\begin{QSP}%mis dans les annales

Toutes les variables al\'{e}atoires consid\'{e}r\'{e}es sont  d\'{e}finies sur un m\^{e}me espace probabilis\'{e} $(\Omega, \mathcal{A},P)$.\\
Soit $(\lambda_n)$ une suite monotone strictement positive.
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables  al\'{e}atoires telle que, pour tout $n\geq 1$, $X_n$ suit la loi exponentielle de param\`{e}tre $\lambda_n$ .  \'Etudier la convergence en loi de la suite $(X_n)_{n\geq 1}$.
\end{QSP}

\begin{QSP} %mis dans les annales
\begin{enumerate}
\item  Déterminer le domaine de définition $D$ de la fonction d'une variable
réelle $F$ définie par
$$ F(x) = \int_{x}^{3x} \frac{\cos t}{t}\:{\mathrm d} t    $$
\item  Déterminer
$$ \lim_{x \rightarrow 0}  \int_{x}^{3x} \frac{\cos t }{t} \:{\mathrm d} t  $$
\end{enumerate}
\end{QSP}

\begin{QSP}	%mis dans les annales		
	Soit $X$ une variable aléatoire positive, qui admet une espérance, de densité $f$ définie sur $\R$ et continue sur $\R^+$.\\
	
	Montrer que : $E(X)=\dint_0^{+\infty} P(X>t)~dt$.

\end{QSP}

\begin{QSP} %mis dans les annales
Soit un entier $n\geq 2$. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$.

On suppose que $A^2(A-I_n)=0$ et $A(A-I_n)\neq 0$.

%avec $ \begin{cases} (A-I_n)^2 \neq 0\\ A(A-I_n)\neq 0  \end{cases}$.

La matrice  $A$ est-elle diagonalisable ?


\end{QSP}

\begin{QSP} %mis dans les annales
Soit $t\in \R$. Soit $(X_n)_{n\in \N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur un m\^{e}me espace probabilisé $(\Omega,{\cal T},P)$, qui suivent toutes la  m\^{e}me loi telle que $E(X_n)=V(X_n)=1$.\\ Pour tout $n\in \N^*$, on pose $T_n=X_1+\cdots+X_n$.
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n>t$, comparer les événements  $(T_n<t)$ et $(|T_n-n|\geq n-t)$.
\item Calculer $\displaystyle P\left(\bigcap_{n=1}^{+\infty} (T_n<t)\right)$.
\end{enumerate}
\end{QSP}

\begin{QSP}  %mis dans les annales
Soit $n\in \N^*$. Soit $\varphi$ l'endomorphisme de ${\cal M}_n(\R)$ défini , pour tout $M\in \mathcal{M}_n(\R)$, par : $\varphi(M)= {}^t\! M$.\\
	
Déterminer la trace d'une matrice représentative de $\varphi$.
	
\end{QSP}

\begin{QSP} %mis dans les annales
Soit $A\in \mathcal{M}_n(\R)$ symétrique. Trouver des solutions de l'équation $X^6=A$, où $X\in \mathcal{M}_n(\R)$.\\
A-t-on unicité de la solution lorsque celle ci existe ?

\end{QSP}

\begin{QSP} %mis dans les annales 
Soit $(Z_n)_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires telles que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $Z_n$ suit la loi $\gamma(n)$.\\
Montrer que la suite $ \left(\dfrac{Z_n-n}{\sqrt{Z_n}}\right)$ converge en loi et préciser la loi limite.

\end{QSP}

\begin{QSP} %mis dans les annales 

Soit $f$ une fonction de classe $C^{2}$ sur $\mathbb{R}_{+}$ telle que $\dint_{0}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t$ et $\dint_{0}^{+\infty} f''(t) \mathrm{d} t$ soient convergentes.

Montrer que $\dlim _{x \rightarrow+\infty} f'(x)=0 .$

\end{QSP}

\begin{QSP} %mis dans les annales
Les variables aléatoires considérées sont définies sur un m\^{e}me espace probabilisé $\bigl( \Omega,{\cal A},\P \bigr)$.
\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Expliciter la fonction $f$ définie sur~$\R$ par
$$ f(u) = \int_{0}^{1} \Bigl[ \max(x,u) \Bigr]\:{\mathrm d} x   $$
\item  Soit $U$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle
$[0,1]$. Comparer
$$ 
   J = \E \left( \int_{0}^{1} \max(x,U)\:{\mathrm d}x \right) \quad\text{et}\quad I = \int_{0}^{1} \E \bigl( \max(x,U) \bigr)\:{\mathrm d} x   $$
\end{enumerate}
\end{QSP}