=\dfrac{2k}{1+k^2}$.
Si $k\neq 0$, $1+k^2=2$, donc $k\in \{-1,1\}$. Ceci est impossible avec (i). Donc $k=0$. R\'{e}ciproquement, on v\'{e}rifie que la fonction nulle est bien dans $E$. .
\item Le calcul montre que $u$ est bien dans $E$.
\item  Lorsque $x=y=0$, on a $f(0)=\frac{2f(0)}{1+f(0)^2}$. Comme dans la question 1, on montre que $f(0)=0.$\\
Soit $x\in \R$. En appliquant l'hypoth\`{e}se (ii) au couple $(x,-x)$, on trouve
$0=f(0)=\frac{f(x)+f(-x)}{1+f(x)f(-x)}.$\\
Ainsi, pour tout $x\in \R$,  $f(-x)=-f(x)$. La fonction $f$ est impaire.
\item
Soit $x\in \R$.  Soit $(x_n)_{n\in \N}\in \R^{\N}$ une suite qui converge vers $x$. Par l'hypoth\`{e}se (ii),
$$\forall\, n\in \N, \qquad f(x_n)=f(x+x_n-x)=\frac{f(x)+f(x_n-x)}{1+f(x)f(x_n-x)}.$$
Comme $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}(x_n-x)=0$ et comme $f$ est continue en $0$, $\displaystyle \lim_{n\to +\infty} f(x_n-x)=f(0)=0$. \\On en d\'{e}duit que $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}f(x_n)=f(x)$. \textbf{Ceci prouve que $f$ est continue en $x$, mais la caract\'{e}risation s\'{e}quentielle de la continuit\'{e} ne figure pas explicitement au programme BL.}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $x\in \R$. Soit $y\in \R\backslash\{x\}$. Alors, par l'hypoth\`{e}se (ii),
$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{f(y-x+x)-f(x)}{y-x}=\frac{1}{y-x}\times \left ( \frac{f(y-x)+f(x)}{1+f(y-x)f(x)}-f(x)\right).$$
Donc,
$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{f(y-x)}{y-x}\times \left ( \frac{1-f^2(x)}{1+f(y-x)f(x)}\right).$$
Puisque $f$ est d\'{e}rivable en $0$,
$\displaystyle \lim_{y\to x} \left(\frac{f(y-x)}{y-x}\right)=f'(0).$ \\
Puisque $f$ est d\'{e}rivable en 0, $f$ est continue en $0$  et
$\displaystyle \lim_{y\to x} f(y-x)=f(0)=0.$ \\
On en conclut que
$$\lim_{y\to x}\left(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right)=f'(0)\times (1-f(x)^2).$$
La fonction $f$ est donc d\'{e}rivable en tout r\'{e}el $x$ avec $\forall\, x\in \R,\;\; f'(x)=f'(0)(1-f^2(x)).$
\item Par (i), pour tout $x\in \R$, $1-f(x)^2>0$. Ainsi, la d\'{e}riv\'{e}e de $f$ est du signe de $f'(0)$. Il suit que la fonction $f$ est monotone sur $\R$.
\item La fonction $g$ est d\'{e}finie et d\'{e}rivable sur $\R$. Pour tout r\'{e}el $x$,
$$g'(x)=\frac{f'(x)(1-f(x))+f'(x)(1+f(x))}{(1-f(x))^2}\times \e^{-2f'(0)x}-2f'(0) \frac{1+f(x)}{1-f(x)} \times \e^{-2f'(0)x}.$$
Soit
$$g'(x)=\left ( \frac{2f'(x)}{(1-f(x))^2}-2f'(0) \frac{1+f(x)}{(1-f(x))}  \right )  \times \e^{-2f'(0)x}=0.$$
\item La d\'{e}riv\'{e}e de $g$ est nulle sur $\R$ donc $g$ est constante sur $\R$: pour tout $x\in \R$, $g(x)=g(0)=1$.\\
On en d\'{e}duit que
$$\forall\, x\in \R,\quad  \frac{1+f(x)}{1-f(x)} \times \e^{-2f'(0)x}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1+f(x)}{1-f(x)} = \e^{2f'(0)x}.$$
Apr\`{e}s calculs, on obtient
$$\forall x\in \R,\quad  f(x)=\frac{\e^{2f'(0)x}-1}{\e^{2f'(0)x}+1}.$$

 \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{sol}

%%%%

\begin{exo}

  \themexo{Suite d\'{e}finie par une int\'{e}grale \`{a} param\`{e}tre}{Suites, s\'{e}ries, int\'{e}grales}

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in \N^*$, l'int\'{e}grale $\dint_0^1 \dfrac{\mathrm{d}t}{(1+t^3)^n}$ est bien d\'{e}finie.
\end{enumerate} On pose ainsi, pour tout $n\in \N^*$,
    $$u_n=\dint_0^1 \dfrac{\mathrm{d}t}{(1+t^3)^n}.$$
    \begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n\in \N^*}$ converge. On note $\ell$ sa limite que l'on ne cherchera pas \`{a} calculer.
\item Montrer que $\ell\in [0,1]$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer trois constantes r\'{e}elles $(\alpha,\beta,\gamma)\in \R^3$ telles que
$$\forall\, t\in [0,1], \qquad \dfrac{1}{1+t^3}=  \dfrac{\alpha}{1+t}+  \dfrac{\beta t+\gamma}{1-t+t^2}.$$
\item Calculer $\displaystyle  \int_0^1 \dfrac{\mathrm{d}t}{1-t+t^2}.$
\item En d\'{e}duire la valeur de $u_1$.
\end{enumerate}
\item
D\'{e}terminer deux suites $(a_n)_{n\in \N^*}$ et $(b_n)_{n\in \N^*}$ telles
    $$\forall\, n \in \N^*, \qquad u_n=a_n+b_n(u_{n}-u_{n+1}).$$
    \item
    \begin{enumerate}

\item Montrer que la s\'{e}rie $\dsum_{n\geq 1} \frac {1}{n2^n}$ converge. \textbf{On admet} que sa somme est \'{e}gale \`{a} $\ln 2$.
\item Montrer que la s\'{e}rie $\dsum_{n\geq 1}\dfrac{u_n}{n}$ converge et exprimer sa somme en fonction de $\ell$ et de $u_1$.\\
En d\'eduire la valeur de $\ell$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exo}

\begin{exoBis}
  
\noindent Pour tout $n\in \N^*$, on pose
    $$u_n=\dint_0^1 \dfrac{\mathrm{d}t}{(1+t^3)^n}.$$
    \begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)_{n\in \N^*}$ converge. On note $\ell$ sa limite que l'on ne cherchera pas \`{a} calculer.
\item Montrer que $\ell\in [0,1]$.
\end{enumerate}

\item
D\'{e}terminer deux suites $(a_n)_{n\in \N^*}$ et $(b_n)_{n\in \N^*}$ telles
    $$\forall\, n \in \N^*, \qquad u_n=a_n+b_n(u_{n}-u_{n+1}).$$
    \item
    \begin{enumerate}

\item Montrer que la s\'{e}rie $\dsum_{n\geq 1} \frac {1}{n2^n}$ converge. \textbf{On admet} que sa somme est \'{e}gale \`{a} $\ln 2$.
\item Montrer que la s\'{e}rie $\dsum_{n\geq 1}\dfrac{u_n}{n}$ converge et exprimer sa somme en fonction de $\ell$ et de $u_1$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exoBis}


\begin{sol}
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in \N^*$, la fonction $t\mapsto \dfrac{1}{(1+t^3)^n}$ est continue sur le segment $[0,1]$.
\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout $n\in \N^*$, pour tout $t\in [0,1]$,
$1\leq (1+t^3)^n\leq (1+t^3)^{n+1}$. \\D'o\`{u}, $0\leq \dfrac{1}{(1+t^3)^{n+1}}\leq \dfrac{1}{(1+t^3)^{n}}\leq 1$. \\Par croissance de l'int\'{e}grale,
on d\'{e}duit que pour tout $n\in \N^*$, $0\leq u_{n+1}\leq u_n\leq 1$.
 Ainsi, la suite $(u_n)_{n\in \N^*}$ est d\'{e}croissante et minor\'{e}e par $0$. Donc, elle converge vers une limite $\ell$.
 \item On vient de montrer que pour tout $n\in \N^*$, $0\leq u_n\leq 1$. Par passage \`{a} la limite, $\ell\in [0,1]$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Le calcul montre que pour tout $t\in [0,1]$, $ \dfrac{1}{1+t^3}= \dfrac 1 3\times \dfrac{1}{1+t}-\dfrac 1 3 \times  \dfrac{t-2}{1-t+t^2}.$
\item Pour tout $t\in \R$, $t^2-t+1=\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}$. \\
D'o\`{u},$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{t^2-t+1}\mathrm{d}t=\int_0^1 \frac{1}{\left(t-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\mathrm{d}t=\dfrac{4}{3}\int_0^1\frac{1}{\left(\dfrac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)^2+1}\mathrm{d}t=
\dfrac{4}{3}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left[\mbox{arctan}\left(\dfrac{2t-1}{\sqrt{3}}\right)\right]_0^1.$
Comme $\mbox{arctan}\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6}$, il vient $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{t^2-t+1}\mathrm{d}t=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\pi$.
\item  Comme $t-2=\dfrac{1}{2}(2t-1)-\dfrac{3}{2}$, il vient \\
    $\displaystyle \int_0^1 \frac{t-2}{t^2-t+1}\mathrm{d}t= \frac 1 2 \int_0^1 \frac{2t-1}{t^2-t+1}\mathrm{d}t-\frac 3 2 \int_0^1 \frac{1}{t^2-t+1}\mathrm{d}t
    = 0-\frac{3\sqrt{3}\pi}{9}$.\\
Ainsi, $$u_1= \int_0^1\dfrac{\mathrm{d}t}{1+t^3}= \dfrac 1 3\times \int_0^1\dfrac{\mathrm{d}t}{1+t}-\dfrac 1 3 \times  \int_0^1\dfrac{t-2}{1-t+t^2}\mathrm{d}t=\dfrac 1 3 \ln 2 + \dfrac{\sqrt{3}\pi}{9}.$$
\end{enumerate}
\item
 On effectue une int\'{e}gration par parties en posant $u:t\mapsto \dfrac{1}{(1+t^3)^n}$ et $v:t\mapsto t$, qui sont
de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$. Comme $u':t\mapsto\dfrac{-n3t^2}{(1+t^3)^{n+1}}$, on obtient
$$u_n= \dint_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{(1+t^3)^n}= \left[\frac{t}{(1+t^3)^n}\right]_0^1+3n \dint_0^1 \frac{t^3}{(1+t^3)^{n+1}}\mathrm{d}t.$$
En \'{e}crivant $t^3=t^3+1-1$ dans la seconde int\'{e}grale, il vient
 $\displaystyle u_n= \frac{1}{2^n}+3n(u_{n}-u_{n+1}).$\\
 Ainsi, pour tout $n\in \N^*$, $a_n= \dfrac{1}{2^n}$ et $b_n=3n$.
 \item
 \begin{enumerate}

\item Pour tout $n\in \N^*$, $0\leq  \dfrac {1}{n2^n}\leq \dfrac 1{2^n}$. La s\'{e}rie $\sum \left(\dfrac 1{2}\right)^n$ est convergente comme s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique
de raison $\dfrac{1}{2}$. Par crit\`{e}re de comparaison des s\'{e}ries \`{a} termes positifs, la s\'{e}rie est convergente.

\item Pour tout $k\in \N^*$,
$\dfrac{u_k}{k} = \dfrac{1}{k2^k}+3(u_{k}-u_{k+1})$.\\
En sommant cette relation de $1$ \`{a} $n$, il vient
$\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{u_k}{k}= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k2^k}+3(u_{1}-u_{n+1})$.\\
En faisant tendre $n$ tend vers $+\infty$, on trouve
$\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{u_k}{k}= \ln 2+3(u_1-\ell)$.\\
\textbf{Remarque:} on pourrait en d\'{e}duire la valeur de $\ell$. En effet, si $\ell \neq 0$, alors $\dfrac{u_n}{n}\sim \dfrac{\ell}{n}$ qui est le terme g\'{e}n\'{e}ral d'une s\'{e}rie divergente. Donc $\ell=0$. \\
On rappelle cependant que les \'{e}quivalents sont hors programme en BL.
    \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{sol}

%%%

\begin{exo}
  
  \themexo{\'{E}tude d'une variable \`{a} densit\'{e} par morceaux}{Esp\'{e}rance, covariance}
On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie par $f:x\mapsto
\begin{cases}
\dfrac{1}{2(1-x)^{2}} & \text{si}\, \,  \,x \in \left[0,\dfrac{1}{2} \right[ \\
\dfrac{1}{2x^{2}} & \text{si}\, \,\,\, \, x \in \left[\dfrac{1}{2},1\right[ \\
0 & \text{sinon}. \end{cases} $\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e}. \end{enumerate}
\noindent Dans toute la suite, on consid\`{e}re une variable al\'{e}atoire $X$ d\'{e}finie sur un
 espace probabilis\'{e} $(\Omega ,\mathcal{A},\P)$ et admettant la
fonction $f$ pour densit\'{e}.
\begin{enumerate}[resume]
\item D\'{e}terminer la fonction de r\'{e}partition $F$ de $X$.
\item La variable al\'{e}atoire $X$ admet-elle une esp\'{e}rance ? Si oui, calculer sa valeur.
\item
\begin{enumerate}
\item Apr\`{e}s avoir prouv\'{e} son existence, calculer l'esp\'{e}rance de $(X-1)^{2}$.
\item Montrer que $X$ admet une variance et calculer sa valeur.
\end{enumerate}

\item On appelle variable indicatrice d'un \'{e}v\'{e}nement $A$, la variable de
\textsc{Bernoulli} qui vaut 1 si $A$ est r\'{e}alis\'{e} et 0 sinon.

\noindent On consid\`{e}re la variable al\'{e}atoire $Y$, indicatrice de
l'\'{e}v\'{e}nement $\left[X\le \dfrac{1}{2}\right]$ et la variable al\'{e}atoire $Z$, indicatrice
de l'\'{e}v\'{e}nement $\left[X>\dfrac{1}{2}\right]$.
\begin{enumerate}
\item Trouver deux r\'{e}els $a$ et $b$ tels que $Y=aZ+b$.
\item Calculer le
coefficient de corr\'{e}lation lin\'{e}aire de $Y$ et $Z$.
\item Calculer la covariance de $Y$ et $Z$. Les variables
$Y$ et $Z$ sont-elles ind\'{e}pendantes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exoBis}
  
\noindent On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\R$ par 
$$\forall\, x \in \R, \quad f(x)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{2(1-x)^{2}} & \text{si}\, \,  \,x \in \left[0,\dfrac{1}{2} \right[ \\
\dfrac{1}{2x^{2}} & \text{si}\, \,\,\, \, x \in \left[\dfrac{1}{2},1\right[ \\
0 & \text{sinon}. \end{cases} .$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est une densit\'{e} de probabilit\'{e}. \end{enumerate}
\noindent Dans toute la suite, on consid\`{e}re une variable al\'{e}atoire $X$ admettant la
fonction $f$ pour densit\'{e}.
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item La variable al\'{e}atoire $X$ admet-elle une esp\'{e}rance ? Si oui, calculer sa valeur.
\item La variable al\'{e}atoire $X$ admet-elle une variance? Si oui, calculer sa valeur.

\end{enumerate}

\item On appelle variable indicatrice d'un \'{e}v\'{e}nement $A$, la variable de
\textsc{Bernoulli} qui vaut 1 si $A$ est r\'{e}alis\'{e} et 0 sinon.
Soient $Y$ la variable indicatrice de
l'\'{e}v\'{e}nement $\left[X\le \dfrac{1}{2}\right]$ et $Z$ la variable indicatrice
de l'\'{e}v\'{e}nement $\left[X>\dfrac{1}{2}\right]$.
\begin{enumerate}
\item Trouver deux r\'{e}els $a$ et $b$ tels que $Y=aZ+b$.

\item Calculer la covariance de $Y$ et $Z$. Les variables
$Y$ et $Z$ sont-elles ind\'{e}pendantes ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exoBis}


\begin{sol}
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est positive sur $\R$, continue sur $\mathbb{R-}\left\{ 0,\dfrac{1}{2},1\right\}$ et on v\'{e}rifie que $\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }f(t)dt=1$.
\item
$\bullet$ Si $x<0$, $\displaystyle F\left( x\right) =\P(X\leq x)=0$. Si $x\ge 1$, $\displaystyle F\left( x\right) =\P(X\leq x)=1$.\\
$\bullet$ Si $0\le x<\dfrac{1}{2}$, $\displaystyle F\left( x\right) =\int_{-\infty
}^{0}0dt+\int_{0}^{x}\frac{1}{2(1-t)^{2}}dt=\left[ \frac{1}{2}\frac{1}{1-t} \right] _{0}^{x}=\dfrac{1}{2}\left( \frac{1}{1-x}-1\right) =\frac{1}{2}\frac{x }{1-x}$.\\
$\bullet$ Si $\dfrac{1}{2}\le x<1$, $\displaystyle F\left( x\right) =\int_{-\infty
}^{0}0dt+\int_{0}^{1/2}\frac{1}{2(1-t)^{2}}dt+\int_{1/2}^{x}\frac{1}{2t^{2}}dt= \frac{1}{2}+\left[ \frac{1}{2}\frac{-1}{t}\right] _{1/2}^{x}=\frac{3}{2}- \frac{1}{2x}$\\



\item Apr\`{e}s avoir expliqu\'{e} pourquoi cette int\'{e}grale converge absolument, on calcule


$$\int_{-\infty }^{+\infty }tf\left( t\right) dt=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln
\left( 2\right)+\frac{1}{2}\ln
\left( 2\right)=\frac{1}{2}.$$
On conclut que $X$ a une esp\'{e}rance et $E\left( X\right) =\dfrac{1 }{2}$

\item
\begin{enumerate}
\item La variable $T=(X-1)^2$ admet une esp\'{e}rance
si et seulement si l'int\'{e}grale $ \displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty }\left( t-1\right) ^{2}f\left( t\right) dt$
est (absolument) convergente. Le calcul donne

 $$\int_{0}^{1/2}\left( t-1\right) ^{2}f\left( t\right) dt=\int_{0}^{1/2} \frac{\left( t-1\right) ^{2}}{2(1-t)^{2}}dt=\left[ \frac{1}{2}t\right]
_{0}^{1/2}=\frac{1}{4}$$

et
$$ \int_{1/2}^{1}\left( t-1\right) ^{2}f\left( t\right) dt=\int_{1/2}^{1} \frac{t^{2}-2t+1}{2t^{2}}dt \\
=\int_{1/2}^{1}\frac{1}{2}-\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^{2}}dt =\frac{3}{4}-\ln \left( 2\right)
$$

D'o\`{u}, $E\left( \left( X-1\right) ^{2}\right)
=1-\ln \left( 2\right) $

\item
Comme les variables $(X-1)^2$ et $X$ admettent chacune une esp\'{e}rance, on en d\'{e}duit que $X^{2}$ a une esp\'{e}rance et
$
E\left( X^{2}\right) =E\left( \left( X-1\right)
^{2}\right) +2 E\left( X\right) -1
=1-\ln \left( 2\right) +1-1
=1-\ln \left( 2\right).$

On en d\'{e}duit que $X$ a une variance qui, par la formule de \textsc{Huygens}, vaut $V\left(
X\right) =\dfrac{3}{4}-\ln 2$.
\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}
\item \'Ecrivons $Y=aZ+b$.\\
$\bullet$ $(Y=1) = (X\leq \dfrac{1}{2}) = (Z=0)$.\\
Ainsi, quand $Y$ vaut $1$, $Z$ vaut $0$.
Ceci nous donne une premi\`{e}re relation : $1=b$.\\
$\bullet$ $(Y=0) =(X> \dfrac{1}{2}) = (Z=1)$.

Ainsi, quand $Y$ vaut $0$, $Z$ vaut $1$.
Ceci nous donne une seconde relation : $0=a+b$, d'o\`{u} $a=-b=-1$.\\
On a donc $Y=1-Z$.

\item Comme $Y=1-Z$, le cours donne $\rho \left( Y,Z\right)=-1$.

\item $\star$ D'apr\`{e}s le cours, $-1=\rho (Y,Z)= \dfrac{\mathrm{cov}\left( Y,Z\right) }{\sigma \left( Y\right) \sigma \left(
Z\right) }$.
Donc $\mathrm{cov}\left( Y,Z\right) =-\sigma \left( Y\right) \sigma \left(
Z\right) $.\\
Or, $V\left( Y\right) =V(1-Z)=V(Z)$. D'o\`{u},  $ \sigma \left( Y\right) =\sigma \left( Z\right) =\sqrt{V\left( Y\right) }$
et $\mathrm{cov}\left( Y,Z\right)=-V(Y).$\\

$\star$  $Y$ suit une loi de \textsc{Bernoulli} de param\`{e}tre
 $p=\P\left( Y=1\right) =\P\left( X\le \dfrac{1}{2}\right)
=F\left( \dfrac{1}{2}\right) =\dfrac{1}{2}$

Donc, $Y\hookrightarrow \mathcal{B}\left( \dfrac{1}{2}\right) $ et $V\left(
Y\right) =\dfrac{1}{2}\left( 1-\dfrac{1}{2}\right) =\dfrac{1}{4}$.
$\mathrm{cov}\left( Y,Z\right) =-\dfrac{1}{4}$.
Il suit que $Y$ et $Z$ ne sont pas ind\'{e}pendantes (sinon, leur covariance devrait
\^{e}tre nulle).

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{sol}

\chapter{Exemples de questions courtes}


\begin{QSP}
\themexo{endomorphisme  qui commute avec tous les projecteurs}{vecteur propre}
  Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.\\ Soit $u$ un endomorphisme de $E$ qui commute avec tous les projecteurs de $E$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que si $x\in E$ avec $x\neq 0$, alors $x$ est vecteur propre de $u$.
\item En d\'{e}duire que $u$ est une homoth\'{e}tie, c'est \`{a} dire qu'il existe $\lambda \in \R$ tel que $u=\lambda \mbox{id}_E$.
\end{enumerate}
\end{QSP}
\begin{solQSP}
\begin{enumerate}
\item Si $u$ commute avec un projecteur $p$, alors $u$ stabilise $\Ker p$ et $\Im p$.\\
Soit $x\neq 0$. On compl\`{e}te $x$ en une base de $E$, $(x, e_2, \ldots, e_n)$ et on d\'{e}finit la projection $p_x$ par
$$p_x(x)=x,\ p_x(e_i)= 0 \quad \forall i \in \llbracket 2,n\rrbracket$$
Ainsi $u(x) \in \Im (p_x)\Rightarrow u(x) = \lambda_x x$.

{\bf Autre r\'{e}daction :} soit $p$ le projecteur sur $\vect(x)$ par rapport \`{a},un suppl\'{e}mentaire quelconque.\\
Alors $p(x)=x$. Donc $u(x)=u(p(x))=p(u(x))\in \im p $.\\
Or $\im p =\vect(x)$, d'o\`{u} $u(x) = \lambda_x x$.

\item  Ainsi tout vecteur non nul de $E$ est vecteur propre de $u$.\\ Par l'absurde supposons que $\lambda \neq \mu$ sont deux valeurs propres diff\'{e}rentes de $u$.\\ Alors existe $x,y$ non nuls et ind\'{e}pendants tels que $u(x)=\lambda x$ et $u(y)=\mu y$. Donc
    $$u(x+y)= \lambda x+\mu y = \alpha(x+y)\Rightarrow \lambda=\alpha=\mu$$
Il existe donc $\lambda$ tel que pour tout $x\in E, u(x)=\lambda x$.

\end{enumerate}

 \end{solQSP}

 %=========================================
 \begin{QSP}
   \themexo{Loi du minimum des $n$ variables non ind\'{e}pendantes}{vecteur al\'{e}atoire discret}
Soit un entier avec $n\geq 2$.
Soit $n$ variables al\'{e}atoires $X_1,X_2,\ldots,X_n$ \`{a} valeurs dans $\llbracket 0,n\rrbracket $ et v\'{e}rifiant pour tout $(i,j)\in\llbracket 0,n\rrbracket^2$ avec $i$ et $j$ distincts :
$$\forall (k,m)\in\llbracket 0,n\rrbracket^2,\quad P\big([X_i=k]\cap[X_j=m]\big)=\begin{cases} 0 & \mbox{ si } m=k\\
\dis\frac1{n(n+1)}& \mbox{ si }  m\neq k \end{cases}$$

On pose $Z_n=\min(X_1,X_2,\ldots,X_n)$.
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer les valeurs prises par $Z_n$.
	
\item  D\'{e}terminer la loi de $Z_n$.
\end{enumerate}
\end{QSP}
\begin{solQSP}

\begin{enumerate}
 \item On a $Z_n(\Omega)= \{0,1\}$ (presque s\^{u}rement). En effet, si l'\'{e}v\'{e}nement $[Z_n\ge 2]$ est r\'{e}alis\'{e}, alors on a n\'{e}cessairement au moins deux variables parmi $X_1,\ldots, X_n$ qui sont \'{e}gales, ce qui est de probabilit\'{e} nulle.

\item   On a : $\dis  [Z_n=0]=\bigcup_{i=1}^n[X_i=0]$.
Ces \'{e}v\'{e}nements sont presque s\^urement incompatibles puisque $\dis P\big([X_i=k]\cap[X_j=m]\big)=0$ si $m=k$ . On a donc :
$$P([Z_n=0])=\sum_{i=1}^n P([X_i=0])$$
Or, elles ont toutes la m\^{e}me loi car, en utilisant le syst\`{e}me complet d'\'{e}v\'{e}nements $([X_j=p])\ ;\ p\in\llbracket 0,n\rrbracket$ :
$$ P([X_i=0])=\sum_{p=0}^n P\big([X_i=0]\cap[X_j=p]\big)=\sum_{p=0,p\neq i}^n\frac1{n(n+1)}=\frac1{n+1}$$
On a donc :
$$P([Z_n=0])=\sum_{i=1}^n\frac1{n+1}=\frac n{n+1}$$
Donc $P[Z_n=1]=\frac 1{n+1}$ donc $Z_n$ suit la loi de \textsc{Bernoulli} de param\`{e}tre $\frac 1{n+1}$.
\end{enumerate}
 \end{solQSP}
 %=====================================

 \begin{QSP}
   \themexo{Moments de la loi exponentielle}{variables \`{a} densit\'{e}, esp\'{e}rance}
	\begin{enumerate}
		\item Si $X$ suit la loi exponentielle de param\`{e}tre $1$, d\'{e}terminer $E(X^k)$ pour $k\in\mathbb{N}$.
		\item Si $Y$ suit la loi exponentielle de param\`{e}tre $\lambda$, trouver  un \'{e}quivalent quand $n\to +\infty$ de $E\left(\left(Y-\dfrac 1{\lambda}\right)^n\right)$.	
	\end{enumerate}
\end{QSP}
\begin{solQSP}
	\begin{enumerate}
		\item Par th\'{e}or\`{e}me de transfert, $E(X^k)$  existe si et seulement si $\displaystyle \int_{0}^{+ \infty}t^k e^{-t} \mathrm{d}t$ converge absolument.\\ En utilisant les propri\'{e}t\'{e}s de la fonction Gamma, on obtient que $E(X^k)$ existe et vaut $\Gamma(k+1)=k!$
		\item Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Alors $\bigg(Y-\dfrac{1}{\lambda}\bigg)^n=\dfrac{(\lambda Y-1)^n}{\lambda ^n}=\dfrac{(X-1)^n}{\lambda ^n}$, o\`{u} $X \hookrightarrow \mathcal{E}(1)$.
		
		Et $(X-1)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1)^{n-k}X^k$ d'apr\`{e}s la formule du bin\^{o}me.\\ D'o\`{u} : $E((X-1)^n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1)^{n-k}k!$ par lin\'{e}arit\'{e} de l'esp\'{e}rance.
		
		Ainsi : $E((X-1)^n)=n! \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{(-1)^{n-k}}{(n-k)!}=n!\sum_{k=0}^{n}\underbrace{\dfrac{(-1)^k}{k!}}_{\rTo_{n\to +\infty} \frac{1}{\ee}}$.	\\
		Ainsi : $E\bigg(\bigg(Y-\dfrac{1}{\lambda}\bigg)^n\bigg) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}\dfrac{n!}{\lambda ^n \ee}$.\\
                {\em Autre r\'{e}daction :} faire le changement de variable $u=\lambda t$ dans l'int\'{e}grale qui exprime $E\left(\left(Y-\dfrac 1{\lambda}\right)^n\right)$.
	\end{enumerate}
      \end{solQSP}
%===========================================

 \begin{QSP}
	\themexo{Isom\'{e}trie affine}{Espace euclidien}
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\in \mathbb{N}^{\ast}$.\\	On dit qu'une application $\varphi$ de $E$ dans $E$ est une isom\'{e}trie si
$\Vert \varphi(x)-\varphi(y) \Vert=\Vert x-y\Vert $ pour tout $(x,y)\in E^2$.\\
On note $\mathcal{I}(E)$ l'ensemble des isom\'{e}tries de $E$ dans $E$.	
\begin{enumerate}
\item Soit $f \in \mathcal{I}(E)$, montrer qu'il existe $(u,g) \in E \times \mathcal{I}(E)$ tel que :
$$g(0)=0 \bet \forall x \in E,\ f(x)=u+g(x).$$\\ Montrer ensuite que
	$\langle g(x), g(y) \rangle=\langle x, y \rangle$ pour tout $(x,y)\in E^2$.\\ En d\'{e}duire que $g$ est lin\'{e}aire
	et que c'est un isomorphisme de $E$.
	\item Donner un exemple d'application $h$ de $E$ dans $E$ qui v\'{e}rifie $\Vert h(x)\Vert  =\Vert x\Vert $ pour tout $x \in E$ mais qui n'est pas une isom\'{e}trie.
	
\end{enumerate}

\end{QSP}
\begin{solQSP}
\begin{enumerate}
	\item On voit qu'il faudrait que $u=f(0)$, on d\'{e}finit donc $g$ par $g(x)= f(x)-f(0)$ pour tout
          $x \in E$.\\ Il est clair que le couple $(f(0),g)$ convient. %analyse synt\`{e}se ici
          \small

	Comme $g$ est une isom\'{e}trie, pour tout couple $(x,y)\in E^2$ on obtient par d\'{e}veloppement
	$$
	\Vert g(x)\Vert^2+\Vert g(y) \Vert^2 - 2\langle g(x), g(y) \rangle=\Vert x\Vert^2+\Vert y \Vert^2 - 2\langle x, y \rangle.
	$$	
	Or $g(0)=0$, ce qui entra\^{\i}ne $\Vert g(v) \Vert=\Vert g(v)-g(0) \Vert=\Vert v-0\Vert =\Vert v\Vert $
	pour tout $v \in E$.\\ En tenant compte de cette propri\'{e}t\'{e} dans le d\'{e}veloppement pr\'{e}c\'{e}dent, on aboutit apr\`{e}s simplification \`{a} l'\'{e}galit\'{e}
	demand\'{e}e.

\small
% F : ce qui me semble \'{e}crit de mani\`{e}re compliqu\'{e}e...
        Soit $\mathcal{B}=\left(e_1, \cdots, e_n \right) $ une base orthonorm\'{e}e de $E$, alors on doit avoir
	$\langle g(e_i), g(e_j) \rangle=\langle e_i, e_j \rangle$ pour tout couple $(i,j)\in \llbracket 1,n\rrbracket^2$ ce qui implique
	que $\mathcal{B}'=\left(g(e_1), \cdots, g(e_n) \right)$ est aussi une base orthonorm\'{e}e.\\ On en d\'{e}duit que pour tout $x \in E$ on a
	$$
	g(x)=  \sum_{i=1}^{n} \langle g(x), g(e_i) \rangle g(e_i)=\sum_{i=1}^{n} \langle x, e_i \rangle g(e_i),
	$$
	il est alors clair que $g$ est lin\'{e}aire.\\ De plus, on a vu que l'image de la base $\mathcal{B}$ est une base, le cours nous dit alors que $g$ est un isomorphisme.
	\item Si $\mathcal{B}=\left(e_1, \cdots, e_n \right) $ une base orthonorm\'{e}e de $E$, il suffit de consid\'{e}rer l'application $h$ d\'{e}finie par
	$$
	h(x)=\sum_{i=1}^{n} \vert \langle x, e_i \rangle \vert e_i.
	$$
	En effet, on a bien $h(0)=0$ et $\Vert h(x)\Vert  =\Vert x\Vert $
	pour tout $x \in E$ mais $h(x)+ h(-x)= 2h(x)\neq 0$ si $x \neq 0$, ce qui interdit \`{a} $h$ d'\^{e}tre une isom\'{e}trie d'apr\`{e}s la question 1).
\end{enumerate}	

	
	
	
 \end{solQSP}

 %=========================================

 \begin{QSP}
   \themexo{Estimation de l'\'{e}cart entre int\'{e}grale et somme de \textsc{Riemann}}{Int\'{e}grales, in\'{e}galite de \textsc{Taylor} \textsc{Lagrange}}
On consid\`{e}re une fonction $f$ qui est de classe $\mathcal{C}^2$ sur le segment $I=[0,1]$. 	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n \in \mathbb{N}^{\ast}$. Justifier l'existence d'une constante $M \in \mathbb{R}^2$ telle que
		$$
		\left\vert f(t)- f\left(  \frac{k}{n}\right) -\left( t-\frac{k}{n}\right)f'\left( \frac{k}{n}\right)  \right\vert
		\leq \frac{M}{2}\left( t-\frac{k}{n}\right)^2.
		$$
	pour tout couple $(k,t)\in \llbracket 0,n\rrbracket \times I$.	
	\item En d\'{e}duire que
	$$
	\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\,\, n\left[\int_{0}^{1}f(t)dt-\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n} \right) \right]
	=\frac{f(1)-f(0)}{2}.
	$$
	\end{enumerate}
	
\end{QSP}
\begin{solQSP}
\begin{enumerate}
	\item Comme la fonction $\vert f'' \vert$ est continue sur le segment $I$ elle poss\`{e}de un maximum $M \in \mathbb{R}_+$.\\
	L'in\'{e}galit\'{e} de \textsc{Taylor} \textsc{Lagrange} s'applique et donne ce que l'on souhaite.
	\item Soit $k\in \llbracket 0,n-1\rrbracket$. On int\`{e}gre l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente entre $\dfrac{k}{n}$ et $\dfrac{k+1}{n}$ et avec la version int\'{e}grale de l'in\'{e}galit\'{e} triangulaire il vient
	$$
	\left\vert \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}f(t)dt -\frac{1}{n}f\left(  \frac{k}{n}\right) -\frac{1}{2n^2}f'\left(  \frac{k}{n}\right) \right\vert
	\leq \int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \left\vert f(t)- f\left(  \frac{k}{n}\right) -\left( t-\frac{k}{n}\right)f'\left( \frac{k}{n}\right)  \right\vert dt
	\leq \frac{M}{6n^3}.
	$$
	D'o\`{u}, par somme, et produit par $n$ :
	\begin{align*}
	n\left\vert \int_{0}^{1}f(t)dt -\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(
	\frac{k}{n}\right) -\frac{1}{2n^2}\sum_{k=0}^{n-1}f'\left(  \frac{k}{n}\right) \right\vert dt
	&\leq n\sum_{k=0}^{n-1}\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}} \left\vert f(t)- f\left(  \frac{k}{n}\right) -\left( t-\frac{k}{n}\right)f'\left( \frac{k}{n}\right)  \right\vert dt \\
	&\leq  n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{M}{6n^3}= \frac{M}{6n} \rTo_{n\to +\infty} 0.
	\end{align*}
	Et on conclut car la somme de \textsc{Riemann} associ\'{e}e \`{a} $f'$ qui appara\^{\i}t converge vers
	$\dint_{0}^{1}f'(t)dt=f(1)-f(0)$.
\end{enumerate}	
	
	
 \end{solQSP}
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 \begin{QSP}
   \themexo{Couple discret}{Lois de \textsc{Poisson}}
Soit $(X_n)_{n\in \NN}$ une suite de variables al\'{e}atoires  d\'{e}finies sur un m\^{e}me univers probabilis\'{e} $(\Omega,{\cal A},P)$ ind\'{e}pendantes et de m\^{e}me loi. On pose $p=P(X_1=1)$.

Pour tout $n\in \NN$ on d\'{e}finit une variable al\'{e}atoire $Y_n$ par :
$$\forall \omega\in \Omega,\ Y_n(\omega)=\text{card}\{ k\in \llbracket 1,n \rrbracket | X_k(\omega)=1\},$$
o\`{u} l'on a not\'{e} \og $\text{card} E$ \fg{} le cardinal de l'ensemble (fini) $E$.
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer la loi de la variable al\'{e}atoire $Y_n$.
\item Soit $\lambda >0$. Soit  $N$ une variable al\'{e}atoire d\'{e}finie sur $(\Omega,{\cal A},P)$ qui suit la loi de \textsc{\textsc{Poisson}} de param\`{e}tre $\lambda$ et qui est ind\'{e}pendante des variables $X_n$. On d\'{e}finit une variable al\'{e}atoire $Z$ par :
$$\forall \omega\in \Omega,\ Z(\omega)=Y_{N(\omega)}(\omega).$$
D\'{e}terminer le loi de $Z$
\end{enumerate}


\end{QSP}
\begin{solQSP}
\begin{enumerate}
\item On reconna\^{\i}t que $Y_n$ compte le nombre d'\'{e}v\'{e}nements r\'{e}alis\'{e}s parmi $(X_1=1),\dots,(X_n=1)$.\\ Ils sont ind\'{e}pendants de m\^{e}me probabilit\'{e} $p$ donc $Y_n$ suit la loi ${\cal B}(n,p)$ (avec le cas particulier de la loi certaine nulle si $n=0$).
\item On a $Z(\Omega)=\NN$, et pout tout $k\in\NN$, la formule des probabilit\'{e}s totales avec le syst\`{e}me complet d'\'{e}v\`{e}nements $(N=k)_{k\in \NN}$ donne :
\begin{align*}
P(Z=k)&=\dsum_{n=0}^{+\infty} P((Z=k)\cap (N=n))= \dsum_{n=0}^{+\infty} P((Y_n=k)\cap (N=n))
=\dsum_{n=0}^{+\infty} P(Y_n=k)P(N=n) \quad  \text{(ind\'{e}pendance)}\\
&=\dsum_{n=k}^{+\infty} \binom{n}{k} p^kq^{n-k} \ee^{-\lambda} \dfrac{\lambda^n}{n!}= \ee^{-\lambda} \dfrac{(\lambda p)^k}{k!} \dsum_{n=k}^{+\infty} \dfrac{(\lambda q)^{n-k}}{(n-k)!}
=\ee^{-\lambda} \dfrac{(\lambda p)}{k!} \ee^{\lambda q}=\ee^{-\lambda p}\dfrac{(\lambda p)}{k!}.
\end{align*}
Donc $Z$ suit la loi de \textsc{\textsc{Poisson}} de  param\`{e}tre $\lambda p$.
\end{enumerate}
  \end{solQSP}

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  \begin{QSP}
\themexo{Suite d\'{e}finie par r\'{e}currence, et s\'{e}rie}{suite arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}trique}
    Soit $(u_n)$ la suite d\'{e}termin\'{e}e par la donn\'{e}e du r\'{e}el $u_0>0$ et par la relation de r\'{e}currence suivante :
$$\forall\, n \in \N, \qquad u_{n+1}= \frac{2u_n}{1+2u_n}.$$
Soit $(v_n)$ la suite d\'{e}finie par
$$\forall\, n \in \N, \qquad v_{n}= \frac{1}{u_n}.$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont bien d\'{e}finies et montrer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite r\'{e}elle que l'on notera $ \ell$.
\item D\'{e}terminer la nature de la s\'{e}rie $\dsum (u_n-\ell)$.
\end{enumerate}
\end{QSP}
\begin{solQSP}
\begin{enumerate}
\item Par r\'{e}currence sur $n \geq 0$, on montre que $u_n$ est d\'{e}finie et $u_n >0$.\\
  Donc $(v_n)$ est bien d\'{e}finie aussi.\\
On a $\dfrac 1 {u_{n+1}}= \dfrac 1 {2u_n}+1$, soit $v_{n+1}= \dfrac 1 2 v_n+1$.\\ La suite $(v_n)$ est arithm\'{e}tico-g\'{e}om\'{e}trique. Son point fixe est $x=2$ donc, pour tout $n\geq 0$, on a :
    $$v_n= \left( \frac 1 2\right)^n(v_0-2) +2 \dou \boxed{\lim_{n\to +\infty} u_n= \frac 1 2.}$$

\item On en d\'{e}duit que :
  $$u_n- \frac 1 2= \frac 1 2\left(\frac 1{1+ \frac{1}{2^{n+1}}(v_0-2)}-1\right)\sim -\dfrac1{2^{n+2}}(v_0-2).$$
  Donc la s\'{e}rie converge (absolument) par comparaison \`{a} une s\'{e}rie g\'{e}om\'{e}trique.
\end{enumerate}
 \end{solQSP}

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 \begin{QSP}
   \themexo{Formule d'esp\'{e}rance \`{a} densit\'{e} et in\'{e}galit\'{e}}{int\'{e}gration par parties, in\'{e}galit\'{e} de \textsc{Markov}}
Soit $X$ une variable al\'{e}atoire positive qui poss\`{e}de une densit\'{e} continue sur $\mathbb{R}_{+}$ et qui admet une esp\'{e}rance strictement positive.\\
On consid\`{e}re une fonction $h$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}$, qui est positive, croissante, de classe ${\cal C}^1$ et qui s'annule en $0$.
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que l'esp\'{e}rance de $h(X)$ existe. \`{A} l'aide d'une int\'{e}gration par parties, montrer que
		\abovedisplayskip=0mm
		\belowdisplayskip=0mm
		$$
		E(h(X))=\int_{0}^{+\infty}h'(t)P(X>t)dt.
		$$
		\item Soit $p \in \llbracket 2,+\infty\llbracket  $.\\ On suppose de plus que $X$ admet un moment d'ordre $p$ et que l'int\'{e}grale
		$\dint_{1}^{+\infty}h'(t)t^{-p}dt$ converge. Prouver que :
		$$
		E(h(X)) \leq h(E(X))+ E(X^p) \int_{E(X)}^{+\infty}\frac{h'(t)}{t^p}dt.
		$$
	\end{enumerate}
	
\end{QSP}
\begin{solQSP}
\begin{enumerate}
	\item Soit $a \in \mathbb{R}_+^{\ast}$. Notons $F_X$ (resp $f_X$) la fonction de r\'{e}partition (resp. la densit\'{e}) de $X$.\\ On se souvient que $P(X>t)=1-F_X(t)$, une int\'{e}gration par partie (justifi\'{e}e par les hypoth\`{e}ses) nous donne
	$$
	\int_{0}^{a}h(t)f_X(t)dt=\left[ h(t) (F_X(t)-1)\right]_0^a  -\int_{0}^{a}h'(t) (F_X(t)-1)dt
	=-h(a)P(X>a)+\int_{0}^{a}h'(t)P(X>t)dt.
	$$
Ensuite on tendre $a$ vers $+\infty$ o\`{u} :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] comme $E(h(X))$ existe, le membre de gauche converge (th\'{e}or\`{e}me de transfert) ;
\item[$\bullet$] on a $0\leq h(a)P(X>a)=h(a)\int_{a}^{+\infty}f_X(t) dt\leq \int_{a}^{+\infty}h(t)f_X(t) dt
	\underset{a\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}0$.
\end{itemize}
D'o\`{u} la formule souhait\'{e}e (y compris la convergence).
	\item On utilise la question 1). Compte tenu des hypoth\`{e}ses , il vient
	\begin{align*}
		E(h(X))& \leq \int_{0}^{E(X)}h'(t)dt + \int_{E(X)}^{+\infty}h'(t)P(X^p>t^p)dt \leq h((E(X))+ E(X^p)\int_{E(X)}^{+\infty}\frac{h'(t)}{t^p}dt,
	\end{align*}
d'apr\`{e}s l'in\'{e}galit\'{e} de \textsc{Markov} $P(X^p>t^p) \leq \frac{E(X^p)}{t^p}$.
La derni\`{e}re int\'{e}grale est convergente gr\^{a}ce \`{a} la deuxi\`{e}me hypoth\`{e}se de cette question car $E(X)>0$.
\end{enumerate}	
	
	
 \end{solQSP}
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 \begin{QSP}
   \themexo{Couple de familles v\'{e}rifiant une condition d'orthogonalit\'{e}}{espace euclidien, projecteur orthogonal}
Soit $(E,\langle\ , \ \rangle)$ un espace euclidien et $(u_1,...,u_m)$, $(v_1,...,v_m)$ deux $m$-uplets d'\'{e}l\'{e}ments de $E$ tels que:
$$\forall (i,j)\in\{1,...,m\}^2,\, \langle u_i,v_j\rangle=
\begin{cases}
	1 &\text{ si }i=j\\
	0 &\text{ sinon.}
\end{cases} $$
\begin{enumerate}
\item Montrer que les familles $(u_1,...,u_m)$ et $(v_1,...,v_m)$ sont libres.
\item Soit $p$ le projecteur orthogonal sur le sous espace vectoriel  $F$ engendr\'{e} par $(u_1,...,u_m)$.

Montrer que pour tout $x$ dans $E$, $\|p(x)\|^2=\displaystyle\sum_{i=1}^m\langle x,u_i\rangle\langle x,p(v_i)\rangle$.

\end{enumerate}

\end{QSP}
\begin{solQSP}
\begin{enumerate}
\item Soit $a_1,...,a_n$ des r\'{e}els tels que $\displaystyle\sum_{i=1}^m a_iu_i=0$. On a alors pour tout $j$ , $\left\langle \displaystyle\sum_{i=1}^m a_iu_i,v_j\right\rangle=0$,\\ d'o\`{u} par lin\'{e}arit\'{e} du produit scalaire, $a_j\langle u_j,v_j\rangle=0$ i.e.  $a_j=0$ ce qui prouve que $(u_1,...,u_m)$ est libre.

Raisonnement analogue pour $(v_1,...,v_m)$.

\item Soit $x$ un vecteur qui s'\'{e}crit $x=y+z$ o\`{u} $y\in F$ et $z\in F^{\bot}$. Alors $p(x)=y$ d'o\`{u} $\|p(x)\|^2=\|y\|^2$.

Or $y\in F$, d'o\`{u} il existe $a_1,...,a_m$ des r\'{e}els tels que $y=\displaystyle\sum_{i=1}^m a_iu_i$. On voit que $a_i=\langle y,v_i\rangle$. D'o\`{u}:

$$\|y\|^2=\left\langle y,\displaystyle\sum_{i=1}^m \langle y,v_i\rangle u_i\right\rangle=\displaystyle\sum_{i=1}^m \langle y,u_i\rangle\langle y,v_i\rangle $$

Or $\langle x,u_i\rangle=\langle y+z,u_i\rangle=\langle y,u_i\rangle$ car $z$ est orthogonal \`{a} $F$ donc \`{a} $u_i$.

Et $\langle y,v_i\rangle=\langle p(x),v_i\rangle =\langle x,p(v_i)\rangle$ par sym\'{e}trie de $p$.

Finalement $\|p(x)\|^2=\displaystyle\sum_{i=1}^m\langle x,u_i\rangle\langle x,p(v_i)\rangle$.








\end{enumerate}


 \end{solQSP}

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 \begin{QSP}
\themexo{Int\'{e}grale fonction des bornes sup\'{e}rieures et inf\'{e}rieures}{th. fondamental  du calcul int\'{e}gral, in\'{e}galit\'{e} de \textsc{Taylor}-\textsc{Lagrange} }
   Soit $0<a<b$ r\'{e}els et $f : \R^* \to \R$ d\'{e}finie pour tout $x\neq 0$ par
 $$f(x)=\int_{ax}^{bx} \frac{\sin t}{t^2} dt$$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\R^*$ et calculer sa d\'{e}riv\'{e}e $f'$
\item Montrer que $f$ admet un prolongement par continuit\'{e} en $0$.
\item La fonction ainsi prolong\'{e}e est-elle de classe $C^1(\R)$ ?
\end{enumerate}

\end{QSP}
\begin{solQSP}
\begin{enumerate}
\item Par le th. fondamental  du calcul int\'{e}gral, la fonction $t \to \dfrac{\sin t}{t^2}$ \'{e}tant continue sur $\R^{*}_+$ et $\R^{*}_-$, il vient
    $$f'(x)= b\times \frac{\sin(bx)}{b^2x^2} - a\times \frac{\sin(ax)}{a^2x^2}.$$

  \item On remarque que la fonction $f$ est impaire.\\
    Or, on sait que pour $t>0$, $t-\dfrac{t^2} 2 \leq \sin t \leq t$ (in\'{e}galit\'{e} de \textsc{Taylor}-\textsc{Lagrange}).  Donc :
$$\frac 1 t - \frac{t}{2} \leq \frac{\sin t}{t^2} \leq \frac 1 t$$
En int\'{e}grant, il vient
$$\ln \left( \frac b a \right)-\frac 1 4 \left( a^2x^2-b^2x^2\right) \leq f(x) \leq \ln \left( \frac b a \right)$$
Donc $\dlim_{x\to 0^+} f(x)= \ln \left( \frac b a \right)$.

\item Un DL en $0$, $\sin (ax)= ax -\dfrac{a^3x^3} 6 + o(x^3)$ donne  $\dlim_{x\to 0} f'(x)=0$.\\
  {\em Remarque: } l'utilisation de ce calcul pour r\'{e}soudre la question 2 avec le th\'{e}or\`{e}me de prolongement des fonctions $C^1$ (au programme) n'est pas valable car il faut aussi prouver que $f$ converge en $0$.

\end{enumerate}

 \end{solQSP}


\end{document}

